2.3 等差数列的前n项和
第二章 数列
第一课时
1.等差数列的定义：
2.通项公式：
3.重要性质:
复习
一个堆放铅笔的V形架，最下面第一层放一支铅笔，往上每一层都比它下面多放一支，就这样一层一层地往上放。最上面一层放100支。求这个V形架上共放着多少支铅笔？
即求：S=1+2+3+······+100=？
引入
高斯出生于一个工匠家庭，幼时家境贫困，但聪敏异常。上小学四年级时，一次老师布置了一道数学习题：“把从1到100的自然数加起来，和是多少？”年仅10岁的小高斯略一思索就得到答案5050，这使老师非常吃惊。那么高斯是采用了什么方法来巧妙地计算出来的呢？
高斯（1777---1855）， 德国数学家、物理学家和天文学家。他和牛顿、阿基米德，被誉为有史以来的三大数学家。有“数学王子”之称。
高斯“神速求和”的故事:
首项与末项的和： 1＋100＝101，
第2项与倒数第2项的和： 2＋99 =101，
第3项与倒数第3项的和： 3＋98 ＝101，
· · · · · ·
第50项与倒数第50项的和：50＋51＝101，
于是所求的和是：
求 S=1+2+3+······+100=？
你知道高斯是怎么计算的吗？
高斯算法：
高斯算法用到了等差数列的什么性质？
如图，是一堆钢管，自上而下每层钢管数为4、5、6、7、8、9、10，求钢管总数。
即求：S=4+5+6+7+8+9+10.
高斯算法：
S=（4+10) +（5+9）+（6+8）+7 = 14×3+7=49.
还有其它算法吗？
S=10+9+8+7+6+5+4.
S=4+5+6+7+8+9+10.
相加得：
倒序相加法
两种求和法 ：
高斯算法
倒序相加法
怎样求一般等差数列的前n项和呢？
探究
思路1
思路2
思路3
等差数列的前n项和公式
公式1
公式2
1、已知首项、末项用公式Ⅰ；已知首项、公差用公式Ⅱ.
2、等差数列五个基本量 a1,an,d,n,Sn，“知三求二”(方程的思想).
说明：
例1、计算：
举例
例3、
注：本题体现了方程的思想.
解：
例4、
解：
又解：
整体运算的思想!
例6、
解：
1、一个等差数列前4项的和是24，前5项的和与前2项的和的差是27，求这个等差数列的通项公式。
解：
练习
解:
1、用倒序相加法推导等差数列前n项和公式;
小结
已知首项、末项用公式Ⅰ；已知首项、公差用公式Ⅱ.
3、应用公式求和.“知三求二”，方程的思想.
当已知条件不足以求出a1和d时，要认真观察，灵活应用等差数列的性质，看能否用整体思想求a1+an的值.
4、数学方法：观察、尝试、归纳、类比等.
数学思想：类比思想、整体思想、方程思想等.
课本P46（A） 1、2
作业
2.3 等差数列的前n项和
第二章 数列
第二课时
复习
根据下列条件，求相应的等差数列 {an}的Sn。
课前练习
例1 求集合 的元素个数，并求这些元素的和.
解：
所以集合M中的元素共有14个.
将它们从小到大列出，得
即 7，14，21，28，…，98
这个数列是成等差数列，
答：集合M共有14个元素，它们的和等于735.
记为
思考：
其前30项和S30呢？
S30=2730
a1+…+a10=310
a11+…+a20=910
a21+…+a30=1510
结论
（1）当r≠0时，{an}不是等差数列；
（1）定义：an+1-an=d
判断数列等差的依据：
（2）当r=0时，{an} 是等差数列：首项p+q，公差2p.
（2）等差中项
（3）通项特征：一次形式
（4）前n项和特征：无常数项的二次形式
an = 4n-14
Sn = 2n2-12n
Sn的深入认识
解：法一
法二
（1）当d>0时,Sn有最小值
若a1>0,则S1最小；
若a1<0,则所有负数项的和最小。
Sn有最大值还是最小值取决于公差d的正负
结论：
另法：前n项和Sn的公式是关于n的二次函数，故可利用二次函数来求最值（注意：n为正整数）。
（2）当d<0时,Sn有最大值
若a1<0,则S1最大；
若a1>0,则所有正数项的和最大。
例5 已知一个等差数列中满足
解：
方法一
故当n=9时，Sn取最大值.
方法二
已知等差数列16，14，12，10， …(1)前多少项的和为72？(2)前多少项的和为0？(3)前多少项的和最大？
跟踪训练
8
17
8或9
例6、已知一个有限项等差数列，前5项的和是34，
后五项的和是146，所有项的和是234，求第7项．
分析：根据等差数列的性质，前五项的和与后五项的和的和就是首相与末项和的五倍．
解：
例7、已知一个等差数列前12项的和是354，前
12项中偶数项的和与奇数的和之比为32：27，求公差．
解：法一：
法二：
例8、已知一个等差数列中共有2n+1项，且奇数
项的和为44，偶数项的和为33，求数列的项数。
故数列共有7项。
此数列有7项，S7=77，S奇/S偶=4/3， S奇－S偶=11，
思考：
第四项a4= ，这些结果有何关系？
11
等差数列的性质
推广：在等差数列中，每次有规律地取出若干项相加，这些和仍等差。
2、设等差数列有奇数项（2n+1），则
S奇/S偶=（n+1）/n， S奇－S偶=an+1（a中）；
3、设等差数列有偶数项（2n），则
S偶/S奇=an+1/an， S偶－S奇=nd。
4、设两等差数列{an}、{bn}分别为Sn、Tn
则 an/bn= S2n-1/T2n-1.
利用奇数项和偶数项之间的关系，相差一个公差d.
P46 (A) 4、6
(B) 3、4
作业