第4讲　功能关系　能量守恒定律
1．功和能
(1)功是 的量度，即做了多少功就有多少 发生了转化。
能量转化
能量
(2)做功的过程一定伴随着 ，而且 必须通过做功来实现。
2．常见的几种功能对应关系
(1)合外力做功等于物体动能的改变，即W合＝Ek2－Ek1＝ΔEk。(动能定理)
(2)重力做功等于物体重力势能的改变，即WG＝Ep1－Ep2＝－ΔEp。
(3)弹簧弹力做功等于弹性势能的改变，即WF＝Ep1－Ep2＝－ΔEp。
能量的转化
能量的转化
(4)除了重力和弹簧弹力之外的其他力所做的总功，等于物体机械能的改变，即W其他力＝E2－E1＝ΔE。(功能原理)
1．如图所示，小球从A点以初速度v0沿粗糙斜面向上运动，到达最高点B后返回A，C为AB的中点。下列说法中正确的是(　　)
A．小球从A出发到返回A的过程中，位移为零，外力做功为零
B．小球从A到C过程与从C到B过程，减少的动能相等
C．小球从A到C过程与从C到B过程，速度的变化量相等
D．小球从A到C过程与从C到B过程，损失的机械能相等
【解析】 小球从A点出发到返回A的过程中，位移为零，重力做功为零，但摩擦力始终做负功，A错误；小球从A到C的过程与从C到B的过程中，合力相同，合力做功相同，减少的动能相等，摩擦力做负功相等，损失的机械能相等，B、D正确；但因两段过程的时间不相等，故速度变化量不相等，C错误。
【答案】 BD
1．动能的改变量、机械能的改变量分别与对应的功相等。
2．重力势能、弹性势能、电势能的改变量与对应的力做的功数值相等，但符号相反。
3．摩擦力做功的特点及其与能量的关系
1．内容：能量既不会凭空 ，也不会凭空消失，它只能从一种形式转化为另一种形式，或者从一个物体 到别的物体，在 的过程中，能量的总量 。
2．表达式：ΔE减＝ 。
产生
转移
转化或转移
保持不变
ΔE增
2．NBA篮球赛非常精彩，吸引了众多观众。如果运动员投篮过程中对篮球做功为W，出手高度(相对地面)为h1，篮筐距地面高度为h2，球的质量为m，空气阻力不计，则篮球进筐时的动能表达式是________。
【提示】 由能量守恒，人做的功W增加了球进筐时的动能和势能。设进筐时动能为Ek。
则有：W＝Ek＋mgh2－mgh1
故Ek＝W＋mgh1－mgh2。
1．对定律的理解
(1)某种形式的能减少，一定存在其他形式的能增加，且减少量和增加量一定相等；
(2)某个物体的能量减少，一定存在其他物体的能量增加，且减少量和增加量一定相等。
这也是我们列能量守恒定律方程式的两条基本思路。
2．应用定律解题的步骤
(1)分清有多少形式的能，如动能、势能(包括重力势能、弹性势能、电势能)、内能等发生变化。
(2)明确哪种形式的能量增加，哪种形式的能量减少，并且列出减少的能量ΔE减和增加的能量ΔE增的表达式。
(3)列出能量守恒关系式：ΔE减＝ΔE增。
2．(2012·上海单科)质量相等的均质柔软细绳A、B平放于水平地面，绳A较长。分别捏住两绳中点缓慢提起，直至全部离开地面，两绳中点被提升的高度分别为hA、hB，上述过程中克服重力做功分别为WA、WB。若(　　)
A．hA＝hB，则一定有WA＝WB
B．hA＞hB，则可能有WA＜WB
C．hA＜hB，则可能有WA＝WB
D．hA＞hB，则一定有WA＞WB
【解析】 当hA＝hB时则一定有WA＜WB，故选项A错。当hA＞hB时，有WA＜WB、WA＞WB、WA＝WB三种可能，故选项B正确，D错误。当hA＜hB时一定有WA＜WB，故选项C错误。
【答案】 B
一物块放在如图所示的斜面上，用力F沿斜面向下拉物块，物块沿斜面运动了一段距离，若已知在此过程中，拉力F所做的功为A，斜面对物块的作用力所做的功为B，重力做的功为C，空气阻力做的功为D，其中A、B、C、D的绝对值分别为100 J、30 J、100 J、20 J，则
(1)物块动能的增量为多少？
(2)物块机械能的增量为多少？
【思路点拨】 (1)明确各个力做功的正、负；
