1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质
第一课时
问题提出
问题1.根据正弦函数和余弦函数的图象，你能说出它们具有哪些性质？
函数的周期性
一、周期函数的概念
思考1：观察上图, 正弦曲线每相隔 个单位重复出现.
.
2π
其理论依据是什么？
当自变量x的值增加2π的整数倍时，函数值重复出现.数学上，用周期性这个概念来定量地刻画这种“周而复始”的变化规律
f(x+2kπ)=f(x)
这就是说：当自变量x的值增加到x+2kπ时，函数值重复出现.
为了突出函数的这个特性，我们把函数f(x)=sinx称为周期函数，2kπ为这个函数的周期 (其中k∈z且k≠0).
思考3：把函数f(x)=sinx称为周期函数.那么，一般地，如何定义周期函数呢？
【周期函数的定义】对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有
f(x+T)=f(x)
那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T就叫做这个函数的周期.
思考4：周期函数的周期是否唯一？正弦函数y=sinx的周期有哪些？
答：周期函数的周期不止一个. ±2π，±4π，±6π，…都是正弦函数的周期，事实上，任何一个常数2kπ(k∈z且k≠0)都是它的周期.
【周期函数的定义】对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有
f(x+T)=f(x)
那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T就叫做这个函数的周期.
【最小正周期】 如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数, 则这个最小正数叫做f(x)的最小正周期.
今后本书中所涉及到的周期，如果不加特别说明，一般都是指函数的最小正周期.
思考5：周期函数是否一定存在最小正周期？
例如：f(x)=c (c为常数）
否
【周期函数的定义】对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有
f(x+T)=f(x)
那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T就叫做这个函数的周期.
【最小正周期】如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数, 则这个最小正数叫做f(x)的最小正周期.
答：正弦函数y=sinx有最小正周期，且最小正周期T=2π
思考6：我们知道 ±2π，±4π，±6π，…都是y=sinx的周期,那么函数y=sinx有最小正周期吗？若有，那么最小正周期T等于多少？
正弦函数y=sinx是周期函数，2kπ（k∈Z且 k≠0）都是它的周期，最小正周期 T=2π．
余弦函数y=cosx是周期函数，2kπ（k∈Z且 k≠0）都是周期，最小正周期 T=2π．
思考7：就周期性而言，对正弦函数有什么结论？对余弦函数呢？
二：周期概念的拓展
思考1：判断下列说法是否正确
思考2：周期函数的定义域有什么特点？
①函数f(x)=sinx（x≥0）是周期函数( )
②函数f(x)=sinx（x＜0）是周期函数( )
③函数f(x)=sinx（x≠3kπ）是周期函数( )
④函数f(x)=sinx，x∈[0，10π]是周期函数( )
╳
╳
╳
╳
例1 求下列函数的周期：
⑴y=3cosx,x∈R;
⑵y=sin2x,x∈R;
⑶y=2sin( - ),x∈R;
∴ 3cos(x+2π)=
∴由周期函数的定义可知，原函数的周期为2π
【解】⑴
∵ y=cosx的同期为2π
3cosx
⑵y=sin2x,x∈R;
∵sin2(x+π)=

∴由周期函数的定义可知，原函数的周期为π
sin2x
解：
⑶y=2sin( - ),x∈R;
∴由周期函数的定义可知，原函数的周期为4π
解：
一般地，函数y=Asin(ωx+φ) (A＞0，ω ＞0)的最小正周期是多少?
由上例知函数y=3cosx的周期 T= 2π；
函数y=sin2x的周期 T=π；
函数y=2sin( - )的周期 T=4π
想一想：以上这些函数的周期与解析式中哪些量有关吗？
例2 已知定义在R上的函数f(x)满足
f(x＋2)＋f(x)=0，试判断f(x)是否为周期函数？
〖分析〗由已知有：f(x＋2)= -f(x)
∴f(x+4)=

即 f(x＋4)=f(x)
∴由周期函数的定义知，f(x)是周期函数.
f(x)
=-[-f(x)]=
-f(x＋2)
f[(x＋2)+2]=
如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数, 则这个最小正数叫做f(x)的最小正周期
归 纳 整 理
1.说说周期函数的定义.
3.什么叫周期函数的最小正周期？
2. 求函数周期的方法：
4.周期函数的周期与函数的定义域有关，周期函数不一定存在最小正周期.
5.周期函数的周期有许多个，若T为周期函数f(x)的周期，那么T的整数倍也是f(x)的周期.
6.函数y=Asin(ωx+φ)和y=Acos(ωx+φ) (A＞0)的最小
正周期 T=
这个公式，解题时可以直接应用
（1）定义法
（2）公式法
（3）图象法
作业：P36练习 （书）
P46：A组 3 B组 3
课后思考：
⑴如果函数y=f(x)的周期是T，那么函数y=f(ωx＋φ)的周期是多少？
⑵求函数y=|sinx|,x∈R的周期
⑶已知定义在R上的函数f(x)满足
f(x＋1)=f(x－1)，且当x∈[0，2]时，f(x)=x－4，求f(10)的值.