1.3
线段的垂直平分线(2)
本节课我们学习什么？
1.掌握和证明三角形的三条边的垂直平分线的性质定理。
2.已知底边和底边上的高，能用尺规作等腰三角形。
1.线段的垂直平分线的性质定理和判断定理。
2.线段的垂直平分线的作法。
利用尺规作三角形三条边的垂直平分线做完之后，你发现了什么？
用心做一做
发现：三角形三边的垂直平分线交于一点．这一点到三角形三个顶点的距离相等．
剪一个三角形纸片通过折叠找出每条边的垂直平分线。
结论：三角形三条边的垂直平分线相交于一点。
实际操作，你又能发现什么？
点拨：要证明三条直线相交于一点，只要证明其中两条直线的交点在第三条直线上即可
命题:三角形三条边的垂直平分线相交于一点。
已知：如图,在△ABC中,AB,BC的垂直平分线相交于点P, 求证：点P也在AC的垂直平分线上
证明：连接AP,BP,CP.
∵点P在线段AB的垂直平分线上,
∴PA=PB
同理,PB=PC.
∴PA=PC.
∴点P在线段AB的垂直平分线上,
∴AB,BC,AC的垂直平分线相交于一点.
定理:三角形三条边的垂直平分线相交于一点,并且这一点到三个顶点的距离相等。
如图,在△ABC中,
∵c,a,b分别是AB,BC,AC的垂直平分线(已知),
∴c,a,b相交于一点P,且PA=PB=PC(三角形三条边的垂直平分线相交于一点,并且这一点到三个顶点的距离相等).
图形语言
这是一个证明三条直线交于一点的证明根据。
开拓创新 试一试
1．分别作出直角三角形、锐角三角形、钝角三角形三边的垂直平分线，说明交点分别在什么位置.
锐角三角形三边的垂直平分线交点在三角形内；直角三角形三边的垂直平分线交点在斜边上；钝角三角形三边的垂直平分线交点在三角形外。
开拓创新 试一试
2．已知：△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，AB的垂直平分线交AD于O　求证：OA=OB=OC．
证明：　∵AB=AC，AD是BC的中线，
∴AD垂直平分BC(等腰三角形底边上的中线垂直于底边)．
又∵AB的垂直平分线与交于点O
∴OB=OC=OA(三角形三条边的垂直平分线交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等)．
动手做一做，小组议一议
(1) 已知三角形的一条边及这条边上的高，你能作出三角形吗?如果能，能作几个?所作出的三角形都全等吗?
已知：三角形的一条边a和这边上的高h
求作：△ABC，使BC=a，BC边上的高为h
(2)已知等腰三角形的底边，你能用尺规作出等腰三角形吗?如果能，能作几个?所作出的三角形都全等吗?
这样的等腰三角形也有无数多个.根据线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，只要作底边的垂直平分线，取它上面除底边的中点外的任意一点，和底边的两个端点相连接，都可以得到一个等腰三角形．
如图所示，这些三角形不都全等．
动手做一做，小组议一议
(3)已知等腰三角形的底及底边上的高,你能用尺规作出等腰三角形吗？能作几个？
这样的等腰三角形只有两个，并且它们是全等的，分别位于已知底边的两侧．
　　所以满足这一条件的三角形是唯一确定的。
　　你能尝试着用尺规作出这个三角形吗?
动手做一做，小组议一议
已知：线段a、h　求作：△ABC，使AB=AC，BC=a，高AD=h
作法：1．作BC=a； 2．作线段BC的垂直平分线MN交BC于D点；　　　3．以D为圆心，h长为半径作弧交MN于A点；　　　4．连接AB、AC ∴△ABC就是所求作的三角形
a
h
1.已知线段a，求作以a为底，以a/2为高的等腰三角形。
温馨提示:先分析,作出示意图形,再按要求去作图.
这个等腰三角形有什么特征?
快乐套餐
a
2.为筹办一个大型运动会,某市政府打算修建一个大型体育中心.在选址过程中,有人建议该体育中心所在位置应当与该城市的三个城镇中心(如图中P,Q,R表示)的距离相等.
(1)根据上述建议,试在图(1)中画出体育中心G的位置；
(2)如果这三个城镇的位置如图(2)所示,∠RPQ是一个钝角,那么根据上述建议,体育中心G应在什么位置？
(3)你对上述建议有何评论?你对选址有什么建议？
快乐套餐
1.证明了定理:三角形三条边的垂直平分线相交于一点,并且这一点到三个顶点的距离相等。
2.已知等腰三角形的底边和底边上的高作等腰三角形
回顾一下吧，本节课你学到了什么？
Thank you!