义务教育课程标准实验教科书
八年级 上 册
7.2定义与命题
www.1230.org 初中数学资源网
直观是把“双刃剑”
直观是重要的,但它有时也会骗人。
a
b
c
d
a
b
a
b
1、 观察,猜想,度量,实验得出的结论未必都正确,所以必须要一步一步,有根有据地进行推理,即证明。
2、有关证明的方法：正面证明（成立）和举反例（不成立）。
共同回顾
小华与小刚正在津津有味地阅读《我们爱科学》.
坐在旁边的两个人一边听着他们的谈话，一边也在悄悄地议论着。
哈!这个黑客终于被逮住了.
是的,现在的因特网广泛运用于我们的生活,中,给我们带来了方便,但…….
这个黑客是个小偷吧？
可能是个喜欢穿黑衣服的贼.
有一位田径教练向领导汇报训练成绩
相传,阎锡山在观看士兵篮球赛,双方争抢非常激烈.于是命令:
小明的百米成绩有进步，已达到9秒9.
好！继续努力,争取超过10秒.
不要再抢啦！每个人发一个球！
什么是定义？
对名称和术语的含义加以描述，作出明确的规定，也就是给出它们的定义。
例如：
（1）“具有中华人民共和国国籍的人，叫做中华人民共和国公民”是“中华人民共和国公民”的定义
（2）“两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离”是“两点之间距离”的定义
（3）“两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形”是“平行四边形”的定义
交流必须对某些名称和术语有共同的认识才能进行。
例如:
1、“具有中华人民共和国国籍的人,叫做中华人民共和国公民” 是“中华人民共和国公民”的定义;
为此,就要对名称和术语的含义加以描述,作出明确的规定,也就是给出它们的定义 .
2、 “两点之间 线段的长度,叫做这两点之间的距离” 是“两点之间的距离”的定义;
3、 “在一个方程中,只含有一个未知数,并且未知数的指数是1, 这样的方程叫做一元一次方程” 是“一元一次方程”的定义;
4、 “两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形” 是“平行四边形”的定义;
你还能举出曾学过的“定义”吗?
什么是命题？
判断一件事情的句子，叫做命题。
例如：
（1）熊猫没有翅膀.
（2）任何一个三角形一定有直角.
（3）对顶角相等.
（4）无论为怎样的自然数，式子的值都是质数.
（5）如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行.
命题
反之，如果一个句子没有对某一件事情作出任何判断，那么它就不是命题。
例如：
（1）你喜欢数学吗？
（2）做线段AB=CD
1.下列句子中哪些是命题?
(1)动物都需要水;
(2)猴子是动物的一种;
(3)玫瑰花是动物;
(4)美丽的天空;
(5)三个角对应相等的两个三角形一定全等;
(6)负数都小于零;
(7)你的作业做完了吗?
(8)所有的质数都是奇数;
(9)过直线外l一点作直线l的平行线;
(10)如果a>b,a>c,那么b=c.
是
是
是
不是
是
是
不是
是
不是
是
观察下列命题，试找出命题的共同的结构特征
(1)如果两个三角形的三条边对应相等,那么这两个三角形全等
(2)如果一个四边形的一组对边平行且相等,那么这个四边形是
平行四边形;
(3)如果一个三角形是等腰三角形,那么这个三角形的两个底角
相等;
寻找命题的“共同的结构特征”
1、每个命题都由条件和结论两部分组成.条件是已知
事项,结论是由已事项推断出的事项.
2、一般地,命题可以写成“如果……,那么……”的形式,
其中“如果”引出的部分是条件,“那么”引出的部分是
结论.
下列句子都是命题吗？
(1)熊猫没有翅膀；
(2)对顶角相等；
反之,如果一个句子没有对某一件事情作出任何判断,那么它就不是命题.例如,下列句子都不是命题:
(1)你喜欢数学吗?
(2)作线段AB=CD.
(3)如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互
相平行.
命题一般都写成“如果……,那么……”的形式。你能上面的命题都写成“如果……,那么……”的形式吗?
⑶清新的空气；
⑷不许讲话。
如果这个动物是熊猫，那么它就没有翅膀。
如果两个角是对顶角，那么它们就相等。
要说明一个命题是假命题,通常可以举出一个例子,使之具备命题的条件,而不具备命题的结论,这种例子称为反例.
1.下列命题的条件是什么?结论是什么?
(2)如果a>b,b>c,那么a=c;
(1)如果两个角相等,那么它们是对顶角;
(3)两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等;
(4)菱形的四条边都相等;
(5)全等三角形的面积相等.
2.上述的命题中,哪些是正确的?哪些是不正确的?你怎么知道
它们是不正确的?与同伴交流.
正确的命题称为真命题,不正确的的命题称为假命题.
命题的特征
每个命题都由条件和结论两部分组成。条件是已知的事项，结论是由已知事项推论出的事项。一般地，命题都可以写成“如果……那么……”的形式，其中“如果”引出的部分是条件，“那么”引出的部分是结论。
1.下列句子中哪些是命题?
