2.4 等比数列
对折一次
对折二次
对折三次
对折四次
…...
…...
…...
设木棰长度为1
木棰长度
第一天取半
第二天取半
第三天取半
第四天取半
......
......
......
观察上述情境中得到的这几个数列，看有何共同特点?
2, 4, 8, 16, …;
①②
共同特点：从第二项起，每一项与前一项
的比都等于同一个常数．
-2, 2, -2, 2, …. ④
讲授新课
1. 等比数列的定义:
一般地，若一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列.这个常数叫等比数列的公比，用字母q 表示.
(q≠0)
2.等比数列定义的符号语言:
注意：
(2)公比q一定是由后项比前项所得，而不
能用前项比后项来求，且q≠0；
(1) 等比数列｛an｝中, an≠0；
(3)若q＝1，则该数列为常数列．
(4)常数列 a, a , a , a , …
公比q对数列的影响
从第2项起，每一项与它前一项的比都等于同一个常数,
这个数列叫做等比数列.
这个常数叫做等比数列的公比，用q表示.
从第2项起，每一项与它前一项的差都等于同一个常数，
这个数列叫做等差数列.
这个常数叫做等差数列的公差，用d表示
(1) 1，3，9，27，…
(2) 5， 5， 5， 5，…
(3) 1，-1，1，-1，…
(4) 1，0，1，0，…
练 习
判断下列各组数列中哪些是等比数列，哪些不是？如果是，写出首项a1和公比q, 如果不是，说明理由。
是
是
是
a1=1, q=3
a1=5, q=1
a1=1, q= -1
不是
(5) 0，0，0，0，…
(6) 1, a, a2, a3 , …
(7) x0, x, x2, x3 , …
(8) 1，2，6，18，…
不是
不是
小结：判断一个数列是不是等比数列，主要是由定义进行判断：
a1=x0, q=x
是
不是
如果在a与b中间插入一个数G，使a, G，b成等比数列，那么称这个数G为a与
b的等比中项.
3.等比中项：
注意：若a，b异号则无等比中项,
若a，b同号则有两个等比中项.
思考．若G2＝ab，则a，G，b一定成等比数列吗？
提示：不一定，若a＝G＝b＝0时，不满足．
练习：
4.等比数列的通项公式
①归纳猜想法
②叠乘法
以a1为首项，q为公比的等比数列{an}的通项公式为：
4.等比数列的通项公式：
5.等比数列通项公式的推广：
7.等比数列通项公式的应用：知三求一
6.等比数列的公比公式：
若数列{an}的首项是a1=1,公比q=2,则用通项公式表示是：＿＿＿＿＿＿
an=2 n－1
上式还可以写成
可见，表示这个等比数列
的各点都在函数
的图象上，如右图所示。
0 1 2 3 4 n
an
8
7
6
5
4
3
2
1
·
·
·
·
通项公式法:an= b·cn
例2、一个等比数列的第3项与第4项分别是12与18,求它的第1项与第2项.
解：设这个等比数列的第1项是 ,公比是q ，那么
因此
课堂互动
（2）一个等比数列的第2项是10,第3项是20,求它的第1项与第4项.
答：它的第一项是36 .
答：它的第一项是5，第4项是40.
A
练习:
课堂小结
从第2项起,每一项与它前一项的差等于同一个常数
公差(d )
d 可正、可负、可零
从第2项起,每一项与它前一项的比等于同一个常数
公比(q )
q可正、可负、不可零
等比数列（二）
1、等比数列的定义：
一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列，这个常数就叫做等比数列的公比，常用字母q表示（q≠0）。
知识回顾：
2、等比数列定义式：
或
3、等比中项的定义：
由三个数a , G, b组成的等比数列可
以看成最简单的等比数列。这时，G叫
做a与b的等比中项。且
4、等比数列的通项公式及其推论：
例1、有三个数成等比数列，若它们的积
等于64，和等于14，求此三个数？
注意：等比数列中若三个数成等比数列，可以设为
练习：已知三个数成等比数列，它们的积为27，
它们的立方和为81，求这三个数。
例2、有四个数，若其中前三个数成等比数列，
它们的积等于216，后三个数成等差数列，它们
的和等于12，求此四个数？
注意：等比数列中若四个数成等比数列，不能设为
因为这种设法表示公比大于零！
可以设这四个数为a,b,c,d
2．有四个数，前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，首末两数之和为37，中间两数之和为36，求这四个数．
例3：某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年剩留的这种物质是原来的84%.这种物质的半衰期为多长(精确到1年)？
放射性物质衰变到原来的一半所需时间称为这种物质的半衰期
思考三：若{an} ,{bn}是项数相等的等比数列，
则{an·bn}是否为等比数列？
{can}是否为等比数列？

