全国数学邀请赛培训题
⒉无理数的定义：
无限不循环小数叫做无理数
⒊有理数的定义：
有限和无限循环小数叫做有理数
或整数与分数统称为有理数
⒈实数的定义：
有理数和无理数统称为实数
A. 分数. B.实数. C.无理数. D.无限不循环小数.
送分题，但考点还是有2点:
①是要注意到有个“不”字，这是个低级“陷阱”。但很多人都会陷下去。
不要看到C选项中的“无理数”，就不看清楚题意就选C。
②是要掌握好课本中“实数”的分类和定义。就是平时强调的要背书问题。
A
实数
有理数
无理数
分数
整数
正整数
0
负整数
正分数
负分数
自然数
正无理数
负无理数
无限不循环小数
有限小数及无限循环小数
一般有三种情况
有一定的规律，但不循环的无限小数。
这5个数中，有理数的个数是（ ）
A.2. B.3. C.4. D.5.
考点：①要知道π是无限不循环小数；
然后去根号，化简得出它是一个有理数；
B.
③答案中用反证法证明第五个式子中的(n+4)和(n+2)不可能同时是完全平方数,相对较复杂.
可以简单想像,因为(n+4)和(n+2)只相差2,我们在自然数中是找不到两个相差是2的完全平方数。
简单证明:假设(n+4)和(n+2)都是完全平方数.令
n+4=x2,n+2=y2
x2-y2 =2
(x+y)(x-y)=2
又∵x,y都是大于0的整数,且x>y,
∴只可能x+y=2,x-y=1 解得
则n不是自然数,与假设矛盾.
3.化简[(-1)n+1p2]n(n为自然数）得（ ）
A.p2n. B. -p2n. C. -pn+2. D. pn+2.
[(-1)n+1p2]n
先不-1和p的值，去中括号
=(-1)n(n+1)p2n
an
幂的乘方法则：
符号叙述：
语言叙述：
幂的乘方，
底数不变，
指数相乘
∵n和(n+1)是连续的自然数，
∴ n (n+1)必为偶数
∴原式=p2n
A.
积的乘方法则：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。
4.已知：a5A.01. C.-1D
在a3a2在a3a2>1
a<-1.
最繁是解不等式，
1-a>0,
即a<1,
∴a-1<0,
B
①一个正数的平方根有2个,它们互为相反数.
0只有1个平方根,它是0本身;
负数没有平方根。
性质
一般地,如果一个数的平方等于a,那么这个数叫做a的平方根或二次方根.
正数的平方根有2个,其中正数a的正的平方根,也叫做a的算术平方根.
6.若(ax+3y)2=4x2-12xy+by2,则a,b的值分别是（ ）
待定系数法
A.2,9. B.2,-9. C.-2,9. D.-4,9.
待定系数法是根据已知条件，建立起给定的算式和所求的结果之间的恒等式，
得到以需要待定的系数为未知数的方程或方程组,
解方程或方程组得到待定的系数的一种数学方法．
在学一次函数时,求一次函数的表达式时已接触过.
待定系数法的步骤
⑴确定所求问题的待定系数，建立条件与结果含有待定的系数的恒等式;
⑵根据恒等式列出含有待定的系数的方程或方程组;
⑶解方程或方程组以确定待定的系数.
∵(ax+3y)2=4x2-12xy+by2,
∴a2x2+6axy+9y2=4x2-12xy+by2,
对比各项系数，得
解得
C
A.a最大. B.b最大. C.c最大. D.c最小.
利用倒数,再加1,可将a,b,c合在一起.
不等式同乘以一个负数数
不等式的基本性质:
再取倒数，得
C
(加法法则)
(同向不等式相加)
(乘法法则)
灵活运用完全平方公式是解决这道题的关键
D
一次性统一指数，数字会太大，较能计算
9.已知a,b,c,d都是正数,并且a2=3,b3=4,c4=5,d5=6,其中a,b,c,d中最大的是（ ）
A.a. B.b. C.c. D.d.
先比较a与b的大小，再将其中较大的数与c比较，依次类推。
A
∵a2=3,b3=4,
∴(a2)3=33,(b3)2=42,
即a6=27,b6=16,
∴a>b.
非负整数集合（自然数集）记号N
“n∊N”读n属于N，即n属于非负整数集合（自然数集）
(乘方法则)
再比较a与c:
∵(a2)2=32=9,c4=5,
∴a>c.
最后比较a与d:
∵(a2)5=35=243,(d5)2=62=36,
∴a>d.
同底数幂的乘法：
am · an = am+n (m、n都是正整数)
同底数幂相乘
底数　　，指数 。
不变
相加
幂的乘方，底数不变，指数相乘。
10.已知二次三项式x2-mx-8(m是整数)在整数范围内可以分解为两个一次因式的积，则m的值可能是（ ）
较传统的解法是用待定系数法
对所给的数学问题，根据已知条件和要求，先设出问题的多项式表达形式（含待定的字母系数），然后利用已知条件，确定或消去所设待定系数，使问题获解的这种方法叫待定系数法.
