平方差公式
回顾与思考
(m+a)(n+b)=
用一个多项式的每一项
乘另一个多项式的每一项
再把所得的积相加。
mn+mb+an+ab
=
(x+a)(x+b)
x2+(a+b)x+ab
这是上一节学习的
一种特殊多项式的乘法——
两个相同字母的
二项式的乘积 .
这就是从本课起要学习的内容．
平 方 差 公 式
计算下列各题:
=x2−9 ;
=1−4a2 ;
=x2−16y2 ;
=y2−25z2 ;
你发现了什么规律？
=x2−32 ;
=12−(2a)2 ;
=x2−(4y)2 ;
=y2−(5z)2 .
(a+b)(a−b)=
a2−b2.
两数和与这两数差的积,
等于
这两数的平方的差.
用式子表示，即：
初 识 平 方 差 公 式
(a+b)(a−b)=a2−b2

(1) 公式左边两个二项式必须是
相同两数的和与差相乘；
且左边两括号内的第一项相等、
第二项符号相反
[互为相反数(式)];
(2) 公式右边是这两个数的平方差；
即右边是左边括号内的第一项的平方
减去第二项的平方.
(3) 公式中的 a和b 可以代表数，
也可以是代数式．
例题解析
例题
例1 利用平方差公式计算：
(1) (5+6x)(5−6x)；(2) (x+2y)(x−2y); (3) (−m+n)(−m−n).
解: (1) (5+6x)(5−6x)=
5
5
第一数a
52
−
要用括号把这个数整个括起来，
再平方;
( )2
6x
=
25
−
36x2 ;
(2) (x+2y) (x−2y)
=
x2
−
( )2
2y
=
x2 −4y2 ;
(3) (−m+n)(−m−n )
=
−m
( )2
−
n2
=
m2 −n2 .
随堂练习
(1)(a+2)(a−2)； (2)(3a +2b)(3a−2b) ;
1、计算：
(3)(−x+1)(−x−1) ; (4)(−4k+3)(−4k−3) .
接纠错练习
本节课你的收获是什么？
小结
本节课你学到了什么?
两数和与这两数差的积，等于它们的平方差。
变成公式标准形式后，再用公式。
或提取两“−”号中的“−”号，
要利用加法交换律，
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作业
(a+b+c)(a—b—c)。
1、基础训练：教材p.30 习题1.11. 第1题。

2、扩展训练：利用平方差公式计算：
纠 错 练 习
(1) (1+2x)(1−2x)=1−2x2
(2) (2a2+b2)(2a2−b2)=2a4−b4
(3) (3m+2n)(3m−2n)=3m2−2n2
本题对公式的直接运用，以加深对公式本质特征的理解．
指出下列计算中的错误：
第二数被平方时，未添括号。
第一 数被平方时，未添括号。
第一数与第二数被平方时，
都未添括号。
拓 展 练 习
本题是公式的变式训练，以加深对公式本质特征的理解．
运用平方差公式计算：
(4a1)(4a1)． (用两种方法)
运用平方差公式时，要紧扣公式的特征，
找出相等的“项”和符号相反的“项”，然后应用公式．
(4a−1)(4a−1)
=
=(1)2 −(4a)2 = 1−16a2。
(4a−1)(4a−1)
= (4a+1)
(4a−1)
(4a−1)
= (4a)2 −1
−
[ ]
= 1−16a2。
( 4a−1 ) ( 4a −1 )
−1
−4a
−1
+4a
(4a+1) (4a−1)
拓 展 练 习
(1) (a+b)(a−b) ；
(2) (a−b)(b−a) ;
(3) (a+2b)(2b+a);
(4) (a−b)(a+b) ;
(5) (2x+y)(y−2x).
(不能)
本题是公式的变式训练，以加深对公式本质特征的理解．
下列式子可用平方差公式计算吗? 为什么? 如果能够，怎样计算?
(第一个数不完全一样 )
(不能)
(不能)
(能)
−(a2 −b2)=
−a2 + b2 ;
(不能)

1.5.2 平方差公式
平方差公式：
两数和与这两数差的积，等于它们的平方差。
学习目标
1.会用面积法推导平方差公式，并能运用公式进行简单的运算.
2.用符号运算证明猜想，提高解决问题的能力.
3.提高自己的观察、归纳、概括等能力。
观察与思考
1、计算下列各组算式,并观察它们的共同特点：
2、从以上的过程中，你发现了什么规律？
（一个自然数的平方比它相邻两数的积大1.）
3、请用字母表示这一规律，你能说明它的正确性吗？
自学质疑
例题

用平方差公式进行简便计算：
解：
试一试
计算：
解：原式
解：原式
试一试
解：原式
反馈矫正
1.下列各式的解法中，哪种简单？
解（一）：原式
解（二）：原式
2.学校有一个边长为 米的正方形花坛，现在要进行改建，将它的一边增加3米，而另一边缩短3米.问改建后的正方形花坛的面积是多少？
公式的应用
3.如图，一条水渠横断面为梯形，根据如图所示的长度求出表示横断面面积的代数式，并计算当 时的面积.
变式练习(1) 填空
x
9-x2
-3
-a-b
a3
a3
x+y
z
公式的逆用
(1)(x+y)2－(x－y)2 (2)252－242
分析：逆用平方差公式可以使运算简便.
解：(1)(x+y)2－(x－y)2
=［(x+y)+(x－y)］［(x+y)－(x－y)］
=2x·2y
=4xy
(2)252－242
=(25+24)(25－24)
=49
（1）公式的左边是两个二项式的积，在这两个二项式中，有一项完全相同，另一项互为相反数；
（2）公式的右边是乘式中两项的平方差，且完全相同的项的平方减去互为相反数的一项的平方；
（3）对于形如两数和与这两数差相乘，就可以运用上述公式来计算；
1. 平方差公式的内涵：
2. 平方差公式的结构特征：
在整式的乘法中只有符合公式要求的乘法才能
用公式计算，其余的运算仍按乘法法则进行
总结与反思
课堂检测
y+z
x-y
x
y
x-z
z
变式练习（2） 计 算
解：
xn+1-1
思考题
解答：