1.4
角平分线(1)
1.角平分线的性质定理和判定定理。
2.用尺规作角的平分线。
本节课我们学习什么？
还记得角平分线上的点有什么性质吗?
你是怎样得到的?
与小组同学交流。
角平分线上的点到角两边的距离相等。
角平分线上的点到角两边的距离相等。
已知：如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D、E．求证：PD=PE．
证明：∵∠1=∠2，OP=OP，
∠PDO=∠PEO=90°，∴△PDO≌△PEO(AAS)．∴PD=PE(全等三角形的对应边相等)
你能证明这个结论吗？
定理：角平分线上的点到这个角的两边距离相等.
∵OC是∠AOB的平分线,P是OC上任意,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D,E(已知)
∴PD=PE(角平分线上的点到这个角的两边距离相等).
图形语言
你能写出上面这个定理的逆命题吗?
性质定理:角平分线上的点到这个角的两边距离相等.
如果有一个点到角两边的距离相等，那么这个点必在这个角的平分线上．
这是一个真命题吗？如果是，请证明；如果不是请举出反例。
不是真命题，是假命题。在角的外部，也存在到角两边距离相等的点，但是这个点不在这个角的平分线上．
用心想一想，马到成功
角平分线性质定理的逆命题：在一个角的内部且到角的两边距离相等的点，在这个角的角平分线上。
它是真命题吗?
如果是.请你证明它。
已知：在∠AOB内部有一点P，且PD⊥OA，PE⊥OB，D、E为垂足且PD=PE，求证：点P在∠AOB的角平分线上．
证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB，
∴∠PDO=∠ PEO=90°
　　　在Rt△ODP和Rt△OEP中
　　　OP=OP，PD=PE
　　　∴Rt△ODP ≌ Rt△OEP(HL)．
　　　∴∠1=∠2(全等三角形对应角相等)．
判定定理： 在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上.
∵PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D,E(已知), 且PD=PE,
∴点P在∠AOB的平分线上.(在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上).
图形语言
A
1.如图,AD,AE分别是△ABC中∠A的内角平分线外角平分线,它们有什么位置关系?
老师期望:你能说出结论并能证明它.
练一练，我最棒！
2.已知:如图,在△ABC中,AD是它的角平分线,且BD=CD,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别是E,F.
求证:EB=FC.
老师期望:做完题目后,一定要“悟”到点东西,纳入到自己的认知结构中去.
你能用什么办法平分一个已知角呢？
1．可以用量角器．
2．使用三角尺，也可以平分一个已知角．
3．用角尺也可以平分一个已知角．
4．用直尺和圆规平分一个已知角．
5. 用折纸的办法也可以平分一个已知角．
发散思维，想一想
已知:∠AOB,如图.
求作:射线OC,使∠AOC=∠BOC.
用尺规作角的平分线.
作法:1.在OA和OB上分别截取OD,OE,使OD=OE.
2.分别以点D和E为圆心,以大于DE/2长为半径作弧,两弧在 ∠AOB内交于点C.
3.作射线OC.则射线OC就是∠AOB的平分线.
1.利用尺规作出三角形三个内角的平分线。
你发现了什么？
学以致用，练一练
2. 如图,求作一点P,使PC=PD,并且点P到∠AOB的两边的距离相等.
学以致用，练一练
温馨提示：本题综合运用线段的垂直平分线的性质和角平分线的性质哦！
3.如图,一目标在A区,到期公路,铁路距离相等,离公路与铁路的交叉处500m.在图上标出它的位置(比例尺
1:20 000)。
学以致用，练一练
1.角平分线的性质定理：
角平分线上的点到这个角的两边距离相等.
2.角平分线的判定定理：
在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上.
3.用尺规作角平分线
回顾一下吧，本节课你学到了什么？
Thank you!