用待定系数法解题目的一般步骤是：
1.根据多项式次数关系，假设一个含待定系数的等式；
2.利用恒等式对应项系数相等，列出含有待定系数的方程；
3.解方程组,求出待定系数,再代入所设问题的结构中去,得到需求问题的解.
A.1. B.2. C.3. D.4.
B
x2-mx-8=(x+a)(x+b)
即x2-mx-8=x2+(a+b)x+ab
∵a,b为整数
由1式-2式，可消去a. 得
D
∵y≠0,∴方程两边可同时除以y.
A. 1. B.2. C.3. D.4.
分类讨论思想
A
在解答某些数学问题时,因为存在一些不确定的因素,解答无法用统一的方法或结论,不能给出统一的表述,对这类问题依情况加以分类,并逐类求解,然后综合求解,这种解题的方法叫分类讨论法.
分类讨论涉及初中数学的所有知识点,其关键是弄清引起分类的原因,明确分类讨论的对象和标准,分情况加以讨论求解,再将不同结论综合归纳,得出正确答案.
分类的原则是既不重复,也不遗漏!
当x≥0,y≥0时,方程组是
两个方程互相矛盾,原方程组无解;
当x<0,y<0时,方程组是
两个方程互相矛盾,原方程组无解;
当x≥0,y<0时,方程组是
当x<0,y≥0时,方程组是
与条件矛盾,舍去
13.在xy直角坐标系中，函数|xy|+|x-y+1|=0的图象是（ ）
A.三条直线x=0,y=0,x-y+1=0. B.两条直线x=0,x-y+1=0.
C.一个点(0,0)和一条直线x-y+1=0. D.两个点(0,1)(-1,0).
D
利用非负数的性质
由题设|xy|+|x-y+1|=0 知
∵|xy|≥0，|x-y+1|≥0
所以图象为两个点(0,1)，(-1,0).
这也是一种数形结合思想
不要被“图象”两字吓倒.可以把它看成是解方程的知识.
数形结合是数学解题中常用的思想方法，使用数形结合的方法，很多问题能迎刃而解，且解法简捷。
所谓数形结合，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法。
数形结合思想通过“以形助数，以数解形”,使复杂问题简单化,抽象问题具体化,能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质，它是数学的规律性与灵活性的有机结合。
实现数形结合，常与以下内容有关：
①实数与数轴上的点的对应关系；
②函数与图象的对应关系；
③曲线与方程的对应关系；
⑤所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义.如等式
④以几何元素和几何条件为背景,建立起来的概念,如复数、三角函数等;
则p的最大值是（ ）
A.16. B.8. C.4. D.2.
∵m≥n≥p,
若p=4，则
又∵m≥n≥4,
上式只有在m=n=4时,成立.
∴p的最大值是4.
C
15.在xy直角坐标系中，在y轴上找一点P，使P到点A(4,3),点B(2,-1)的距离之和最小，则点P的坐标是（ ）
1.利用轴对称变换将两点在同侧转化为在两侧;
从而将折线问题转化为两点之间线段问题；
D
2.作一个定点的对称点，关键应找到对称轴,
动点在哪条线上移动,这条线所在直线就是对称轴。
“牧童放牛”问题,
A
y
作点B关于y轴的对称点B'(-2,-1)
连接B'A，交轴于点P，此时的点P即为所求的点。
设直线B'A的解析式是y=kx+b,
用待定系数法求出直线B'A的函数解析式
然后求直线B'A与y轴的交点即可
将点A(4,3),点B'(-2,-1)的坐标值代入，得
直线B'A的函数解析式为
最重要的是看到“距离之和最小”这几个字，最小值的方法都是差不多的。
从函数图象上看,正比例函数y＝kx的图象与y轴交于原点(0,0),一次函数y＝kx＋b的图象与y轴交于(0,b)点，
上题若知道P是直线B'A与y轴的交点，如果熟背书中的定义性质，那么自然而然就会想到用待定系数法求一次函数的解析式，
再增加点函数知识。
1. 正确理解正比例函数与一次函数之间的关系:
从解析式上看,对于一次函数的一般形式y＝kx＋b(k、b为常数,k≠0),当b＝0时，即可得到正比例函数的解析式y＝kx (k为常数，k≠0)．
正比例函数是一次函数，而一次函数不全是正比例函数．
例如:函数y＝2x＋3是一次函数,但不是正比例函数;而函数y＝2x是正比例函数,也是一次函数.
即一次函数包含正比例函数,二者不能并列;
从函数图象上看,正比例函数y＝kx的图象与y轴交于原点(0,0),一次函数y＝kx＋b的图象与y轴交于(0,b)点,
由此可知,直线y＝kx通过适当的平移可得到直线y＝kx＋b.
