等差数列
复 习 回 顾
数列的定义，通项公式，递推公式
按一定次序排成的一列数叫做数列。
一般写成a1,a2,a3,…,an,…，简记为{an}。
如果数列{an}的第n项an与n的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式。
如果已知数列{an}的第1项(或前几项），且任一项an与它的前一项a n-1(或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫做这个数列的递推公式。
递推数列通项公式的求法：归纳法、累加法——适用于差式、累乘法——适用于除式、迭代法。
我们经常这样数数，从0开始，每隔5数一次，可以得到数列：
0，5， ， ， ，… ①
2000年，在澳大利亚悉尼举行的奥运会上，女子举重被正式列为比赛项目。该项目共设置了7个级别，其中较轻的4个级别体重组成数列（单位：kg）： 48 ，53，58，63. ②
水库的管理人员为了保证优质鱼类有良好的生活环境，用定期放水清库的办法清理水库中的杂鱼。如果一个水库的水位为18m，自然放水每天水位降低2.5m，最低降至5m。那么从开始放水算起，到可以进行清理工作的那天，水库每天的水位组成数列（单位：m）： 18，15.5，13，10.5，8，5.5. ③
我国现行储蓄制度规定银行支付存款利息的方式为单利，即不把利息加入本金计算下一期的利息。按照单利计算本利和的公式是：本利和=本金×(1+利率×存期)。例如，按活期存入10000元钱，年利率是0.72%，那么按照单利，5年内各年末的本利和（单位：元）组成一个数列：
10072，10144，10216，10288，10360. ④
四 个 实 例
从第二项起，后一项与前一项的差是5。
从第二项起，后一项与前一项的差是5。
从第二项起，后一项与前一项的差是-2.5。
从第二项起，后一项与前一项的差是72。
请同学们思考，这四个数列有何共同特点?
等 差 数 列 的 定 义
一般地，如果一个数列{an},从第2项起每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差。公差通常用字母 d 表示。
这就是数列的递推公式。
是
不是
不是
练 习 一
判断下列各组数列中哪些是等差数列，哪些不是？如果是，写出首项a1和公差d, 如果不是，说明理由。
（1）1，3，5，7，…
（2）9，6，3，0，-3…
（3）-8，-6，-4，-2，0，…
（4）3，3，3，3，…
（6）15，12，10，8，6，…
小结：判断一个数列是不是等差数列，主要是由定义进行判断：
an+1-an是不是同一个常数？
思 考：在数列（1），a100=？我们该如何求解呢？
是
是
是
a1=1,d=2
a1=9,d=-3
a1=-8,d=2
a1=3,d=0
通 项 公 式 的 推 导
设一个等差数列{an}的首项是a1,公差是d,则有：
a2-a1=d,a3-a2=d,a4-a3=d,…
所以有：
a2=a1+d,
a3=a2+d = (a1+d) + d = a1+ 2d
a4=a3+d=（a1+2d）+d=a1+3d
an=a1+(n-1)d 当n=1时，上式也成立。
所以等差数列的通项公式是：
an=a1+(n-1)d（n∈N*）
问an=?
通过观察：a2， a3，a4都可以用a1与d 表示出来；a1与d的系数有什么特点？
an=am +(n-m)d(n,m∈N*)
(a2-a1)+(a3-a2)+(a4-a3)
+…+(an-an-1)=(n-1)d
∴an-a1=(n-1)d
即an=a1+(n-1)d
变形
a2-a1=d,
a3-a2=d,
a4-a3=d,
…
an-an-1=d
a1 、an、n、d知三求一
例 题
例1 （1）求等差数列8，5，2，…的第20项；
（2）判断-401是不是等差数列 –5,-9 ,-13…的项?如果是，是第几项，如果不是，说明理由。
分析（1）由给出的等差数列前三项，先找到首项a1,求出公差d,写出通项公式，就可以求出第20项a20.
解：(1)由题意得：
a1=8,d=5-8=-3,n=20
∴这个数列的通项公式是：
an=a1+(n-1)d=-3n+11
∴a20=11-3×20=-49
分析（2）要想判断 -401是否为这个数列中的项，关键是要求出通项公式，看是否存在正整数n,使得an=-401。
(2)由题意得：
a1=-5,d=-9-(-5)=-4
∴这个数列的通项公式是：
an=-5+ (n - 1) × (-4)=-4n-1
令-401=-4n-1,得 n=100
∴-401是这个数列的第100项。
练 习 二
（1）求等差数列3,7,11…的第4项与第10项；
（2）判断100是不是等差数列`2，9，16，…的项？如果是，是第几项，如果不是，说明理由。
解：（1）根据题意得：
a1=3,d=7-3=11-7=4,
∴这个数列的通项公式是：
an=a1+(n-1)d=4n-1
∴a4=4×4-1=15,
a10=4×10-1=39.
（2）由题意得：
a1=2,d=9-2=16-9=7
∴这个数列的通项公式是：
an=2+ (n-1) × 7
=7n-5(n≥1)
令100=7n-5,得 n=15
∴100是这个数列的第15项。
例2
在等差数列{an}中，已知a5=10,a12=31,求首项a1与公差d .
