等差数列
复习回顾:
1.数列定义:按照一定顺序排成的一列数,
简记作:{an}
2.通项公式:数列{an}中第n项an与n之间的关系式
3.数列的分类
(1)按项数分：
有穷数列，
(2)按项之间的大小关系：
递增数列，
递减数列，
无穷数列
摆动数列，
常数列。
4.数列的实质
5.递推公式:
如果已知{an}的第1项(或前n项),且任一项an与它的前一项an-1(或前n项)间的关系可用一个公式来表示,这个公式叫做数列的递推公式.
1.我们经常这样数数，从0开始，每隔5数一次，可以得到数列：
0，5， 10，15，20，…
2. 2000年，在澳大利亚悉尼举行的奥
运会上，女子举重被正式列为比赛项
目.该项目共设置了7个级别.其中较轻
的4个级别体重组成数列(单位：kg)：
48，53，58，63.
3.水库的管理人员为了保证优质鱼类有良好的生活环境，用定期放水清库的办法清理水库中的杂鱼。如果一个水库的水位为18m，自然放水每天水位降低2.5m，最低降至5m。那么从开始放水算起，到可以进行清理工作的那天，水库每天的水位组成数列（单位：m）：
18，15.5，13，10.5，8，5.5.
4.我国现行储蓄制度规定银行支付存款利息的方式为单利，即不把利息加入本金计算下一期的利息。按照单利计算本利和的公式是：本利和=本金×(1+利率×存期)。例如，按活期存入10000元钱，年利率是0.72%，那么按照单利，5年内各年末的本利和（单位：元）组成一个数列：
10072，10144，10216，10288，10360.
48, 53, 58, 63
18，15.5，13，10.5，8，5.5.
10072, 10144, 10216, 10288, 10360
问题1：观察一下上面的这四个数列：
①
②
③
④
这些数列有什么共同特点呢？
0, 5, 10, 15, 20
以上四个数列从第2项起，每一项与
前一项的差都等于同一个常数
1.等差数列：一般地，如果一数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列;
这个常数叫做等差数列的公差，
公差常用字母d表示。
二、新课讲解
2.等差数列定义的符号语言：
an-an-1=d， ( n≥2 )，其中d为常数
（ an+1-an = d n∈N+ ）
（一）等差数列的定义：
是
不是
不是
练 习
判断下列各组数列中哪些是等差数列，哪些不是？如果是，写出首项a1和公差d, 如果不是，说明理由。
（1）1，3，5，7，…
（2）9，6，3，0，-3…
（3）-8，-6，-4，-2，0，…
（4）3，3，3，3，…
（6）15，12，10，8，6，…
小结：判断一个数列是不是等差数列，主要是由定义进行判断：
an+1-an是不是同一个常数？
是
是
是
a1=1,d=2
a1=9,d=-3
a1=-8,d=2
a1=3,d=0
1、等差数列要求从第2项起，后一项与
前一项作差。 不能颠倒。
2、作差的结果要求是同一个常数。
可以是整数，也可以是０和负数。
等差数列
你注意到了吗？
判断题
(1)数列a，2a，3a，4a，…是等差数列;
(2)数列a－2，2a－3，3a－4，4a－5，…是等差数列;
(3)若an－an+1=3 (n∈N*)，则{an}是公差为3的等差数列;
(4)若a2－a1=a3－a2, 则数列｛an｝是等差数列。
已知数列{an}是等差数列，d是公差，则：
当d=0时， {an}为常数列；
当d>0时， {an}为递增数列；
当d<0时， {an}为递减数列；
思考：上述数列的公差与该数列的类型有关系吗？
探究
在如下的两个数之间插入一个什么数之后这三个数会成为一个等差数列。
（1）2，___, 8
（2）-6，___, 0
（3）a, ____, b
等差中项
如果a,A,b三个数成等差数列，这时我们称A为a与b的等差中项。利用等差数列的概念可知：
不难发现，在一个等差数列中，从第
2项起，每一项（有穷数列的末项除外）
都是它的前一项与后一项的等差中项.
数列：1，3，5，7，9，11，13…
5是3和7的等差中项，1和9的等差中项；
9是7和11的等差中项，5和13的等差中项.
求出下列等差数列中的未知项
(1):3, a, 5;
(2):3, b, c,-9;
填空题
(1)等差数列8，5，2，…，的第5项是_____;
(2)已知等差数列-5，-9，-13，… ,则d=____;
递推公式是___________; 通项公式是_________.