(1)动物都需要水;
(2)猴子是动物的一种;
(3)玫瑰花是动物;
(4)美丽的天空;
(5)三个角对应相等的两个三角形一定全等;
(6)负数都小于零;
(7)你的作业做完了吗?
(8)所有的质数都是奇数;
(9)过直线外l一点作直线l的平行线;
(10)如果a>b,a>c,那么b=c.
假命题
真命题
假命题
不是命题
假命题
真命题
不是命题
假命题
不是命题
假命题
下列句子中若是命题,并判断它是真命题还是假命题?
1、定义:对名称和术语的含义加以描述,作出明确的规定,也就是给出它们的定义 .
2、命题的定义:判断一件事情的句子,叫做命题.
3、命题的结构:每个命题都由条件和结论两部分组成.条件是已知事项,结论是由已事项推断出的事项.
4、命题的特征:一般地,命题可以写成“如果……,那么……”的形式,其中“如果”引出的部分是条件,“那么”引出的部分是结论.
5、命题的分类:真命题和假命题(判断就是命题).
如何证实一个命题是真命题呢
用我们以前学过的观察,实验,验证特例等方法.
这些方法往往并不可靠.
能不能根据已经知道的真命题证实呢?
那已经知道的真命题又是如何证实的?.
想一想
如何证实一个命题是真命题呢？
其实，在数学发展史上，数学家们也遇到类似的问题，公元前3世纪，人们已经积累了大量的数学知识，在此基础上，古希腊数学家欧几里得
(公元前300前后)编写一本书，书名叫《原本》，为了说明每一个结论的正确性，他在编写这本书时进行了大胆创造：挑选了一部分数学名词和一部分公认的真命题作为证实其他命题的起始依据，
公认的真命题称为公理.
某些数学名词称为原名.
除了公理外,其它真命题的正确性都通过推理的方法证实.推理的过程称为证明.
经过证明的真命题称为定理.
其中
他的方法是：
确定一些公认的命题作为公理
用推理的方法证实其它命题的正确性
推理的过程叫证明
经过证明的真命题叫定理
原名、公理、证明、定理、定义及它们的关系
推 理
推理的过程叫证明
证实其它命
题的正确性
原名公理
一些条件
+
经过证明的真命题叫定理
《原本》问世之前，世界上还没有一本数学书籍像《原本》这样编排，因此《原本》是一部具有划时代意义的著作。
1.两点确定一条直线。
2.两点之间，线段最短。
3.同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
4.两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。
5.过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行。
6.两边及其夹角对应相等的两个三角形全等。
7.两角及其夹边对应相等的两个三角形全等。
8.三边对应相等的两个三角形全等。
9.两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。
本套教材选用那几条基本事实作为证明的公理？
读一读：
(简述为：同位角相等，两直线平行)
(SAS)
(ASA)
(SSS)
本套教材选用如下九条基本事实作为证明的公理
等式和不等式的有关性质都可以看作公理
在等式中,一个量可以用它相等的量来代替.
其它哪些还可以作为公理？
数与式的运算律和运算法则都可以看作公理
例如:如果 a=b , b=c ,那么 a=c , 这一性质也可看作公理,称为“等量代换”.
又如:如果 a＞b , b＞c ,那么 a＞c , 这一性质也可看作公理。
“不等式的传递性”
从这些公理出发，就可以证明已经探索过的结论了。例如，我们可以证明下面的定理;
定理 同角(等角)的补角相等
定理 同角(等角)的余角相等
定理 三角形的任意两边之和大于第三边
定理 对顶角相等
例1：
证明定理 同角的补角相等。
已知：∠2是∠1的补角， ∠3是∠1的补角。
求证：∠2=∠3
证明：
∴ ∠2＋∠1＝180°( )
已知
补角的定义
∴ ∠2＝ 180°－∠1 ( )
等式的性质
∵∠3是∠1的补角( )
已知
∴ ∠3＋∠1＝180°( )
补角的定义
∴ ∠3＝ 180°－∠1 ( )
等式的性质
∴ ∠2=∠3( )
等量代换
∵∠2是∠1的补角( )
例2：
证明定理 对顶角相等。
已知：如图，直线AB与直线CD相交于点O，
∠AOC与∠BOD是对顶角。
求证：∠AOC =∠BOD
证明：
∴ ∠AOB与∠COD都是平角( )
已知
平角的定义
∴ ∠AOC＋∠AOD＝180°
补角的定义
∴ ∠AOC =∠BOD ( )
同角的补角相等
∵直线AB与直线CD相交于点O ( )
∠BOD＋∠AOD＝180°
( )
随堂练习
请你完成定理“三角形的任意两边之和大于第三边”的证明。
原名、公理、证明、定理的定义及它们的关系
推 理
推理的过程叫证明
经过证明的真命题叫定理
证实其它命
题的正确性
原名、公理
一些条件
+
小结：