填一填·知识要点、记下疑难点
等差
公差
等差中项
a1＋
(n－1)d
递增
递减
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从第2项起，每一项与前一项的差都等于同一常数
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：推导等差数列的通项公式，除了课本上的归纳法外，还有哪些方法．
法二　(迭代法)
∵{an}是等差数列，
∴an＝an－1＋d＝an－2＋d＋d＝an－2＋2d＝an－3＋3d＝…＝a1＋(n－1)d，
∴an＝a1＋(n－1)d.
法三　(逐差法)
∵{an}是等差数列，
∴an＝an－an－1＋an－1，an－1＝an－1－an－2＋an－2，an－2＝an－2－an－3＋an－3，…，a2＝a2－a1＋a1，
∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋(an－2－an－3)＋…＋(a2－a1)＋a1＝(n－1)d＋a1，
∴an＝a1＋(n－1)d.
等差数列的通项公式
(1)确定a1和d是确定通项的一般方法．
(2)由方程思想，根据an，a1，n，d中任何三个量可求解另一个量，即知三求一．
(3)通项公式可变形为an＝dn＋(a1－d)，可把an看作自变量为n的一次函数．
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等差中项的理解
(2)等差中项的概念变形给出了判断一个数列是否为等差数列的方式，如若an，an＋1，an＋2满足2an＋1＝an＋an＋2，则数列{an}为等差数列，这是因为2an＋1＝an＋an＋2等价于an＋1－an＝an＋2－an＋1，显然满足等差数列的定义．
(3)在等差数列中，除首末两项外，任何一项都是前后两项的等差中项．
2．
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题型一　等差数列的通项公式及应用
已知递减等差数列{an}的前三项和为18，前三项的乘积为66.求数列的通项公式，并判断－34是该数列的项吗？
[思路探索] 本题主要考查等差数列的通项公式及等差数列的基本运算．
【例1】
∵数列{an}是递减等差数列，∴d<0.
故取a1＝11，d＝－5.
∴an＝11＋(n－1)·(－5)＝－5n＋16.
即等差数列{an}的通项公式为an＝－5n＋16.
令an＝－34，即－5n＋16＝－34，得n＝10.
∴－34是数列{an}的第10项．
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在－1与7之间顺次插入三个数a，b，c使这五个数成等差数列，求此数列．
[思路探索] 由a1＝－1及a5＝7，可使用通项公式求得公差d，再利用通项公式分别求得a，b，c；也可利用等差中项先求得b，再依次使用等差中项求得a，c.
解　法一　设a1＝－1，a5＝7.
∴7＝－1＋(5－1)d⇒d＝2.
∴所求的数列为－1,1,3,5,7.
法二　∵－1，a，b，c,7成等差数列，
∴b是－1与7的等差中项．
题型二　等差中项及其应用
【例2】
(1)求证：数列{bn}是等差数列；
(2)求数列{an}的通项公式．
审题指导
题型三　等差数列的判定与证明
【例3】
【题后反思】 判断一个数列是否是等差数列的常用方法有：
(1)an＋1－an＝d(d为常数，n∈N*)⇔{an}是等差数列；
(2)2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)⇔{an}是等差数列；
(3)an＝kn＋b(k，b为常数，n∈N*)⇔{an}是等差数列．
但若要说明一个数列不是等差数列，则只需举出一个反例即可．
若数列{an}的通项公式为an＝10＋lg 2n，试说明数列{an}为等差数列．
[错解] 因为an＝10＋lg 2n＝10＋nlg 2，
所以a1＝10＋lg 2，a2＝10＋2lg 2，a3＝10＋3lg 2，…，
所以a2－a1＝lg 2，a3－a2＝lg 2，…，
故数列{an}为等差数列．
误区警示　对等差数列的定义理解不透彻
【示例】
证明一个数列为等差数列，以特殊代替一般，用验证几个特例作为证明是不正确的，必须用定义或与定义等价的命题来证明．
[正解] 因为an＝10＋lg 2n＝10＋nlg 2，
所以an＋1－an＝[10＋(n＋1)lg 2]－(10＋nlg 2)＝lg 2(n∈N*)．
所以数列{an}为等差数列．
要说明一个数列为等差数列，必须说明从第二项起所有的项与其前一项之差为同一常数，即an－an－1＝d(n≥2)恒成立，而不能只验证有限个相邻两项之差相等．
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练一练·当堂检测、目标达成落实处
B
C
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