(3)已知等差数列{an}的首项是a1，公差是d，通项公式是___________;
-4
-4
an= -4n-1
练习
a2=a1+d
a3=a2+d=(a1+d )+d=a1+2d
a4=a3+d=(a1+2d )+d=a1+3d
……
an=an-1+d=a1+(n-1)d
又∵当n=1时，上式也成立
∴an=a1+(n-1)d
方法1：∵由等差数列的定义可得
不完全归纳法
∴
(3)已知等差数列{an}的首项是a1，公差是d，通项公式是___________;
练习
a2-a1=d
a3-a2=d
a4-a3=d
…
…
an-an-1=d (n>1)
上述各式两边同时相加，得
an-a1=(n-1)d
方法2：∵由等差数列的定义可得
叠加法
又∵当n=1时，上式也成立
∴an=a1+(n-1)d
(3)已知等差数列{an}的首项是a1，公差是d，通项公式是___________;
练习
（二）等差数列的通项公式：
若等差数列{an}的首项是a1，公差是d，则
an=a1+(n-1)d
二、新课讲解
课本P39.1，2
例1：在等差数列{an}中，已知a5=10,a12=31,求首项a1与公差d .
这是一个以a1和d 为未知数的二元一次方程组，解之得：
解：由题意得：
∴这个数列的首项a1是-2，公差d =3.
注: 等差数列的通项公式中 ，an , a1 , n,d这四个变量 ， 知道其中三个量就可以求余下的一个量 。
学案P66.例1，变式
三、例题
例2. 在等差数列{an}中，
（1）已知a1=2，d=3，n=10，求a10
解：a10=a1+9d=2+9×3=29
（2）已知a1=3，an=21，d=2，求n
解：∵21=3+(n-1)×2
∴n=10
（3）已知a1=12，a6=27，求d
解： ∵a6=a1+5d，即27=12+5d
∴ d=3
（4）已知d=-1/3，a7=8，求a1
解：∵a7=a1+6d 8=a1+6×(-1/3)
∴a1=10
例3. (1)等差数列8，5，2,······的第20项是几？
(2)-401是不是等差数列-5，-9，-13，·····的项？
如果是，是第几项？
（2）由题意得，a1=-5，d=-4，an=-401
∵an=a1+(n-1)d
∴-401=-5+(n-1)×(-4)
∴n=100
∴-401是这个数列的第100项
解： （1）依题意得，a1=8，d=5-8=-3
∴a20=a1+19d=8+19×(-3)=-49
三、例题
例5.某市出租车的计价标准为1.2元/km，起步价10元，即最初的4km（不含4km）计费10元．如果某人乘坐该市的出租车去往14km处的目的地，且一路畅通，等候时间为0，需要支付多少车费？
解：根据题意，当该市出租车的行程大于或等于4km时，每增加1km，乘客需要支付1.2元.
所以，我们可以建立一个等差数列{an}来计算车费.
令a1 =11.2，表示4km处的车费，公差d=1.2。
那么当出租车行至14km处时，n=11，此时需要支付车费
  a11=11.2＋ (11－1) ×1.2=23.2
答：需要支付车费23.2元。
三、例题
解：（1）依题意得
a1+4d=10
a1+11d=31
解得 a1= - 2 , d = 3
∴ a25=a1+24d = -2+24×3=70
例4.在等差数列{an}中， a5=10，
（1）若a12=31，求a25 ；
（2）若d=2，求a10；
an=am+(n-m)d
例.a10=a5+ d， a32=a99+ d.
5
－67
二、例题
三、新课
设 {an}是公差为d的等差数列，那么
(1) an=am+(n-m)d
等差数列的常用性质1
－7
练习
1. 在3与27之间插入7个数,使这9个数成等差数列,则
插入这7个数中的第4个数的值为______
2. 若{an}为等差数列,ap= q, aq=p(p ≠q),则ap+q= ______
3. 在等差数列{an}中,已知am+n=A, am-n=B,则a2m = _____
15
0
例6已知数列{an}的通项公式为an=pn+q，其中p、q为常数且p≠0，判断这个数列是不是等差数列，并证明你的判断．
证：取数列{an}中的任意相邻两项an与an-1 (n≥2) ，则
∵p是一个与n无关的常数 ∴{an}是一个等差数列
3.等差数列{an}的通项公式为an=p n+q 的图象的特征是 ;
数列的公差的几何意义是: .
解：数列{an}
是一个等差数列
2.证明数列{an}是等差数列的方法: .
证明：an+1-an= 常数.
二、例题
各项对应的点在同一条直线上.
各项对应的点所在直线的斜率.
如何判断一个数列为等差数列
(3) 已知数列{an}是等差数列，
求证：数列{an+an+1} 也是等差数列.
（4）证明：若数列 与 是等差数列，
是等差数列吗？
（4）去掉前几项后余下的数列是等差数列吗？奇数项数列和偶数项数列仍是等差数列吗？
等差数列的常用性质2
若 成等差数列，则
成等差数列.