这是一个以a1和d 为未知数的二元一次方程组，解之得：
解：由题意得：
∴这个数列的首项a1是-2，公差d =3.
小结：已知数列中任意两项，可求出首项和公差，主要是联立二元一次方程组。这种题型有简便方法吗？请同学们思考并做以下练习。
例 题
练 习 三
已知等差数列{an}中，a4=10,a7=19,求a1和d.
∴这个数列的首项是1，公差是3。
解：依题意得：
解之得：
已知等差数列{an}中，a3=9,a9=3, 求a12,a3n.
解法一: 依题意得：
a1+2d=9 解之得 a1 =11
a1+8d=3 d =-1
∴这个数列的通项公式是：an=11- (n-1)=12-n
故 a12= 0, a 3n = 12 – 3 n.
解法二：
思考练习
例3. 三个数成等差数列，它们的和为12，
它们的积为48，求这三个数.
变式：已知四个数成等差数列，它们的和
为28，中间两项的积为40，求这四个数
设数技巧
已知三个数成等差 数列，且和已知时常利用对称性设三数为：a-d , a , a+d
四个数怎么设？
例5. 某市出租车的计价标准为1.2元/km，
起步价为10元，即最初的4km(不含4千
米)计费10元.如果某人乘坐该市的出租车
去往14km处的目的地，且一路畅通，等
候时间为0，需要支付多少车费？
例6 .在等差数列{an}中
(1) 已知 a6+a9+a12+a15=20，求a1+a20
(2）已知 a3+a11=10，求 a6+a7+a8
(3) 已知 a4+a5+a6+a7=56，a4a7=187，求a14及公差d.
分析：由 a1+a20 =a6+ a15 = a9 +a12 及 a6+a9+a12+a15=20，可得a1+a20=10
分析： a4+a5+a6+a7=56 a4+a7=28 ①
　　又 a4a7=187 ② ， 解 ①、 ② 得
或
∴d= _2或2, 从而a14= _3或31
am+an=ap+aq

性质：在等差数列{an}中，由 m+n=p+q
注意：①上面的命题的逆命题 是不一定成立 的；
特例：m=n时，2am=ap+aq，等差中项——平均数
一般：在项数相同的前提下，位置和相等，则项的和相等。如a2 +a3+a9-a4 =2a5
(2）变式：已知a3+a11 – a5=10，求 a9
例7 已知数列的通项公式为an=pn+q，其中p,q是常数，且p≠0，那么这个数列是否一定是等差数列吗？如果是，其首项与公差是什么？
分析：由等差数列的定义，要判定是不是等差数列，只要看an－an-1(n≥2)是不是一个与n无关的常数就行了
解：取数列中的任意相邻两项an-1与an(n≥2)
an－an-1=(pn+q)-[p(n-1)+q]
=pn+q-(pn-p+q)
=p
它是一个与n无关的常数，所以是等差数列，且公差是p
在通项公式中令n=1，得a1=p+q,
所以这个等差数列的首项是p+q，公差是p,
P39探究
（1）数列：-2，0，2，4，6，8，10，…
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1）公差＞0，递增数列
2）等差数列项的对应点都在直线上
等差数列的图象1
（2）数列：7，4，1，-2，…
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等差数列的图象2
1）公差＜0，递减数列
2）等差数列项的对应点都在直线上
（1）数列：4，4，4，4，4，4，4，…
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等差数列的图象3
1）公差=0，常数数列
2）等差数列项的对应点都在直线上
课时小结
通过本课时的学习，首先要理解和掌握等差数列的定义及数学表达式： an+1-an=d(n≥1且n∈N*);
其次要会推导等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d( n≥1) .
本课时的重点是通项公式的灵活应用,知道an,a1,d,n中任意三个，应用方程的思想，可以求出另外一个。最后，还要注意一重要关系式，an=am+(n-m)d的理解与应用。
已知等差数列{an}中，am、公差d 是常数，试求出an的值。
分析：本题是一个含有字母的计算题，做题时必须将am ,d 看成是常数.
解：设等差数列{an}的首项是a1，依题意可得：
am=a1+(m-1)d ①
an=a1+(n-1)d　　　　　②　　　
②- ①得：an-am=a1+ ( n – 1 )d-[a1+(m-1)d]=(n-m)d
∴an=am +(n-m)d
思考题：
变形
等差数列的通项公式：
等差数列
an-a1=(n-1)d
a4-a3=d
a2-a1=d
a3-a2=d
an-1-an-2=d
an-an-1=d
…………
等差数列的通项公式：
an=a1 +(n-1)d
等价变形：
a1=an- (n-1)d
d=(an-a1)/ (n-1)
n=(an-a1)/d+1
等差数列
思考:
an=a1 +(n-1)d
am=a1 +(m-1)d
am-an =(m-n) d
d=am-an /(m-n)
am=?
am-an =?
am=an +(m-n) d