2 一次函数与正比例函数
1.理解一次函数和正比例函数的概念，以及它们之间的关系.
2.能根据所给条件，写出简单的一次函数、正比例函数表达式.
一般地，如果在一个变化过程中有两个变量x和y，并且对于变量x的每一个值，变量y都有唯一的值与它对应，那么我们称y是x的函数(function)，其中x是自变量.
什么叫函数?
1．某弹簧的自然长度为3 cm，在弹性限度内，所挂物体的质量x每增加1千克、弹簧长度y增加0.5 cm.（1）计算所挂物体的质量分别为1 kg、2 kg、3 kg、4 kg、5 kg时弹簧的长度，并填入下表：
（2）你能写出x与y之间的关系式吗？
【解析】y=0.5x+3
3
3.5
4
4.5
5
5.5
2.某辆汽车油箱中原有汽油100 L，汽车每行驶50 km耗油10 L.
（1）完成下表：
（2）你能写出x与y之间的关系吗？
【解析】y=－0.2x+100
100
90
80
70
60
40
研讨以下两个函数关系式:
(1)y=0.5x+3. (2)y=-0.2x+100.
它们的结构特征有什么特点？
【解析】1．都是含有两个变量x，y的等式.
2．x和y的指数都是一次.
3．自变量x的系数都不为０.
若两个变量 x，y间的对应关系可以表示成y=kx+b
(k, b为常数，k≠0）的形式，则称 y是x的一次函数（linear function）.
特别地，当b=0时，称y是x的正比例函数.
函数是一次函数
关系式为：y=kx+b
(k,b为常数，k≠0）
函数是正比例函数
关系式为：y=kx
(k为常数，k≠0）
定义：
1.下列函数中，y是x的一次函数的有（ ）
①y=x-6； ②y= 2x2+3； ③y= ；
④y= ⑤y=5 ⑥y=x2
2. 在一次函数y=-3x-6中，自变量x的系数是 ，
常数项是 .
-3
-6
3.若y=(m-2)x+ m2 -4是关于x的正比例函数，则m ；若它是关于x的一次函数，则m .
=-2
≠2
【跟踪训练】
【例1】写出下列各题中y与x之间的关系式，并判断y是否为x的一次函数？是否为正比例函数？
(1)汽车以60km/h的速度匀速行驶,行驶路程y(km)与行驶时间x(h)之间的关系.
(2)圆的面积y (cm2)与它的半径x (cm)之间的关系.
(3)一棵树现在高50 cm，每个月长高2 cm，x月后这棵 树的高度为y cm.
【例题】
【解析】(1) y=60x, y是x的一次函数,也是x的正比例函数.
(2)y=πx2, y既不是x的正比例函数，也不是x的一次函数.
(3) y=2x+50,y是x的一次函数,但不是x的正比例函数.
【例2】我国现行个人工资、薪金所得税征收办法规定：月收入低于3500元的部分不收税；月收入超过3500元但低于5000元的部分征收3%的所得税……如某人月收入3860元,他应缴个人工资、薪金所得税为:（3860-3500）×3%=10.8元.
【例题】
(1)当月收入大于3 500元而又小于5 000元时,写出应缴所得税y(元)与收入x(元)之间的关系式.
【解析】y=0.03×(x-3 500) (3500(2)某人月收入为4160元，他应缴所得税多少元？
【解析】当x=4160时，y=0.03×(4160-3500)=19.8（元）.
【解析】设此人本月工资、薪金是x元，则
19.2=0.03×(x-3500),
x=4140.
答:此人本月工资是4140元.
(3)如果某人本月应缴所得税19.2元，那么此人本月工资是多少元？
1.判断:
(1)y=2.2x，y是x的一次函数，也是x的正比例函数.
（ ）
(2)y=80x+100 ，y是x的一次函数.（ ）
√
√
【跟踪训练】
根据上表写出y与x之间的关系式是： ，可
判断y____x的一次函数(填“是”或“不是”).
2.
y=3x+1
是
1．（南充·中考）如图，小球从点A运动到点B，速度
v（m/s）和时间t（s）的函数关系式是v＝2t．如果小球运动到点B时的速度为6 m/s，那么小球从点A到点B的时间
是（　　）．A. 1 s　　　B. 2 s　　　C. 3 s　　　D. 4 s
C
2. 某书店开设两种租书方式：一种是零星租书，每本收费
1元，另一种是会员卡收费，卡费每月12元，租书每本
0.4元，小彬经常来该店租书，若每月租书数量为x本.
(1)写出零星租书方式应付金额y1（元）与租书数量
x（本）之间的函数关系式.
(2)写出会员卡租书方式应付金额y2（元）与租书数量
x（本）之间的函数关系式.
(3)小彬选择哪种租书方式更合算？为什么?
(2)y2=0.4x+12.
(3)由x=0.4x+12知,当x<20时，零星租书方式合算；当x=20时，两种租书方式一样；当x>20时会员卡租书方式合算.
【解析】(1)y1 =x.
3．（邵阳·中考）为了增强居民的节约用水意识，某市制定了新的水费标准：每户每月用水量不超过5 t的部分，自来水公司按每吨2元收费；超过5 t的部分，按每吨2.6元收费.设某用户月用水量x吨，自来水公司应收的水费为y元.
（1）试写出y（元）与x（t）之间的函数关系式.
（2）该户今年5月份的用水量为8 t，自来水公司应收水费多少元？
【解析】（1）当x≤5时，y＝2x；
当x>5时，y＝10＋（ｘ－5）×2.6＝2.6ｘ－3.
（2）因为x＝8>5 所以y＝2.6×8－3=17.8（元）．
4．（益阳·中考）我们知道，海拔高度每上升1 km，温度下降6℃.某时刻，益阳地面温度为20℃，设高出地面x km处的温度为y℃.
(1)写出y与x之间的函数关系式.
(2)已知益阳碧云峰高出地面约500 m，求这时山顶的温度大约是多少℃？
(3)此刻，有一架飞机飞过益阳上空，若机舱内仪表显示飞机外面的温度为-34℃，求飞机离地面的高度为多少千米.
【解析】（1）y=20-6x（x＞0）.
（2）500 m＝0.5 km，y=20-6×0.5=17 (℃).
（3）-34=20-6x，x=9 .
【规律方法】一次函数要充分应用函数的三种表示方式，紧扣解析式的模型，通过关系式进行问题的分析与解决.
1.一次函数、正比例函数的概念及关系.
2.能根据已知的简单信息，写出一次函数或正比例函数
的表达式.
通过本课时的学习，需要我们掌握：
人生不是受环境的支配，而是受自己习惯思想的恐吓.
——赫胥黎