第六节　对数与对数函数
1．对数的概念
如果ax＝N(a＞0且a≠1)，那么x叫做以a为底N的对数，记作___________．
x＝logaN
2．对数的性质、换底公式与运算性质
0
1
N
logaM＋logaN
logaM－logaN
3.对数函数的定义、图象与性质
y＝logax
(0，＋∞)
(－∞，＋∞)
(1，0)
y＞0
y＜0
增函数
减函数
4.反函数
指数函数y＝ax(a＞0且a≠1)与对数函数 _________(a＞0且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线________对称．
y＝logax
y＝x
1．如何确定图中各函数的底数a，b，c，d与1的大小关系？你能得到什么规律？

【提示】　作直线y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数．∴0＜c＜d＜1＜a＜b.由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大．
2．当对数logab的值为正数或负数时，a，b满足什么条件？
【提示】　若logab＞0，则a，b∈(1，＋∞)或a，b∈(0，1)．
若logab＜0，则a∈(1，＋∞)且b∈(0，1)或a∈(0，1)且b∈(1，＋∞)．
1．(人教A版教材习题改编)2log510＋log50.25＝(　　)
A．0 B．1 C．2 D．4
【解析】　2log510＋log50.25＝log5100＋log50.25＝log525＝2.
【答案】　C
【解析】　由题意知f(x)＝logax，又f(2)＝1，
∴loga2＝1，a＝2.
∴f(x)＝log2x.
【答案】　D
【答案】　D
4．(2012·北京高考)已知函数f(x)＝lg x，若f(ab)＝1，则f(a2)＋f(b2)＝________．

【解析】　∵f(x)＝lg x，
∴f(a2)＋f(b2)＝2lg a＋2lg b＝2lg ab.
又f(ab)＝1，∴lg ab＝1，∴f(a2)＋f(b2)＝2.

【答案】　2
【思路点拨】　(1)根据乘法公式和对数运算性质进行计算；
(2)利用换底公式化为同底的对数，再进行计算．
1．对数运算法则是在化为同底的情况下进行的，因此经常用到换底公式及其推论；在对含字母的对数式化简时必须保证恒等变形．
2．ab＝N⇔b＝logaN(a＞0且a≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中要注意互化．
3．利用对数运算法则，在积、商、幂的对数与对数的和、差、倍之间进行转化．
A．(1，10)　　　　　　　 B．(5，6)
C．(10，12) D．(20，24)
由函数的图象可知10＜c＜12.
∵|lg a|＝|lg b|，且a≠b，
所以lg a＝－lg b，可得ab＝1，
所以abc＝c∈(10，12)．
【答案】　(1)D　(2)C
1．解答本题(1)时，可假设一个图象正确，然后看另一个图象是否符合要求；对于本题(2)根据|lg a|＝|lg b|得到ab＝1是解题的关键．
2．对一些可通过平移、对称变换能作出其图象的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合求解．
3．一些对数型方程、不等式问题的求解，常转化为相应函数图象问题，利用数形结合法求解．
(1)已知函数f(x)＝ln x，g(x)＝lg x，h(x)＝log3x，直线y＝a(a＜0)与这三个函数的交点的横坐标分别是x1，x2，x3，则x1，x2，x3的大小关系是(　　)
A．x2＜x3＜x1　　　　　　 B．x1＜x3＜x2
C．x1＜x2＜x3 D．x3＜x2＜x1
(2)函数y＝log2|x＋1|的单调递减区间为________，单调递增区间为________．
【解析】　(1)在同一坐标系中画出三个函数的图象及直线y＝a(a＜0)，易知x1＞x3＞x2，故选A.
(2)作出函数y＝log2x的图象，将其关于y轴对称得到函数y＝log2|x|的图象，再将图象向左平移1个单位长度就得到函数y＝log2|x＋1|的图象(如图所示)．由图知，函数y＝log2|x＋1|的递减区间为(－∞，－1)，递增区间为(－1，＋∞)．

【答案】　(1)A　(2)(－∞，－1)　(－1，＋∞)
【思路点拨】　(1)利用真数大于0构建不等式，但要注意分类讨论，(2)先由条件求出a的值，再讨论奇偶性和单调性．
1．利用对数函数的性质比较对数值大小：
(1)同底数(或能化为同底的)可利用函数单调性处理；
(2)底数不同，真数相同的对数值的比较，可利用函数图象或比较其倒数大小来进行．
(3)既不同底数，又不同真数的对数值的比较，先引入中间量(如－1，0，1等)，再利用对数函数性质进行比较．
2．利用对数函数性质研究对数型函数性质，要注意三点，一是定义域；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成．
(2013·中山模拟)已知函数f(x)＝loga(8－ax)(a＞0，a≠1)，若f(x)＞1在区间[1，2]上恒成立，求实数a的取值范围．
ab＝N⇔logaN＝b(a＞0，a≠1，N＞0)

解决与对数有关的问题时：(1)务必先研究函数的定义域．
(2)对数函数的单调性取决于底数a，应注意底数的取值范围．
从近两年高考看，对数函数是考查的重点，题型多为选择题、填空题，重点考查对数函数的图象和性质的应用，中等难度．预计2014年高考仍将以对数函数的性质为主要考点，考查解决问题的能力，分类讨论和数形结合等数学思想．
思想方法之五　用数形结合思想求参数的取值范围
【答案】　B
【答案】　C