一元二次不等式及其解法
上网获取信息已经成为人们日常生活的重要组成部分，
因特网服务公司(ISP)的任务就是负责将用户的计算机接入
因特网，同时收取一定的费用。
某同学要把自己的计算机接入因特网，现有两家ISP公司
可供选择。公司A 每小时收费1.5 元；公司B 的收费原则如图
所示，即在用户上网的第1小时内收费1.7元，第2小时内收费
1.6元，以后每小时减少0.1 元(若用户一次上网时间超过17小
时，按17小时计算).
一般来说，一次上网时间不会超过17个小时，所以，不
妨假设一次上网时间总小于17小时，那么，一次上网在多长
时间以内能够保证选择公司A比选择公司B所需费用少？
假设一次上网x小时，则公司A收取的费用为1.5x(元)
如果能够保证选择公司A比选择公司B所需费用少，则
这是一个关于x的一元二次不等式.只要求得满足不等式
①的解集，就得到了问题的答案.
怎样求不等式①的解集呢？
当x＜0或x＞5时，函数图象位于
x轴上方，
此时y＞0，即x2-5x＞0；
当0＜x＜5时，函数图象位于x轴下方，
此时y＜0，即x2-5x＜0；
所以一元二次不等式x2-5x＞0的解集是
{ x | 0＜x＜5 }.
所以当一次上网时间在5小时以内时，选择公司A的费用
少；超过5小时，选择公司B的费用少.
一元二次方程、一元二次不等式、二次函数的相互关系及其解法：
有两个相等实根
无实根
用程序框图表
示求一元二次方程
的过程：
例1 求不等式 的解集.
解：
解：
不等式可变形为
因为 ⊿＝ -8 ＜0，
例2 求不等式 的解集.
证明：
(1)当a – 2 = 0时，即a=2，原不等式为 -4＜0。
(2)当a - 2≠0时，此不等式对一切x都成立，则
解得-2
由(1)(2)知，当 时不等式对一切 恒成立.
1．解关于x的不等式ax2－(2a＋1)x＋2<0.
解：(1)当a＝0时，原不等式可化为－x＋2<0，解集为{x|x>2}．
(2)当a>0时，原不等式化为(ax－1)(x－2)<0，
方法点评：一元二次不等式ax2＋bx＋c>0，ax2＋bx＋c<0的解集的端点就是对应的一元二次方程的解．
[例6] 若方程kx2－(2k＋1)x－3＝0在(－1,1)和(1,3)内各有一个实根，则实数k的取值范围如何？
变式: m为何值时，关于x的方程(m＋1)x2＋2(2m＋1)x＋(1－3m)＝0有两个异号的实根．
【课标要求】
1．会求解方程根的存在性问题和不等式恒成立问题．
2．会将简单的分式不等式化为一元二次不等式求解．
3．会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型，并加以解
决．
【核心扫描】
1．有关不等式恒成立求参数的值或范围问题和分式不等式的
解法．(重点)
2．对实际应用问题如何建立正确的数学模型并加以解决．
(难点)
第2课时 一元二次不等式的应用
1．简单的分式不等式的解法
自学导引
题型一 分式不等式的解法
解下列不等式：
[思路探索] 将分式不等式等价转化为一元二次不等式或一元一次不等式组．
【例1】
解不等式中的
数形结合
注意：
+
+
-
解：由数轴标根法（如图），得
+
-
+
+
-
-1＜x＜0 或 1＜x＜3
(2)分离参数，将恒成立问题转化为求最值问题，即：
k≥f(x)(k>f(x))恒成立⇔k≥f(x)max(k>f(x)max)；k≤f(x)(k
2．
一元二次不等式恒成立问题
(2011·抚顺六校联考)设函数f(x)＝mx2－mx－1.