(2)合力的功等于物块动能的增量；
(3)除重力以外的力对物块做的功等于物块机械能的增量。
【自主解答】 __________________________________
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【解析】 (1)在物块下滑的过程中，拉力F做正功，斜面对物块有摩擦力，做负功，重力做正功，空气阻力做负功。根据动能定理，合力对物块做的功等于物块动能的增量，则
ΔEk＝W合＝A＋B＋C＋D
＝100 J＋(－30 J)＋100 J＋(－20 J)＝150 J。
(2)根据功能关系，除重力之外的其他力所做的功等于物块机械能的增量，则
ΔE机＝A＋B＋D＝100 J＋(－30 J)＋(－20 J)＝50 J。
【答案】 (1)150 J　(2)50 J
【总结提升】 功能关系的选用技巧
1．在应用功能关系解决具体问题的过程中，若只涉及动能的变化用动能定理分析。
2．只涉及重力势能的变化用重力做功与重力势能变化的关系分析。
3．只涉及机械能变化用除重力和弹力之外的力做功与机械能变化的关系分析。
4．只涉及电势能的变化用电场力做功与电势能变化的关系分析。
1．(2013·江西师大附中、临川联考)如图所示，质量为M，长度为L的小车静止在光滑的水平面上，质量为m的小物块，放在小车的最左端，现用一水平力F作用在小物块上，小物块与小车之间的摩擦力为Ff，经过一段时间小车运动的位移为x，小物块刚好滑到小车的右端，则下列说法中正确的是(　　)
A．此时小物块的动能为F(x＋L)
B．此时小车的动能为Ffx
C．这一过程中，小物块和小车增加的机械能为Fx－FfL
D．这一过程中，因摩擦产生的热量为FfL
【解析】 小物块运动的位移为(x＋L)，受到的拉力和摩擦力做功，由动能定理得：(F－Ff)(x＋L)＝Ek1，故A错误；小车仅受到摩擦力做功，由动能定理得：Ffx＝Ek2，B正确；小物块和小车组成的系统的机械能增加量为非重力做功，即(F－Ff)(x＋L)＋Ffx＝F(x＋L)－FfL，C错误；因摩擦而产生的热量为摩擦力与相对路程之积，即Q＝FfL，D正确。
【答案】 BD
(2012·石家庄市高中毕业班第一次教学质量检测)如图所示，水平桌面上有一轻弹簧，左端固定在A点，自然状态时其右端位于B点。水平桌面右侧有一竖直放置的光滑轨道MNP，其形状为半径R＝0.8 m的圆环剪去了左上角135°的圆弧，MN为其竖直直径，P点到桌面的竖直距离也是R。用质量m1＝0.4 kg的小物块将弹簧缓慢压缩到C点，释放后弹簧恢复原长时物块恰停止在B点。用同种材料、质量为m2＝0.2 kg的小物块将弹簧缓慢压缩到C点释放，物块过B点后做匀变速运动，物块由B到D位移与时间的关系为
x＝6t－2t2，物块飞离桌面后恰好由P点沿切线进入圆弧轨道，g＝10 m/s2，不计空气阻力。求：

(1)BD间的距离；
(2)判断小物块m2能否沿圆弧轨道到达M点(要求写出判断过程)；
(3)小物块m2由C点释放运动到D过程中克服摩擦力做的功。
【自主解答】 __________________________________
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【答案】 (1)2.5 m　(2)见解析　(3)5.6 J
【总结提升】 应用能量守恒定律解题的步骤
1．分清有多少形式的能[如动能、势能(包括重力势能、弹性势能、电势能)、内能等]在变化。
2．明确哪种形式的能量增加，哪种形式的能量减少，并且列出减少的能量ΔE减和增加的能量ΔE增的表达式。
3．列出能量守恒关系式：ΔE减＝ΔE增。
2．如图所示，一物体质量m＝2 kg，在倾角为θ＝37°的斜面上的A点以初速度v0＝3 m/s下滑，A点距弹簧上端B的距离AB＝4 m。当物体到达B后将弹簧压缩到C点，最大压缩量BC＝0.2 m，然后物体又被弹簧弹上去，弹到的最高位置为D点，D点距A点AD＝3 m。挡板及弹簧质量不计，g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，求：
