3.2简单的三角恒等变换
两角和与差的正弦：
两角和与差的正切：
两角差与和的余弦公式：
二倍角的正弦，余弦，正切公式：
降角升次
升角降次
例1　求证
解
(1) sin(+)和sin(-)是我们学过的知识，所以从右边着手
sin(+) ＝ sincos+cossin
sin(-) ＝ sincos-cossin
两式相加,得
sin(+) + sin(-) ＝ 2sincos
(2) 由(1)可得
sin(+) + sin(-) ＝ 2sincos ①
设 +=, -=
把,的值代入①,即得
思考 在例1证明过程中用到了哪些数学思想方法?
例2
分析：利用三角恒等变换，先把函数式化简，再求相应的值.
解
所以,所求的周期为2,最大值为2,最小值为-2.
点评：例2是三角恒等变换在数学中应用的举例，它使三角函数中对函数的性质研究得到延伸，体现了三角变换在化简三角函数式中的作用.
例3
分析:要求当角取何值时,矩形ABCD的面积S最大, 可分二步进行.
①找出S与之间的函数关系;
②由得出的函数关系,求S的最大值.
解
在Rt△OBC中,OB=cos,BC=sin
在Rt△OAD中,
设矩形ABCD的面积为S,则
通过三角变换把形如y=asinx+bcosx的函数转化为形如通过三角变换把形如y=asinx+bcosx的函数转化为形如y=Asin(+)的函数,从而使问题得到简化
1．函数y=3sinx-4cosx，则函数y的最大值是______，最小值为_______．
5
-5
2．设函数y=acosx+b(a，b是常数)的最大值为1，最小值为-7，则acosx+bsinx的最小值为_____．
-5
3．函数f (x)=3sinxcosx-4cos2x的最大值是____．
0.5
练习
练习 化简与求值
分析2:本题也可先通分,然后再利用同角三角函数关系式､约分等手段进行化简.
练习 三角恒等式的证明
分析:由题目知,左边较复杂,可对左边变形(切化弦､统一角)推出右边.
变式训练2:求值:(1)tan20°+4sin20°;(2)cos12°cos24°cos48°cos96°.
分析:(1)中切化弦､通分变形求解,在(2)中,注意式子中所给角为倍数关系,且为余弦,可都乘除sin12°,利用倍角公式可解.