探索勾股定理
（第3课时）
《勾股定理证明方法汇总》
<一>课前自主探究活动
探究报告
具体的做法是：
请各个学习小组从网络或书籍上，尽可能多地寻找和了解验证勾股定理的方法.
<二>验证过程的分析与欣赏
第一种类型：以赵爽的“弦图”为代表，用几何图形的截、割、拼、补，来证明代数式之间的恒等关系;

第二种类型：以欧几里得的证明方法为代表，运用欧氏几何的基本定理进行证明;

第三种类型：以刘徽的“青朱出入图”为代表，“无字证明”.
问题思考
<1> 运用了哪些数学知识？
<2> 体现了哪些数学思想方法？
<3> 这种方法与其他方法比较，有什么共同点和不同点？
对某一验证方法
三种类型：
第一种类型：以赵爽的“弦图”为代表，用几何图形的截、割、拼、补，来证明代数式之间的恒等关系。体现了以形证数、形数统一、代数和几何的紧密结合 .
第二种类型：以欧几里得的证明方法为代表，运用欧氏几何的基本定理进行证明，反映了勾股定理的几何意义.
第三种类型：以刘徽的“青朱出入图”为代表，证明不需用任何数学符号和文字，更不需进行运算，隐含在图中的勾股定理便清晰地呈现，整个证明单靠移动几块图形而得出，被称为“无字证明”.
方法一:三国时期吴国数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时，创制了一幅“勾股圆方图”，也称为“弦图”，这是我国对勾股定理最早的证明.
2002年世界数学家大会在北京召开，这届大会会标的中央图案正是经过艺术处理的“弦图”，标志着中国古代数学成就.
第一种类型：
c
b  a
方法二:美国第二十任总统伽菲尔德的证法，被称为“总统证法”.
如图，梯形由三个直角三角形组合而成，利用面积公式，列出代数关系式,得

化简,得
第一种类型：
据传是当年毕达哥拉斯发现勾股定理时做出的证明。
将4个全等的直角三角形拼成边长为(a＋b)的正方形ABCD，使中间留下边长c的一个正方形洞．画出正方形ABCD．移动三角形至图2所示的位置中，于是留下了边长分别为a与b的两个正方形洞．则图1和图2中的白色部分面积必定相等，所以c2=a2+b2
图1
图2
方法三
第一种类型：
第二种类型：以欧几里得的证明方法为代表，运用欧氏几何的基本定理进行证明，反映了勾股定理的几何意义。
如图，过 A 点画一直线 AL 使其垂直于 DE， 并交 DE 于 L，交 BC 于 M。通过证明△BCF≌△BDA，利用三角形面积与长方形面积的关系，得到正方形ABFG与矩形BDLM等积，同理正方形ACKH与 矩形MLEC也等积，于是推得
第二种类型：以欧几里得的证明方法为代表，运用欧氏几何的基本定理进行证明，反映了勾股定理的几何意义。
第三种类型：以刘徽的“青朱出入图”为代表，证明不需用任何数学符号和文字，更不需进行运算，隐含在图中的勾股定理便清晰地呈现，整个证明单靠移动几块图形而得出，被称为“无字证明”。
约公元 263 年，三国时代魏国的数学家刘徽为古籍《九章算术》作注释时，用“出入相补法”证明了勾股定理。
a
b
c
无字证明
第三种类型：以刘徽的“青朱出入图”为代表，证明不需用任何数学符号和文字，更不需进行运算，隐含在图中的勾股定理便清晰地呈现，整个证明单靠移动几块图形而得出，被称为“无字证明”。
做法是将一条垂直线和一条水平线，将较大直角边的正方形分成 4 分。之后依照图中的颜色,将两个直角边的正方形填入斜边正方形之中，便可完成定理的证明。
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第三种类型：在印度、在阿拉伯世界和欧洲出现的一种拼图证明
c
方法三:意大利文艺复兴时代的著名画家达·芬奇对勾股定理进行了研究。
第三种类型：
五巧板的制作
A
B
C
E
D
F
G
H
I
a
b
c
<三>尝试拼图,验证勾股定理
这种证明方法从几何图形的面积变化入手，运用了数形结合的思想方法。
利用五巧板拼图验证勾股定理:
<四>练习提升
2.一个直角三角形的斜边为20cm ,且两直角边长度比为3:4，求两直角边的长。
1.议一议:观察下图,用数格子的方法判断图中三角形的三边长是否满足a2+b2=c2
<五>勾股定理的文化价值
(1) 勾股定理是联系数学中数与形的第一定理。
(2) 勾股定理反映了自然界基本规律,有文明的宇宙“人”都应该认识它，因而勾股定理图被建议作为与“外星人”联系的信号。
(3)勾股定理导致不可通约量的发现，引发第一次数学危机。
(4)勾股定理公式是第一个不定方程，为不定方程的解题程序树立了一个范式。
<六>小结反思
我最大的收获；
我表现较好的方面；
我学会了哪些知识；
我还有哪些疑惑……
学生反思：
（1）写数学日记并发挥你的聪明才智，去探索勾股定理、去研究勾股定理，你又有什么新的发现？

（2）尝试利用意大利著名画家达·芬奇的方法验证勾股定理？
<七> 课题拓展