(1)若对于一切实数x，f(x)<0恒成立，求m的取值范围．
(2)对于x∈[1,3]，f(x)<－m＋5恒成立，求m的取值范围．
[思路探索] 解答本题的关键是根据题目条件，构造恰当的函数，将不等式问题转化为函数问题来处理．
题型二 不等式的恒成立问题
【例2】
有关不等式恒成立求参数的取值范围，通常处理方法有二：
①考虑能否进行参变量分离，若能，则构造关于变量的函数，转化为求函数的最大(小)值，从而建立参量的不等式；
②若参变量不能分离，则应构造关于变量的函数(如一元一次、一元二次函数)，并结合图象建立参量的不等式求解．
运用转化与化归思想可以把分式不等式化成整式不等式(组)，把高次化成低次，把超越不等式化为代数不等式，把恒成立问题转化为求最值问题等．在转化过程中要注意问题的等价性．
当x∈(1,2)时，不等式x2＋mx＋4<0恒成立．则m的取值范围是________．
[思路分析] 记f(x)＝x2＋mx＋4，x∈[1,2]，只要f(x)max≤0即可，问题转化为求二次函数f(x)＝x2＋mx＋4，x∈[1,2]的最值问题．
解析 构造函数f(x)＝x2＋mx＋4，x∈[1,2]，则f(x)在[1,2]上的最大值为f(1)或f(2)．
由于当x∈(1,2)时，不等式x2＋mx＋4<0恒成立．
方法技巧 转化与化归思想在不等式中的应用
【示例】
答案 (－∞，－5]
方法点评 熟练、扎实地掌握基础知识、基本技能、基本方法是转化的基础；丰富的联想、认真仔细的观察、比较、类比是实现转化的桥梁；“抓基础，重转化”是学好中学数学的金钥匙．
一元二次不等式的解法学会了吗？
回去好好总结消化哦！
还有不明白的地方一定要找老师弄个明白！
多多训练不可少！
88:)
88:)
88:)
88:)
88:)
88:)
【互动探究】
2．已知函数 f(x)在定义域(0，＋∞)上为增函数，且满足 f(xy)＝f(x)＋f(y)，f(3)＝1.
(1)求 f(9)，f(27)的值；
(2)解不等式 f(x)＋f(x－8)<2.
即原不等式的解集为(8,9)．
例 2：函数 f(x)的定义域为 D：{x|x≠0}，且满足对于任意
x1、x2∈D，有 f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)．
(1)求 f(1)的值；
(2)判断 f(x)的奇偶性并证明；
(3)如果 f(4)＝1，f(3x＋1)＋f(2x－6)≤3，且 f (x)在(0，＋∞)
上是增函数，求 x 的取值范围．
解析：(1)令x1＝x2＝1，有f(1×1)＝f(1)＋f(1)，解得f(1)＝0.
(2)f(x)为偶函数．
证明如下：令x1＝x2＝-1，
有f [(－1)×(－1)]＝f(－1)＋f(－1)，解得f(－1)＝0.
令x1＝－1，x2＝x 有 f(－x)＝f(－1)＋f(x)，
∴f(－x)＝f(x)．∴f(x)为偶函数.
(3)f(4×4)＝f(4)＋f(4)＝2，f(16×4)＝f(16)＋f(4)＝3.
∴f(3x＋1)＋f(2x－6)≤3，
即 f[(3x＋1)(2x－6)]≤f(64)．
①
∵f(x)在(0，＋∞)上是增函数，又f(x)为偶函数，
∴①等价于不等式组
f[|(3x＋1)(2x－6)|]≤f(64)．
所以|(3x＋1)(2x－6)|≤64
小结：
f(x)为奇函数且具有单调性解不等式只有一种情况，直接利用单调性比较自变量的大小。
f(x)为偶函数且具有单调性解不等式，可利用f[g(x)]
(1)f(x＋y)＝f(x)＋f(y),
f(x1)-f(x2)= f(x1)-f(x2-x1+x1)=f(x1)-f(x2-x1)- f(x1)= - f(x2-x1)
小结：抽象函数单调性证明作差变形技巧：
任取 x1＜x2，则x2－x1＞0
