1.1.2　余弦定理
1．了解向量法证明余弦定理的推导过程．
2．掌握余弦定理并能解决一些简单的三角度量问题.
1．利用余弦定理求三角形中的边角问题及正、余弦定理的综合应用是本节热点．
2．三种题型都有可能出现，属中、低档题.
1．在Rt△ABC中，C＝90°，三边满足勾股定理 .

2．在△ABC中，正弦定理是
3．在△ABC中，若a＝3，b＝5，C＝45°，三角形确定吗？又如何求边c的长？
4．在△ABC中，若a＝4，b＝5，c＝6，能求角A、B、C吗？
a2＋b2＝c2
1．余弦定理
(1)语言叙述
三角形中任何一边的平方等于 减去 的积的 ．
(2)公式表达
a2＝ ；
b2＝ ；
c2＝ .
其他两边的平方和
这两边与它们夹角的余弦
两倍
b2＋c2－2bccos A
a2＋c2－2accos B
a2＋b2－2abcos C

2．余弦定理及其推论的应用
应用余弦定理及其推论可解决两类解三角形的问题，一类是已知 解三角形，另一类是已知 解三角形．
两边及夹角
三边
答案：　A
答案：　A
3．△ABC中，AB＝5，BC＝6，AC＝8，则△ABC的形状是________．

答案：　钝角三角形
4．在△ABC中，已知a＝5，b＝3，角C的余弦值是方程5x2＋7x－6＝0的根，求第三边长c.
由题目可获取以下主要信息：
①已知三边比例；
②求三角形的三内角．
解答本题可应用余弦定理求出三个角．
[题后感悟]　此题为“已知三边，求三角形的三个角”类型问题，基本解法是先利用余弦定理的推论求一个角的余弦，再判定此角的取值，求得第一个角，再用正弦定理求出另一个角，最后用三角形内角和定理，求出第三个角(一般地，先求最小角，再求最大角)．

[题后感悟]　可比较两种方法，从中体会各自的优点，三角形中已知两边及一角，有两种解法，从而摸索出适合自己思维的解题规律和方法．方法一利用余弦定理列出关于a的等量关系建立方程，运用解方程的方法求出a边的长，这样可免去判断取舍的麻烦．方法二直接运用正弦定理，先求角再求边．
2．若将题中条件改为“b＝3，c＝2，A＝30°”，应如何求解三角形？
在△ABC中，若b2sin2C＋c2sin2B＝2bccos Bcos C，试判断三角形的形状．
由题目可获取以下主要信息：
①边角之间的关系：b2sin2C＋c2sin2B＝2bccos Bcos C；
②确定三角形的形状．
解答本题先由正弦定理将边转化为角，然后由三角恒等式进行化简，得出结论；也可先由余弦定理及同角三角函数关系转化成边之间的关系，然后由边的关系确定三角形形状．
[题后感悟]　判断三角形的形状应围绕三角形的边角关系进行思考，可用正、余弦定理将已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等方式得出边的相应关系，从而判断三角形的形状，也可利用正、余弦定理将已知条件转化为角与角之间的关系，通过三角变换，得出三角形各内角之间的关系，从而判断三角形形状．
4．在△ABC中，(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，且sin A＝2sin Bcos C，试确定△ABC的形状．
1．余弦定理与勾股定理之间的联系
(1)对于余弦定理c2＝a2＋b2－2abcos C中，若C＝90°，则c2＝a2＋b2，此即为勾股定理，也就是说勾股定理是余弦定理的特殊情况．
(2)余弦定理揭示了任意三角形边角之间的客观规律，也是解三角形的重要工具．
①在余弦定理中，每一个等式均含有四个量，利用方程的观点，可以知三求一．
②余弦定理也为求三角形的有关量(如面积、外接圆、内切圆等)提供了工具，它可以用来判定三角形的形状，证明三角形中的有关等式，在一定程度上，它比正弦定理的应用更加广泛．
[特别提醒]　在利用余弦定理求三角形的边长时容易出现增解，原因是余弦定理中涉及的是边长的平方，求得结果常有两解，因此，解题时需特别注意三角形三边长度所应满足的基本条件．
2．解三角形问题的类型
解三角形的问题可以分为以下四类：
(1)已知三角形的两边和其中一边的对角，解三角形．
此种情况的基本解法是先由正弦定理求出另一条边所对的角，用三角形的内角和定理求出第三个角，再用正弦定理求出第三边，注意判断解的个数．
(2)已知三角形的两角和任一边，解三角形．
此种情况的基本解法是若所给边是已知角的对边时，可由正弦定理求另一边，再由三角形内角和定理求出第三个角，再由正弦定理求第三边. 若所给边不是已知角的对边时，先由三角形内角和定理求第三个角，再由正弦定理求另外两边．
(3)已知两边和它们的夹角，解三角形．
此种情况的基本解法是先用余弦定理求第三边，再用正弦定理或余弦定理求另一角，最后用三角形内角和定理求第三个角．
(4)已知三角形的三边，解三角形．
此种情况的基本解法是先用余弦定理求出一个角，再用正弦定理或余弦定理求出另一个角，最后用三角形内角和定理，求出第三个角．
要解三角形，必须已知三角形的一边的长．若已知条件中一条边的长也不给出，三角形可以是任意的，因此无法求解．
◎已知钝角三角形的三边a＝k，b＝k＋2，c＝k＋4，求k的取值范围．
【错因】　忽略隐含条件k＋(k＋2)>k＋4，即k>2，
而不是k>0.