相似三角形判定定理
九年级（4）班
定义法！
由DE//BC,根据平行线分线段成比例推论，ΔADE和ΔABC的三条边对应成比例，又因为DE//BC,∠ADE=∠B,∠AED=∠C,∠A是公共角.
根据相似三角形的定义：
ΔADE∽ΔABC
以上能得出什么结论？
由DE//BC,根据平行线分线段成比例推论，ΔADE和ΔABC的三条边对应成比例，又因为DE//BC,∠ADE=∠C,∠AED=∠B,∠A是对顶角.
根据相似三角形的定义：
ΔADE∽ΔABC
预备定理
平行于三角形一边的直线与三角形的其它两边（或两边的延长线）相交，所截得的三角形与原三角形相似.
分析:要证两个三角形相似，目前只有两个途径.
一个是三角形相似的定义，（显然条件不具备）；
另一个是预备定理.
怎样满足预备定理的条件？
证明：在ΔABC的边AB、AC上，分别截取AD=A′B′,AE=A′C′，连结DE.
∵AD=A′B′,∠A=∠A′，AE=A′C′
∴ ΔA DE≌ΔA′B′C′，
∴ ∠ADE=∠B′，
又∵ ∠B′=∠B，
∴ ∠ADE=∠B，
∴ DE//BC，
∴ ΔADE∽ΔABC.
∴ ΔA/B/C/∽ΔABC
判定定理1
如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.可以简单说成：两角对应相等，两三角形相似.
判定定理1是从三角形的三个角来证明三角形相似，能不能从三角形的角和边一起考虑，来证明相似呢？
角和边！
分析:在AB,AC上分别截AD=A'B',AE=A'C'，要证题目结论，只需要证明ADE∽ABC.
根据预备定理，只要证明DE//BC，题意即证.
由AD=A'B',AE=A'C'及条件
有：
能否由 推出DE//BC?
ΔABC，D,E分别在边AB、AC上，
求证：DE//BC
证明
过D点作DE'//BC,交AC于E'，根据平行线分线段成比例定理的推论，
所以：AE=AE',E和E'重合，
因此，DE//BC.
引理
如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边.
由以上引理，就可以解决之前提出的：
已知两条边对应成比例，且夹角相等
证明这两个三角形相似.
一个角，两条边，证明相似？
判定定理2
对于任意两个三角形，如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．即两边对应成比例，且夹角相等，两三角形相似.
判定定理2是从三角形的一个角和两条边来证明三角形相似，能不能从三角形的三条边来证明相似呢？
三条边！
判定定理3
对于任意两个三角形，如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形似．即三边对应成比例，两三角形相似.
在ΔABC的边AB(或延长线)上截取AD=A'B',过D点作DE//BC,交AC于E点，于是有：
D
E
证明
结论
三边对应成比例，两三角形相似.
直角三角形是一种特殊的三角形，有一个角是直角，三条边满足勾股定理.所以，在判断两个直角三角形相似，可不可以类推一般三角形相似的判断定理，条件可不可以简化呢？
直角三角形相似，如何判定！
定理
1. 如果两个直角三角形有一个锐角对应相等，那么它们相似.
2. 如果两个直角三角形的两条直角边对应成比例，那么它们相似.
证明
由判定定理3 得 RtΔABC∽RtΔA'B'C'.
定理
如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似.
依据下列各组条件判定两三角形是否相似？
1．∠A= 45 , AB =12cm , AC =15cm ,
∠A′= 45°, A′B′=16cm , A′C′=20cm ;

2．∠B=∠B′=75°, ∠C=50°, ∠A′=55°;

3．∠B= ∠B′=75°, ∠A=50°, ∠A′=55°;

4． AB=12cm,AC=15cm,A′B′=16cm,A′C′=20cm

5． AB = 4cm , AC = 5cm , BC = 6cm,
A′B′= 16cm , A′C′= 20cm , B′C′= 24cm ;
相似 (判定2)
相似 (判定1)
不相似
不相似
相似 (判定3)
如果已知两个三角形相似，你能得出他们有哪些一般性质呢？
从边长，高，周长，面积，考虑！
画一画，比一比！