{an2} 呢?
{pan+qbn}(p,q是常数)呢？
是
是
是
是
是
那么：
等比数列的性质
特殊地:
解：解法一：∵a6＝a2q4，其中，a2＝2，a6＝162，
∴q4＝81，∴a10＝a6q4＝162×81＝13 122.
解法二：∵2、6、10三数成等差数列，
∴a2、a6、a10成等比数列．
例2.在等比数列{an}中，
(1)若a1a10=10，求其前10项的积;
(2)若an>0，a2a4+2a3a5+a4a6=25,求a3+a5;
(3)若a1a9=256, a4+a6=40,求公比q.
题型一、下标性质运用
KEY：运用下标和性质/通法:化到a1和q。
例3.（2010·全国Ⅰ卷）已知各项均为正数的等比数列｛an｝中，a1a2a3＝5,a7a8a9＝10,则a4a5a6＝(　　)
A
例4：求等比数列1,a,b,c,9中，a、b、c的值。
解：由于b是1、9的等比中项，故b2=1 9, 得b=3或-3。……
错啦！原因：G2=ab表明G是a,b的等比中项，还有一个暗示就是ab>0，即ab同号！表现在等比数列中的一个特征就是隔项必同号。故本例中b不可能为-3，且a、c也要同号。因而只有两组可能的解。
正解：
解：(1)a6a8=a72=9
(2)a3a11=a72=9
∵a1a11 = a62=9且an>0
∴a6=3
解：
练习．1、在等比数列{an}中，
若已知a3a4a5=8,求a2a6的值.
答案：D
4．在等比数列{an}中，a6·a15＋a9a12＝30，则前20项的积等于__________．
解析：∵数列{an}成等比数列，
∴a6·a15＝a9·a12，
∴a6·a15＝15，
∴a1·a2·a3·a4·…·a20＝(a1·a20)10＝(a6·a15)10
＝1510.
答案：1510
1．在1与100之间插入n个正数，使这n＋2个数成等比数列，则插入的n个数的积为________．
解析：利用性质“aman＝apaq“便可迅速获得，设插入的n个数为a1，a2，…，an，G＝a1a2·…·an，则G2＝(a1an)·(a2an－1)(a3an－2)·…·(ana1)＝(1×100)n，∴G＝10n.
答案：10n
2、在等比数列{an}中，
且q=2，求a1和n.
3、（2006全国卷I）已知{an}为等比数

列，公比q>1,a2+a4=10, a1.a5=16 求等比

数列 {an}的通项公式
C
1．等比数列的性质
(1)在等比数列中，我们随意取出连续的三项以上的数，把它们重新依次看成一个数列，则仍是等比数列．
(2)在等比数列中，我们任取“间隔相同”的三项以上的数，把它们重新依次看成一个数列，则仍是等比数列，如：等比数列a1，a2，a3，… ，an，….那么a2，a5，a8，a11，a14，…；a3，a5，a7，a9，a11…各自仍构成等比数列．
要点阐释
2．等差数列与等比数列
等比数列与等差数列是非常重要的两类数列，它们在一定的条件下，可以相互转化，等比数列与等差数列相结合的题型是考查的重点.
第三课时
总结（二）
知识回顾
KEY：如果递推关系是连续三项时，也可以用等比中项式证明等比数列：
例3 根据如图中的框图,写出所打印数列的前5项,并建立数列的递推公式.这个数列是等比数列吗?
等比数列的判定与证明
∵a1，a2，a4成等比数列，∴a22＝a1a4.
即(a1＋d)2＝a1(a1＋3d)，整理得d2＝a1d.
∵a1≠0，∴a1＝d或d＝0.
当a1＝d≠0时，a4＝4d，a6＝6d，a9＝9d，
∴a62＝a4a9＝36d2，
∴a4，a6，a9成等比数列．
当a1≠0且d＝0时，是非零常数列，满足题意．
综上可知a4，a6，a9成等比数列．
题型二　等差数列与等比数列的综合题
【例1】 三个正数成等差数列，它们的和等于15，如果它们分别加上1,3,9，就成为等比数列，求此三个数．
方法点评：此类问题一般设成等差数列的数为未知数，然后利用等比数列知识建立等式求解．另外，对本题若设所求三数为a，b，c，则列出三个方程求解，运算过程将繁冗些．因此，在计算过程中，设的未知数个数应尽可能少．
误区解密　因没数清数列的项数致误
正解：∵a5·a2n－5＝22n＝an2，an＞0，
∴an＝2n，∴log2a1＋log2a3＋…＋log2a2n－1
＝log2(a1a3…a2n－1)＝log221＋3＋…＋(2n－1)
＝log22n2＝n2.故选B
答案：B
错因分析：对等差数列1,3，…，2n－1的项数没数清．
1．根据等比数列的定义知，等比数列各项的符号有以下几种规律：各项均为正值；正负(或负正)相间；各项均为负值．
2．设未知数的方法很多，原则是使得未知数尽量少，方程尽量简单，所以要根据题意选择适当的未知数．
3．一些数列通过适当的变形，可以得到一个等比数列(或等差数列)，形如an＋1＝qan＋p的数列就可以转化为一个等比数列．
课堂总结
知识回顾
从第二项起,每一项与前一项的差都等于同一个常数.
从第二项起,每一项与前一项的比都等于同一个常数.
an-an-1=d(n≥2)
an/an-1=q(n≥2)
an=a1+(n-1)d或an=ak+(n-k)d
an=a1qn-1或an=akqn-k
①am+an=ap+al(m+n=p+l)
②ak1,ak2,ak3等差(k1,k2,k3等差)
③Sk,S2k-Sk,S3k-S2k等差
①aman=apal(m+n=p+l)
②ak1,ak2,ak3等比(k1,k2,k3等差)
③
三数等差设为a-d,a,a+d
四数等差设为a-3d,a-d,a+d,a+3d
三数等比设为a/q,a,aq或a,aq,aq2
an是n的一次函数，(n,an)在同一直线上
Sn是n的二次函数,可求最大值或最小值