(1)物体与斜面间的动摩擦因数μ；
(2)弹簧的最大弹性势能Epm。
【答案】 (1)0.52　(2)24.5 J
如图所示，绷紧的传送带与水平面的夹角θ＝30°，皮带在电动机的带动下，始终保持v0＝2 m/s的速率运行，现把一质量为m＝10 kg的工件(可看做质点)轻轻放在皮带的底端，经过时间1.9 s，工件被传送到h＝1.5 m的高处，取g＝10 m/s2，求：
(1)工件与传送带间的动摩擦因数；
(2)电动机由于传送工件多消耗的电能。
【思路点拨】 本题综合考查了动力学及能的转化和守恒定律的应用。第一问重点在对运动过程分析的基础上的公式应用，第二问是考查能量守恒问题。
【自主解答】 _____________________________________
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3．如图所示，AB为半径R＝0.8 m的1/4光滑圆弧轨道，下端B恰与小车右端平滑对接。小车质量M＝3 kg，车长L＝2.06 m，车上表面距地面的高度h＝0.2 m，现有一质量m＝1 kg的滑块，由轨道顶端无初速释放，滑到B端后冲上小车。已知地面光滑，滑块与小车上表面间的动摩擦因数μ＝0.3，当车运动了1.5 s时，车被地面装置锁定(g＝10 m/s2)。试求：
(1)滑块到达B端时，轨道对它支持力的大小；
(2)车被锁定时，车右端距轨道B端的距离；
(3)从车开始运动到被锁定的过程中，滑块与车面间由于摩擦而产生的内能大小。
【答案】 (1)30 N　(2)1 m　(3)6 J
1.如图所示，在一个盛水的杯子里有一木块。开始时木块被一根细绳拴住而完全没入水中，整个装置与外界绝热，断开细绳，则木块将浮到水面上，最后达到平衡，在这一过程中，水、杯子和木块组成的系统(　　)
A．内能增大　　　　　　　　
B．内能减小
C．内能不变
D．条件不足，无法判断
【解析】 细绳断后，木块上升，同体积的水下移，系统重心下移，重力势能减小，由能量守恒定律可知，水、杯子和木块组成的系统内能一定增大，A正确。
【答案】 A
2．一块质量为m的木块放在地面上，用一根弹簧连着木块，如图所示，用恒力F拉弹簧，使木块离开地面，如果力F的作用点向上移动的距离为h，则(　　)
A．木块的重力势能增加了mgh
B．木块的机械能增加了Fh
C．拉力所做的功为Fh
D．木块的动能增加了Fh
【解析】 木块上升的高度小于h，所以重力势能增量小于mgh，A错；弹性势能与重力势能的增加之和为Fh，故B、D错；由功的定义式可知C对。
【答案】 C
【答案】 C
4．(2012·福建理综)如图，表面光滑的固定斜面顶端安装一定滑轮，小物块A、B用轻绳连接并跨过滑轮(不计滑轮的质量和摩擦)。初始时刻，A、B处于同一高度并恰好处于静止状态。剪断轻绳后A下落、B沿斜面下滑，则从剪断轻绳到物块着地，两物块(　　)
A．速率的变化量不同
B．机械能的变化量不同
C．重力势能的变化量相同
D．重力做功的平均功率相同
【答案】 D
5．(2012·重庆理综)如图所示为一种摆式摩擦因数测量仪，可测量轮胎与地面间动摩擦因数，其主要部件有：底部固定有轮胎橡胶片的摆锤和连接摆锤的轻质细杆，摆锤的质量为m，细杆可绕轴O在竖直平面内自由转动，摆锤重心到O点距离为L。测量时，测量仪固定于水平地面，将摆锤从与O等高的位置处静止释放。摆锤到最低点附近时，橡胶片紧压地面擦过一小段距离s(s≪L)，之后继续摆至与竖直方向成θ角的最高位置。若摆锤对地面的压力可视为大小为F的恒力，重力加速度为g，求：
(1)摆锤在上述过程中损失的机械能；
(2)在上述过程中摩擦力对摆锤所做的功；
(3)橡胶片与地面之间的动摩擦因数。