根与系数关系
1.一元二次方程的一般形式是什么？
3.一元二次方程的根的情况怎样确定？
2.一元二次方程的求根公式是什么？
4、求一个一元二次方程，使它的两个 根分别为①2和3;②-4和7;③3和-8;④-5和-2
x2-5x+6=0
x2-3x-28=0
③(x-3)(x+8)=0
x2+5x-24=0
④(x+5)(x+2)=0
②(x+4)(x-7)=0
①(x-2)(x-3)=0
x2+7x+10=0
问题1：从求这些方程的过程中你发现根
与各项系数之间有什么关系？
新课讲解
如果方程x2+px+q=0有两个根是x1,x2
那么有x1+ x2=-p, x1 •x2=q
猜想：2x2-5x+3=0,这个方程的两根之和，两根之积是与各项系数之间有什么关系？
问题2；对于一元二次方程的一般式是否也具备这个特征？
填写下表：
猜想：
如果一元二次方程 的两个根
分别是 、 ，那么，你可以发现什么结论？
已知：如果一元二次方程
的两个根分别是 、 。
求证：
推导:
如果一元二次方程

的两个根分别是 、 ，那么：
这就是一元二次方程根与系数的关系，也叫韦达定理。
一元二次方程的根与系数的关系
16世纪法国最杰出的数学家韦达发现
代数方程的根与系数之间有这种关系，因此,人们把这个关系称为韦达定理。数学原本只是韦达的业余爱好，但就是这个业余爱好，使他取得了伟大的成就。韦达是第一个有意识地和系统地使用字母表示数的人，并且对数学符号进行了很多改进。是他确定了符号代数的原理与方法，使当时的代数学系统化并且把代数学作为解析的方法使用。因此，他获得了“代数学之父”之称。
1.
3.
2.
4.
5.
口答下列方程的两根之和与两根之积。
返回
的值。
解：
根据根与系数的关系:
返回
例1.
不解方程，求方程 的
两根的平方和、倒数和。（解法如上）
运用根与系数的关系解题类型
用根与系数的关系，不解方程，几种常见的求值
求与方程的根有关的代数式的值时,

一般先将所求的代数式化成含两根之和,

两根之积的形式,再整体代入.
例如：已知方程 x2＝2x＋1的两根为x1,x2，
不解方程，求下列各式的值。
（1）（x1－x2）2 （2）x13x2＋x1x23

（3）
1、如果-1是方程2X2－X+m=0的一个根，则另
一个根是___，m =____。
2、设 X1、X2是方程X2－4X+1=0的两个根，则
X1+X2 = ___ ,X1X2 = ____，
X12+X22 = ( X1+X2)2 - ___ = ___
( X1-X2)2 = ( ___ )2 - 4X1X2 = ___
3、判断正误：
以2和-3为根的方程是X2－X-6=0 （ ）
4、已知两个数的和是1，积是-2，则这两个数是
_____ 。
X1+X2
2X1X2
-3
4
1
14
12
×
2和-1
基础练习
（还有其他解法吗？）
例2： 已知方程 的一个根是2，求它的另一个根及k的值.
解：设方程 的两个根
分别是 、 ，其中 。
所以：
即：
由于
得：k=-7
答：方程的另一个根是 ，k=-7
练习：
（1）若关于x的方程2x2＋5x＋n＝0的一个根是－2，求它的另一个根及n的值。

（2）若关于x的方程x2＋kx－6＝0的一个根是－2，求它的另一个根及k的值。
（3）、已知一元二次方程的
的一个根为1 ，则方程的另一根为___，
m=___：
（4）、已知方程 的一个根是 1，
求它的另一个根和m的值。
例3：已知方程　　　　　　　　的两个实数根
是　　　且　　　　　 求k的值。
解：由根与系数的关系得
X1+X2=-k， X1×X2=k+2
又 X12+ X2 2 = 4
即(X1+ X2)2 -2X1X2=4
K2- 2(k+2）=4
K2-2k-8=0
∵ △= K2-4k-8
当k=4时， △＜0
当k=-2时，△＞0
∴ k=-2
解得：k=4 或k=－2
练习（2）：
已知关于x的方程x2+(2k+1)+k2-2=0
的两根的平方和比两根之积的3倍少
10，求k的值.
例4：方程
有一个正根，一个负根，求m的取值范围。
解:由已知,
△=
{
即
{
m>0
m-1<0
∴0总结规律：
两根均为负的条件： X1+X2 且X1X2 。
两根均为正的条件： X1+X2 且X1X2 。
两根一正一负的条件： X1+X2 且X1X2 。
当然，以上还必须满足一元二次方程有根的条件：b2-4ac≥0 。
即：
练习：方程x2(m1)x2m10求m满足什么条件时,方程的两根互为相反数？方程的两根互为倒数？方程的一根为零？
解:(m1)24(2m1)m26m5
①∵两根互为相反数
∴两根之和m10,m1,且0
∴m1时,方程的两根互为相反数.
②∵两根互为倒数 m26m5,
∴两根之积2m11 m1且0,
∴m1时,方程的两根互为倒数.
③∵方程一根为0,
∴两根之积2m10 且0,
∴ 时,方程有一根为零.
引申:1、若ax2bxc0 (a0 0)
（1）若两根互为相反数,则b0;
（2）若两根互为倒数,则ac;
（3）若一根为0,则c0 ;
（4）若一根为1,则abc0 ;
（5）若一根为1,则abc0;
（6）若a、c异号,方程一定有两个实数根.
2.应用一元二次方程的根与系数关系时，
首先要把已知方程化成一般形式.
3.应用一元二次方程的根与系数关系时，
要特别注意，方程有实根的条件，即在初
中代数里，当且仅当 时，才
能应用根与系数的关系.
1.一元二次方程根与系数的关系是什么?
总结归纳
以 为两根的一元二次方程

(二次项系数为1)为:
4、已知两根求作新的方程
请同学们在课后通过以下几道题检测
自己对本节知识的掌握情况：
P36 第6题

P38 第11、12题
本堂课结束了，望同学
们勤于思考，学有所获。
Goodbye!
See you next time!