九年级数学(下)第二章 二次函数
4.二次函数y=ax2+bx+c的图象(3)
练习题
例.求次函数y=ax²+bx+c的对称轴和顶点坐标．
函数y=ax²+bx+c的图象
一般地,对于二次函数y=ax²+bx+c,我们可以利用配方法推导出它的对称轴和顶点坐标.
1.配方:
提取二次项系数
配方:加上并减去一次项系数一半的平方
整理:前三项化为平方形式,后两项合并同类项
化简:去掉中括号
老师提示:
这个结果通常称为求顶点坐标公式.
填表:
想一想,填一填,比一比,说一说:
a>0,开口向上;
a<0,开口向下.
a>0,在对称轴左侧,y都随x的增大而减小,在对称轴右侧,y都随 x的增大而增大.;
a<0,在对称轴左侧,y都随x的增大而增大,在对称轴右侧,y都随 x的增大而减小 .
D
A
3.函数y=ax2(a≠0)的图象与a的符号
有关的是( )
A.对称轴; B.顶点坐标 ; C.开口方向; D.开口大小 ;
4.直线y=2x-1与抛物线y=x2的交点坐标是( )
A.(0,0),(1,1); B.(1,1); C.(0,1),(1,0); D.(0,-1),(-1,0);
5.若ab>0,函数y=ax2与y=ax+b的图象大致是( )
A B C D
C
B
D
6.下列各点中与点(1,4)在同一个二次函数 y=ax2图象上的是( )
(2,-16) ; B.( -2,16); C.(-2,-16) ; D. (16,2) ;
B
m= -3或m=2.
m=2时,最低点是(0,0);
当x>0时,y随x的增大而增大.
m=-3时,最大值是0;
当x>0时,y随x的增大而减小.
2.一个函数的图象是一条以y轴为对称轴原点为顶点的抛物线,且经过点A(-2,2)
(1)求这个函数的解析式;
(2)画出这个函数的图象 ;
(3)写出抛物线上与点A关于y轴对称 的点B的坐标,并计算△ABO的面积.
(4)在抛物线上是否存在点C,使
S△ABC= S△OAB ,如果存在写出点C的坐
标,如果不存在说明理由?
面积为4
1.将函数y=2x2的图象向左平移3个单位,然后将图象绕顶点在原坐标系内旋转1800,求旋转后图象对应的函数解析式.
综合训练:
2.抛物线y=ax2向左平移一个单位,再向下平移8个单位且y=ax2过点(1,2).则平移后的解析式为______________;
y= -2(x+3)2
y=2(x+1)2-8
3.将抛物线y=x2-6x+4如何移动才能得到y=x2.
逆向思考,由y=x2-6x+4 =(x-3)2-5知:先向左平移3个单位,再向上平移5个单位.
4.画出函数y=5x2与函数y=-5x2的图象并根据图象分别说明两函数的增减性?是否有最大值或最小值,若有是多少?
5.已知:点P(x,y)是抛物线y=x2上一点且在第一象限内的一动点.A点坐标为(3,0).用S表示△OPA的面积
(1)求S与y的函数关系式;
(2)求S与x的函数关系式;
(3)如果抛物线y=2x2与直线y=kx-3只有一个公共点,求k值.
6.已知:抛物线y=-x2将抛物线向上平移后,抛物线顶点D和抛物线与x轴二交点A,B围成△ABD.求顶点在什么位置时, △ABD为正三角形且写出此时抛物线的解析式
S=1/2·y.
S=1/2·x2.
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质
１.顶点坐标与对称轴
２.位置与开口方向
３.增减性与最值
抛物线
顶点坐标
对称轴
位置
开口方向
增减性
最值
y=ax2+bx+c(a>0)
y=ax2+bx+c(a<0)
由a,b和c的符号确定
由a,b和c的符号确定
向上
向下
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.
在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.
根据图形填表：
1.相同点: (1)形状相同(图像都是抛物线,开口方向相同).
(2)都是轴对称图形.
(3)都有最(大或小)值.
(4)a>0时, 开口向上,在对称轴左侧,y都随x的增大而减小,在对称轴右侧,y都随 x的增大而增大. a<0时,开口向下,在对称轴左侧,y都随x的增大而增大,在对称轴右侧,y都随 x的增大而减小 .
2.不同点: (1)位置不同(2)顶点不同:分别是 和(0,0).
(3)对称轴不同:分别是 和y轴.
(4)最值不同:分别是 和0.
3.联系: y=a(x-h)²+k(a≠0) 的图象可以看成y=ax²的图象先沿x轴整体左(右)平移| |个单位(当 >0时,向右平移;当 <0时,向左平移),再沿对称轴整体上(下)平移| |个单位 (当 >0时向上平移;当 <0时,向下平移)得到的.
回味无穷
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)与y=ax²的关系
知识的升华
P73 复习题A组 1,2题.

祝你成功！
P73 复习题A组 1,2题
1.确定下列二次函数的开口方向、对称轴和顶点坐标.
2.求下列二次函数的图象与x轴的交点坐标,并作草图验证.
结束寄语
要珍惜时间，思考一下一天之中做了些什么？是“正号”还是“负号”，倘若是“+”，则进步；倘若是“-”，就得吸取教训，采取措施。
再见