2.4.1

平面向量数量积的物理背景及其含义
NO.1课堂强化
名师课堂·一点通
考点三
课前预习·巧设计
创新演练·大冲关
第二章

平面向量
考点一
考点二
读教材·填要点
小问题·大思维
解题高手
NO.2课下检测
2.4

平
面
向
量
的
数
量
积
[读教材·填要点]
1．平面向量数量积的定义
已知两非零向量a与b，它们的夹角为θ，则把数量
叫做a与b的 (或 )，记作 ，即
.
规定零向量与任一向量的数量积为 .
2．向量的数量积的几何意义
(1)投影：|a|cos θ(|b|cos θ)叫做向量 方向上(
方向上)的投影．
(2)几何意义：数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影 的乘积．
|a||b|·cos θ
a·b＝|a||b|cos θ
0
数量积
内积
a在b
b在a
|b|cos θ
a·b
a·b＝0
|a||b|
|a||b|
|a|2
≤
4．向量数量积的运算律
(1)a·b＝ (交换律)．
(2)(λa)·b＝ ＝ (结合律)．
(3)(a＋b)·c＝ (分配律)．
b·a
λ(a·b)
a·(λb)
a·c＋b·c
[小问题·大思维]
1．向量的数量积与数乘向量的运算结果有何区别？
提示：向量的数量积a·b是一个实数；数乘向量λa是一个
向量．
2．投影是向量还是数量？
提示：投影是数量而不是向量，它可正、可负、可为零．
3．对于向量a，b，c，等式(a·b)·c＝a·(b·c)一定成立吗？
提示：不一定成立，∵若(a·b)·c≠0，则它与c共线，而a·(b·c)≠0时与a共线，而a与c不一定共线，故该等式不一定成立．
4．若a，b是非零向量，则|a·b|＝|a||b|一定成立吗？
提示：不一定．因为a·b＝|a||b|cos θ，所以只有|cos θ|＝1，即a，b共线时才成立．
5．若a，b，c是非零向量，且a·c＝b·c，则a＝b一定成立吗？
提示：不一定．由a·c＝b·c可得c·(a－b)＝0⇔a－b＝0或c⊥(a－b)．
[研一题]
[例1]　已知a，b的夹角为θ，|a|＝2，|b|＝3，分别在下列条件下求a·b.
(1)θ＝135°；
(2)a∥b；
(3)a⊥b.
若本例条件变为“θ＝120°”，试求(2a－b)·(3a＋2b)．
[悟一法]
求平面向量数量积的步骤是：①求a与b的夹角θ，θ∈[0，π]；②分别求|a|和|b|；③求数量积，即a·b＝|a||b|·cos θ，要特别注意书写时a与b之间用实心圆点“·”连接，而不能用“×”连接，也不能省去．
[通一类]
[研一题]
[例2]　已知单位向量e1，e2的夹角为60°，求向量a＝e1＋e2，b＝e2－2e1的夹角．
[悟一法]
[通一类]
2．已知a、b是两个非零向量，且|a|＝|b|＝|a＋b|，求a与a－b
的夹角．
[研一题]
[例3]　已知|a|＝7，|b|＝4，|a＋b|＝9，求|a－b|.
[悟一法]
1．处理模的计算问题时，一般是将模平方转化为向量的运算进行处理．
2．由|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2，|a－b|2＝a2－2a·b＋b2相加可得|a＋b|2＋|a－b|2＝2(|a|2＋|b|2)．其几何意义是平行四边形两条对角线的平方和等于其四边的平方和．
[通一类]
3．设向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，(a－b)⊥c，a⊥b，若
|a|＝1，则|a|2＋|b|2＋|c|2的值是________．
解析：法一：由a＋b＋c＝0得c＝－a－b.
又(a－b)·c＝0，∴(a－b)·(－a－b)＝0，即a2＝b2.
则c2＝(a＋b)2＝a2＋b2＋2a·b＝a2＋b2＝2，
∴|a|2＋|b|2＋|c|2＝4.
答案：4