绝对值
专题简析
绝对值是初中代数中的一个基本概念，在求代数式的值、化简代数式、证明恒等式与不等式，以及求解方程与不等式时，经常会遇到含有绝对值符号的问题，同学们要学会根据绝对值的定义来解决这些问题．
下面我们先复习一下有关绝对值的基本知识，然后进行例题分析．
一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；零的绝对值是零．即
绝对值的几何意义可以借助于数轴来认识，它与距离的概念密切相关．在数轴上表示一个数的点离开原点的距离叫这个数的绝对值．
结合相反数的概念可知，除零外，绝对值相等的数有两个，它们恰好互为相反数．反之，相反数的绝对值相等也成立．由此还可得到一个常用的结论：任何一个实数的绝对值是非负数．
例 1 、a，b 为实数，下列各式对吗？若不对，应附加什么条件？ (1)|a+b|=|a|+|b|；(2)|ab|=|a||b|； (3)|a-b|=|b-a|； (4)若|a|=b，则 a=b；  (5)若|a|＜|b|，则 a＜b； (6)若 a＞b，则|a|＞|b|．
解：(1)不对．当 a，b 同号或其中一个为 0 时成立．
(2)对． (3)对．
(4)不对．当 a≥0 时成立．
(5)不对．当 b＞0 时成立．
(6)不对．当 a＋b＞0 时成立．
例 2、 设有理数 a，b，c 在数轴上的对应点如图 1-1 所示，化简|b-a|+|a+c|+|c-b|．
解：由图1-1可知，a＞0，b＜0，c＜0，
且有|c|＞|a|＞|b|＞0．根据有理数加减运算的符号法则，有b-a＜0，a＋c＜0，c-b＜0．
再根据绝对值的概念，得
|b-a|=a-b，|a+c|=-(a+c)，|c-b|=b-c．于是有
原式=(a-b)-(a+c)+(b-c)=a-b-a-c+b-c=-2c．
例 3 、已知x<-3，化简： |3+|2-|1+x|||．
分析： 这是一个含有多层绝对值符号的问题，可从里往外一层一层地去绝对值符号．
解：原式=|3+|2+(1+x)||(因为 1+x＜0)
=|3+|3+x||
=|3-(3+x)|(因为 3+x＜0)
=|-x|
=-x．
例 4 、 若 的所有可能值是什么？
解： 因为 abc≠0，所以 a≠0，b≠0，c≠0．
(1)当 a，b，c 均大于零时，原式=3；
(2)当 a，b，c 均小于零时，原式=-3；
(3)当 a，b，c 中有两个大于零，一个小于零时，
原式=1；
(4)当 a，b，c 中有两个小于零，一个大于零时，
原式=-1．
所以 的所有可能值是±3, ±1
说明本例的解法是采取把 a，b，c 中大于零与小于零的个数分情况加以解决的，这种解法叫作分类讨论法，它在解决绝对值问题时很常用．
例 5 、若|x|=3，|y|=2，且|x-y|=y-x， 求 x+y 的值．
解： 因为|x-y|≥0，
所以 y-x≥0，y≥x．
由|x|=3，|y|=2 可知，x＜0，
即 x=-3．
(1)当 y=2 时，x+y=-1；
(2)当 y=-2 时，x+y=-5．
所以 x+y 的值为-1 或-5．
例 6、 若 a，b，c 为整数，
且|a-b|19+|c-a|99=1，
试计算|c-a|+|a-b|+|b-c|的值．
解 ：a，b，c 均为整数，
则 a-b，c-a 也应为整数，
且|a-b|19，|c-a|99为两个非负整数，和为 1，所以只能是 |a-b|19=0 且|c-a|99=1， ①
或 |a-b|19=1 且|c-a|99=0． ②
由①有 a=b 且 c=a±1，于是|b-c |=|c-a|=1；
由②有 c=a 且 a=b±1，于是|b-c|=|a-b|=1．
无论①或②都有|b-c|=1 ，且|a-b|+|c-a|=1，
所以|c-a|+|a-b|+|b-c |=2．
例 7 、若|x-y+3|与|x+y-1999|互为相反数，求 的值。
解： 依相反数的意义有|x-y+3|=-|x+y-1999|．
因为任何一个实数的绝对值是非负数，所以必有|x-y+3|=0 且|x+y-1999|=0．即