推广：在等差数列有规律地取出若干项，所得新数列仍然为等差数列。（如奇数项，项数是7的倍数的项）
等差数列的常用性质2
推论：
已知一个等差数列的首项为a1，公差为d
a1，a2，a3，……an
（1）将前m项去掉，其余各项组成的数列是等差数列吗？如果是，他的首项与公差分别是多少？
am+1，am+2，……an是等差数列
首项为am+1，公差为d，项数为n-m
等差数列的常用性质2
等差数列的常用性质2
已知一个等差数列的首项为a1，公差为d
a1，a2，a3，……an
（2）取出数列中的所有奇数项，组成一个数列，是等差数列吗？如果是，他的首项与公差分别是多少？
a1，a3，a5，……是等差数列
首项为a1，公差为2d
取出的是所有偶数项呢？
a2，a4，a6，……是等差数列
首项为a2，公差为2d
等差数列的常用性质2
已知一个等差数列的首项为a1，公差为d
a1，a2，a3，……an
（3）取出数列中所有项是7的倍数的各项，组成一个数列，是等差数列吗？如果是，他的首项与公差分别是多少？
a7，a14，a21，……是等差数列
首项为a7，公差为7d
取出的是所有k倍数的项呢？
ak，a2k，a3k，……是等差数列
首项为ak，公差为kd
等差数列的常用性质2
已知一个等差数列的首项为a1，公差为d
a1，a2，a3，……an
（4）数列a1+a2，a3+a4，a5+a6，……是等差数列吗？公差是多少？
a1+a2，a3+a4，a5+a6，……是等差数列，公差为2d

数列a1+a2+a3，a2+a3+a4，a3+a4+a5……是
等差数列吗？公差是多少？
a1+a2+a3，a2+a3+a4，a3+a4+a5……是等差数列，
公差为3d。
等差数列的常用性质2
等差数列的常用性质3
练习.在等差数列{an}中，
(1)已知 a6+a9+a12+a15=20，求：a1+a20
(2)已知 a3+a11=10，求：a6+a7+a8
(3)已知 a2+a14=10，能求出a16吗？
10
15
例3 .在等差数列{an}中，a6＝19 ,a15=46，求a4+a17的值．
(4)已知 a4+a5+a6+a7=56，a4a7=187，求a14及公差d.
不能
注意：逆命题是不一定成立的；
与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项的
和，即
等差数列的常用性质3推论
判断：
可推广到三项，四项等
注意：等式两边作和的项数必须一样多
√
×
√
√
×
例4.三数成等差数列，它们的和为12，首尾二数的积也为12，求此三数.
解：设这三个数分别为a-d，a，a+d
则 (a-d)+a+(a+d)=12，即3a=12
∴a=4
又∵ (a-d)(a+d)=12，即(4-d)(4+d)=12
解得 d=±2
∴当d=2时，这三个数分别为2，4，6
当d=-2时，这三个数分别为6，4，2
二、例题
练习：若四个数成递增等差数列，中间两个数的和为2，首末两数的积为-8，求这四个数
学案P69例1
设项技巧：
（1）若有三个数成等差数列，则可设为
（2）若有四个数成等差数列，则可设为
（3）若有五个数成等差数列，则可设为
练习：若四个数成递增等差数列，中间两个数的和为2，首末两数的积为-8，求这四个数
例4.三数成等差数列，它们的和为12，首尾二数的积也为12，求此三数.
等差数列的常用性质4
练习：
1.已知 ，求 的值。
解:
2. 在数列{an}中a1=1，an= an+1+4，则a10=

7.
d=an+1—an=4
-35
构造等差数列
3、
4、
构造等差数列
学案P70例2换元法求通项公式：
五、小结
3.等差数列的性质
设 {an}是公差为d的等差数列，那么
(1) an=am+(n-m)d
1.数列{an}是等差数列 an=p n + q (p、q是常数)
2.判断等差数列的方法:
(定义法)利用an-an-1是否是一个与n无关的常数
(中项公式法)判断an与an+1+an-1的关系
作业3.14
作业本：课本P40.1，3
学案3.2.1
作业3.15
2.已知an是公差为d的等差数列，证 (c为任一常数)是公差为 的等差数列
1.已知{an}是等差数列， a5=10，a8=16，求a15 ；
3.已知数列 为等差数列,且满足
学案3.2.2
作业3.16
作业3.17
五、小结
1.定义：an-an-1=d （n≥2）或
an+1-an=d (n∈N*)
2. 通项公式
an =a1+(n-1)d
{an}为等差数列 
3. 等差数列的性质
an+1- an=d
an+1=an+d
an= a1+(n-1) d
an= kn + b
（k、b为常数）



