余弦定理
复习回顾:
正弦定理:
在一个三角形中各边和它的对边的正弦比相等.
即: 2R为三角形外接圆的直径
说明:1.正弦定理适合任意三角形
2.正弦定理说明同一三角形中,边与它所对角的正弦成正比 ,且比例系数为同一正数,即存在正数2R,使a=2RsinA b=2RsinB c=2RsinC
已知两角及其一边可
以求其他边.已知两边及其一边的对角可以求其他角
问题:已知三角形的两边及他们的夹角,求第三边.在△ABC中,已知AB=c,AC=b,∠A=A,求a即BC.
尝试:能否用正弦定理求解
困难:因为角B,C未知, 较难求 a
发现:当一个三角形的两边和他们的夹角确定后那么第三边也是确定不变的值.也就是说∠A的对边随着∠A的变化而变化.
1,∠A= 时,则a2=b2+c2
2,∠A=π 时,则a2=(b+c)2=b2+c2+2bc
3,∠A= 0 时,则a2=(b - c)2=b2+c2-2bc
我们来看三种极端情况
∠A= π
∠A= 0
相同点:都含有b2+c2
不同点:-2bc的系数不同
-2bc的系数正好是 , π, 0余弦值
那我们就来猜想一下这个公式是不是满足任意三角形呢？
那么就得到了当角A为三个特殊角时的公式
a2=b2+c2-2bccosA
凭感觉上述公式应该满足任意三角形，但是我们应该给出严格的证明.
同学们来考虑:
证明恒等式通常采用什么思考方法？
bccosA这样的结构我们在什么地方遇到过?
A
B
C
c
a
b
证明: b2+c2 – 2bccosA
= 2 + 2 – 2 cosA

= + -2
=（ - )2
=
=a2
余弦定理: (公式形式)在△ABC中,AB=c,BC=a,CA=b,则
a2=b2+c2-2bc.cosA
b2=c2+a2-2ac.cosB
c2=a2+b2-2ab.cosC
或:cosA=
cosB=
cosC=
命题形式:三角形任何一边的平方等于其他两边的平 方 的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.
作用:等式a2=b2+c2-2bccosA含有四个量a、b、c及A,从方程角度看,已知其中三个量,可以求出第四个量.根据已知量与未知量的性质可以知道,余弦定理可以 解决有关三角形的哪些问题呢？
余弦定理
基本作用
已知两边及它们的夹角,求第三边
已知三边求三个角
已知三边判断
三角形的形状
已知两边及其中一边的对角,求第三边
已知三角形三边长为a,b,c,怎样判断△ABC是锐角三角形,直角三角形还是钝角三角形？
设a是最长边,则△ABC是直角三角形a2=b2+c2
△ABC是锐角三角形a2 △ABC是钝角三角形a2>b2+c2
在△ABC中,已知a= ,c= ,B=45°求b及A
解:∵b2=a2+c2-2accosB
=
=
=8
∴b=2
∵cosA= =
∴A=60°
练习:平行四边形两条邻边的长分别是 它们的夹角是45°,求这个平行四边形的两条对角线长与它的面积.
解:如图,BD2=AB2+AD2-2AB·AD·cos45°
=16×3
∴BD=
AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cos135 °
=16×15
∴AC=
S　ABCD=AB·AD·sin45 °
=48(cm)2
A
D
C
B