例 8 、化简：|3x+1|+|2x-1|．
分析： 本题是两个绝对值和的问题．解题的关键是如何同时去掉两个绝对值符号．若分别去掉每个绝对值符号，则是很容易的事．
例如，化简|3x+1|，只要考虑 3x+1 的正负，即可去掉绝对值符号．这里我们是分
两种情况加以讨论的，此时 是一个分界点，类似地，对于|2x-1|而言， 是一个分界点，为同时去掉两个绝对值符号，我们把两个分界点
标在数轴上，把数轴分为三部份(如图1－2所示)即 ，这样我们就可以分类讨论化简了。
说明 ：解这类题目，可先求出使各个绝对值等于零的变数字母的值，即先求出各个分界点，然后在数轴上标出这些分界点，这样就将数轴分成几个部分，根据变数字母的这些取值范围分类讨论化简，这种方法又称为“零点分段法”．
例 9 、已知 y=|2x+6|+|x-1|-4|x+1|， 求 y 的最大值．
分析：首先使用“零点分段法”将y化简，然后在各个取值范围内求出y的最大值，再加以比较，从中选出最大者．
解： 有三个分界点：-3，1，-1．
(1)当 x≤-3 时，y=-(2x+6)-(x-1)+4(x+1)=x-1，
由于 x≤-3，所以 y=x-1≤-4，y 的最大值是-4．
(2)当-3≤x≤-1 时，y=(2x+6)-(x-1)+4(x+1)=5x+11，
由于-3≤x≤-1，所以-4≤5x+11≤6，y 的最大值是 6．
(3)当-1≤x≤1 时，y=(2x+6)-(x-1)-4(x+1)=-3x+3，
由于-1≤x≤1，所以 0≤-3x+3≤6，y 的最大值是 6．
(4)当 x≥1 时，y=(2x+6)+(x-1)-4(x+1)=-x+1，
由于 x≥1，所以 1-x≤0，y 的最大值是 0．
综上可知，当 x=-1 时，y 取得最大值为 6．
例 10、 设 a＜b＜c＜d， 求|x-a|+|x-b|+|x-c |+|x-d|的最小值．
分析：本题也可用“零点分段法”讨论计算，但比较麻烦．若能利用|x-a|，|x-b|，|x-c |，|x-d|的几何意义来解题，将显得更加简捷便利．
解：设a，b，c，d，x在数轴上的对应点分别为A，B，C，D，X，则|x-a|表示线段AX 之长，
同理，|x-b|，|x-c|，|x-d|分别表示线段BX，CX，DX之长．现要求|x-a|，|x-b|，|x-c|，|x-d|之和的值最小，就是要在数轴上找一点 X，使该点到 A，B，C，D 四点距离之和最小．
因为 a＜b＜c＜d，所以 A，B，C，D 的排列应如图 1－3 所示：
所以当 X 在 B，C 之间时，距离和最小，
这个最小值为 AD+BC，即(d-a)+(c-b)．
例 11、 若 2x+|4-5x|+|1-3x|+4 的值恒为常数，求 x 该满足的条件及此常数的值．
分析与解
要使原式对任何数 x 恒为常数，则去掉绝对值符号，化简合并时，必须使含 x 的项相加为零，即 x 的系数之和为零．故本题只有
2x-5x+3x=0 一种情况．因此必须有
|4-5x|=4-5x 且|1-3x|=3x-1．
故 x 应满足的条件是

解之得：
此时，原式=2x+4-5x-(1-3x)+4=7
1．x 是什么实数时，下列等式成立：
(1)|(x-2)+(x-4)|=|x-2|+|x-4|；
(2)|(7x+6)(3x-5)|=(7x+6)(3x-5)．
2．化简下列各式：
(1)
(2)|x+5|+|x-7|+|x+10|．
3．若 a＋b＜0，化简|a+b-1|-|3-a-b|．
4．已知 y=|x+3|+|x-2|-|3x-9|，求 y 的最大值．
5．设 T=|x-p|+|x-15|+|x-p-15|，
其中 0＜p＜15，对于满足 p≤x≤15 的 x 来说，T 的最小值是多少？
6．已知 a＜b，求|x-a|+|x-b|的最小值．
7．不相等的有理数a，b，c在数轴上的对应点分别为A，B，C，如果|a-b|+|b-c|=|a-c|，
那么B点应为( )．
(1)在 A，C 点的右边； (2)在 A，C 点的左边；(3)在 A，C 点之间； (4)以上三种情况都有可能．
学习愉快