§3.2 简单的三角恒等变换
自 学 导 引(学生用书P93)
1.熟练掌握两角和与差的正弦､余弦､正切公式的应用.2.熟练掌握二倍角公式的正用､逆用､变形用.3.培养学生灵活应用三角公式进行三角恒等变换的能力.
课 前 热 身(学生用书P93)
cos(α±β)=_______________________.sin(α±β)=________________________.tan(α±β)=________.sin2α=________________.cos2α=____________=____________=______________.tan2α=________.
cosαcosβ∓sinαsinβ
sinαcosβ±cosαsinβ
2sinαcosα
2cos2α-1
1-2sin2α
cos2α-sin2α
名 师 讲 解 (学生用书P93)
1.三角公式掌握三角函数的图象和性质.牢记同角之间的三角公式和诱导公式.熟悉两角和､差､二倍角公式,弄清它们之间的内在联系,注意公式的正用､逆用､变形用.
2.三角恒等变换主要包括:(1)角的变换——异角化同角.(2)名的变换——异名化同名.(3)式的变换——幂的升降等.为了实现以上三种变换,要从以下几方面进行解题:(1)发现差异——观察,分析角､名､形之间的差异.(2)根据式子的结构特征,找出差异间的内在联系.(3)选用恰当的公式进行合理转化､以达到解题之目的.
3.对于函数f(x)=asinx+bcosx(ab≠0)的探讨:
典 例 剖 析(学生用书P93)
题型一 化asinx+bcosx为同名的三角函数
例1:函数y=-acos2x- asin2x+2a+b,x∈ 若函数的值域是[-5,1],求常数a,b的值.
当a>0时,ymax=-2a×+2a+b=1. ①ymin=-2a×1+2a+b=-5. ②由①②得 a=6, b=-5.∴a=6,b=-5.当a=0时,y=b与函数值域[-5,1]矛盾,∴a≠0.
当a<0时,ymax=-2a×1+2a+b=1.③ymin=-2a×+2a+b=-5.④由③④得 a=-6, b=1,∴a=-6,b=1.综上所述a=6,b=-5或a=-6,b=1.
规律技巧:将三角函数化为同名的三角函数y=-2asin(2x+  ) +2a+b后,由于系数含有a(a∈R),要对a进行分类讨论,分a>0,a=0,a<0三种情况进行讨论.做到不重不漏.
变式训练1:求函数f(x)=sinx+ cosx的最值､周期.
题型二 化简与求值
分析1:根据本题各式的分子､分母的构成,可利用二倍角的正弦､余弦公式,将分子､分母均予以化积,之后约分化简.
分析2:本题也可先通分,然后再利用同角三角函数关系式､约分等手段进行化简.
变式训练2:求值:(1)tan20°+4sin20°;(2)cos12°cos24°cos48°cos96°.
分析:(1)中切化弦､通分变形求解,在(2)中,注意式子中所给角为倍数关系,且为余弦,可都乘除sin12°,利用倍角公式可解.
规律技巧:在化简或求值中若式子中含切､弦函数,常用切化弦求解,在所给式子中角之间具有倍数关系,可变形应用倍角公式求解.
题型三 三角恒等式的证明
分析:由题目知,左边较复杂,可对左边变形(切化弦､统一角)推出右边.
规律技巧:证明三角恒等式的实质是消除等式两边的差异,有目的地化繁为简､左右归一或变更论证.对恒等式的证明,应遵循化繁为简的原则,从左边推到右边或从右边推到左边,也可以用左右归一,变更论证等方法.常用定义法､化弦法､化切法､拆项拆角法､“1”的代换法､公式变形法,要熟练掌握基本公式,善于从中选择巧妙简捷的方法.
变式训练3:在锐角△ABC中,求证:tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC.
证明:∵A+B+C=π,
∴A+B=π-C,
∴tan(A+B)=tan(π-C),
∴ =-tanC,
∴tanA+tanB=-tanC(1-tanAtanB),
∴tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC.
易 错 探 究(学生用书P95)
例4:设函数f(x)=2cos2ωx+sin(2ωx- )+a(其中ω>0,a R),且f(x)的图象在y轴的第一个最高点的横坐标为 (1)求ω的值;(2)如果f(x)在区间 上的最小值为 ,求a的值.
技 能 演 练(学生用书P95)
基础强化
答案:B
答案:D
3.函数y=8sinxcosxcos2x的最小正周期为T,最大值为A,则( )
答案:D
答案:B
答案:D
6.若f(x)=cos2x+8sinx,则它的最大值和最小值分别是( )A.最大值是9,最小值是-9B.最大值不存在,最小值为7C.最大值是7,最小值是-9D.最大值是7,最小值不存在
解析:f(x)=cos2x+8sinx=1-2sin2x+8sinx
=-2(sin2x-4sinx)+1=-2(sinx-2)2+9.
∵x∈R,-1≤sinx≤1,
∴当sinx=1时,f(x)有最大值7;
当sinx=-1时,f(x)有最小值-9.
答案:C
7.函数y= sinxcosx+3cos2x- 的最大值为________.
能力提升
答案:-1
10.若α､β为锐角,且sinα-sinβ=-,cosα-cosβ=,求tan(α-β).
分析:从要求的式子可以看出,若能求出tanα,tanβ,则问题可解,但从给出的已知式子的特征,直接求出tanα,tanβ是非常困难的,因此可考虑求α-β的正､余弦值.
品 味 高 考(学生用书P96)
答案:B
(1)求函数f(x)的最小正周期;(2)求函数h(x)=f(x)-g(x)的最大值,并求使h(x)取得最大值的x的集合.
(2)h(x)=f(x)-g(x)