1.1.2 弧度制
回顾
问：我们是用什么单位来度量角的？1º的角是怎样规定的？
(2) 规定周角的1/360叫做1度的角。
(1)用度作单位来度量角的单位制叫做角度制。单位为“度”（即“ º ”） 不能省略
一、弧度制
新知探究
我们把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角。“弧度”常用“rad”表示。
=1弧度
=2 rad
3 rad
思考：若圆心角∠AOB表示一个顺时针方向旋转的角，且它所对的弧的长为3r,则∠AOB的弧度数的绝对值是？弧度数是？
-3弧度
即∠AOB=－
－3 rad
︱∠AOB ︳=
1.定义：
我们规定，正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零，任一已知角α的弧度数的绝对值：
其中： l—— 以角α为圆心角所对的弧长
r —— α角所在圆的半径
这种
用“弧度” 做单位来度量角的制度，叫做弧度制。
弧度数的计算公式可以用弧长与其半径的比值来表示，那么一个角的弧度数与所在的圆的半径之间存在一定的联系么？若存在，请阐述是什么关系？若不存在，说明理由。
问题1：
结论：当圆心角一定时，它所对的弧长与半径的比值是一定的，与所在圆的半径大小无关。
2. 弧度制与角度制相比：
(1) 弧度制是以“弧度”为单位的度量角的单位制，角度制是以“度”为单位来度量角的单位制；1弧度≠1º；
（3）弧度制是十进制，它的表示是用一个实数表示，而角度制是六十进制；
（4）以弧度和度为单位的角，都是一个与半径无关的定值。
二、弧度与角度的换算
思考： 1.若弧是一个整圆，其圆心角的弧度数是多少？
2.若弧是一个半圆，其圆心角的弧度数是多少？
2πrad
若l=2 π r,则∠AOB=
若l=π r, 则∠AOB=
πrad
问题2：
由公式 你可推算出：
1°等于多少弧度么？
1弧度又等于多少度呢？
180°= 1°× 180
结论：
例题1.
（1） 把 67°30′化成弧度。
解：
解：
练习:
例2.请写出一些特殊角的弧度数
注: 1.用弧度为单位表示角的大小时， “弧度”二字或“rad”
通常省略不写，但用“度”（°）为单位不能省。
2.用弧度为单位表示角时，通常写 成“多少π”的形式,
如无特别要求，不用将π化成小数。
锐角：{θ|0°＜θ＜90°}
直角： {θ|θ=90°}
钝角： {θ|90°＜θ＜180°}
平角： {θ|θ=180°}
0°到90°的角：{θ|0°≤θ<90°}
小于90°角：{θ|θ＜90°}
例3：请用弧度制表示下列角度所在区间。
探究：
你能根据角度制下的弧长公式和扇形面积公式换算出弧度制下的弧长公式和扇形面积公式么？
弧长公式：l = nπR/180
扇形面积公式：
角度制：
弧度制：
弧长公式：l = αR
扇形面积公式：s = ½αR = ½ l R
2
三.弧长及扇形面积
用弧度制表示弧长及扇形面积公式：
弧长等于弧所对的圆心角（的弧度数）的绝对值与半径的积.
证明：设扇形所对的圆心角为nº(αrad)，则
又 αR=l，所以
证明2：因为圆心角为1 rad的扇形面积是
例5. 在半径为R的圆中，240º的中心角所对的弧长为 ，面积为2R2的扇形的中心角等于 弧度。
所以 α=4.
例6.与角－1825º的终边相同，且绝对值最小的角的度数是＿＿＿，合＿＿＿弧度。
解：－1825º=－5×360º－25º，
所以与角－1825º的终边相同，且绝对值最小的角是－25º.
例7. 已知一半径为R的扇形，它的周长等于所在圆的周长，那么扇形的中心角是多少弧度？合多少度？扇形的面积是多少？
解：周长=2πR=2R+l，所以l=2(π－1)R.
所以扇形的中心角是2(π－1) rad.
1.圆心角α所对弧长与半径的比是一个仅与角α大小有关的常数,所以作为度量角的标准.
2.角度是一个量,弧度数表示弧长与半径的比,是一个实数,这样在角集合与实数集之间就建立了一个一一对应关系.
正角
零角
负角
正实数
零
负实数
小结
基本关系
导出关系