2.用函数观点看一次函数与一次方程(组)、不等式的内在联系:
用一次函数图象来解方程或不等式未必简单,但是从函数角度看问题,能发现一次函数、一元一次方程与一元一次不等式之间的联系:
由于任何一元一次方程都可以转化为ax＋b＝0(a、b为常数,
a≠0)的形式,
所以解一元一次方程可以转化为当某个一次函数的值为0时,求相应的自变量x的值,
从图象上看,这相当于已知直线y＝ax＋b,确定它与x轴交点的横坐标;
一元一次不等式都可以转化为ax＋b>0或ax＋b<0的形式,
解一元一次不等式可以看做当一次函数的函数值y大于或小于0时，求自变量x相应的取值范围．
从图象上看,一次函数y＝ax＋b的图象在x轴上的部分对应y>0,这时对应的自变量x的所有取值为不等式ax＋b>0的解集,
同理,一次函数图象在x轴下方的部分对应的x的所有取值为ax＋b<0的解集.
利用一次函数的图象能直观地看到怎样用图形来表示方程的解与不等式的解，
这种用函数观点认识问题的方法,对于继续学习数学很重要．
一般地,每个二元一次方程组,也对应两条直线,
从“数”的角度看，解方程组相当于考虑自变量为何值时两个函数的值相等，以及这个函数值是何值；
从“形”的角度看，解方程组相当于确定两条直线交点的坐标．
方程(组)、不等式与函数之间互相联系,用函数观点可以把它们统一起来,
解决问题时,应根据具体情况灵活地、有机地把它们结合起来使用.
3.基本的方法与技巧
能用待定系数法求一次函数的关系式，
用两点法准确画出一次函数的图象，借助图象深刻理解一次函数的性质，渗透数形结合的思想，
会利用图象判断k、b的取值范围.
对于实际问题,要根据等量关系写出函数关系式,体现用函数思想解决实际问题能力,
关于函数的分类讨论要求,从图象上反映为折线,有其丰富的实际背景.
函数定义
在某变化过程中有两个变量x,y，按照某个对应法则，对于给定的x，有唯一确定的y与之对应，那么y就叫做x的函数。其中x叫自变量，y叫因变量。
在一个变化过程中，发生变化的量叫变量，有些数值是不随变量而改变的，我们称它们为常量。
自变量，函数一个与它量有关联的变量，这一量中的任何一值都能在它量中找到对应的固定值。
因变量(函数)，随着自变量的变化而变化，且自变量取唯一值时，因变量(函数)有且只有唯一值与其相对应。
函数值，在y是x的函数中，x确定一个值，Y就随之确定一个值，当x取a时，Y就随之确定为b，b就叫做a的函数值。
16.已知A(x1,y1),点B(x2,y2)是一次函数y=(2m-1)x+3的图象上的两点，当x1y2.则m的取值范围是（ ）。
一次函数y＝kx＋b的性质：
它是过 的一条直线．
A
当k>0时，y随x的增大而增大
当k<0时，y随x的增大而减小
当x1y2.即
y随x的增大而减小.
送分题，只是考你对“当x1y2”这句话是否理解。
17. 当-1≤x≤2时，函数y=ax+6满足y≤10，则a的取值范围是（ ）
A.a≥-4. B.a≤2. C.-4≤a≤2且a≠0. D.-4≤a≤2.
当a=0,y=ax+6=6,符合题意.
当a≠0时,函数y=ax+6是一次函数.由题知，
当-1≤x≤2时，y≤10，则有
x=-1,y=ax+6=-a+6≤10,解得
a≥-4.
x=2,y=ax+6=2a+6≤10,解得
a≤2.
∴-4≤a≤2,且a≠0
综上所述，a的取值范围是
-4≤a≤2
D
C
19. 某班50名同学中，5月份出生的频率是0.14，那么这个班不是5月份出生的同学有（ ）
A. 43名. B. 7名. C. 14名. D.36名.
A
50名同学中，5月份出生的频率是0.14,
那么不是5月份出生的同学的频率是0.86,
即不是5月份出生的同学有
50×0.86＝43(名).
20. 有红球、黄球、黑球各若干个,黄色球都标有数字5,黑色球都标有数字6,红色球上标的数字已经看不清了.现在取出8个球,其中红球个数最多,若红球上标的数字都相同,8个球上的数字和是39,则（ ）
A.红球上的数字是5，取出的8个球中有5个红球.
B.红球上的数字是3，取出的8个球中有3个红球.
C.红球上的数字是4，取出的8个球中有4个红球.
D.红球上的数字是6，取出的8个球中有6个红球.
C
设红球上都标有数字p，取出的8个球中有x个红球,y个黑球，z个黄球，则
将④代入②,得
px+6y+5(8-x-y)=39
>0,
∴p<5.
将①化为z=8-x-y…④
px+6y+1-5x-5y=0
x(p-1)-(y+1)=0
y+1=(5-p)x
∵x+1>y+1=(5-p)x
∴(4-p)x<1.
∴p=4
y+1=x,
8=x+y+z=2y+1+z≥2y+1
∴y≤3.5
另外z∴8=x+y+z<2x+y≥3y+2
∴y>2
∴y=3,x=4,z=1.
21. 已知质数p,q满足5p2+3q=59，则以p+3,1-p+q,2p+q-4为边长的三角形是（ ）
A.锐角三角形.B.直角三角形. C.钝角三角形. D.等腰三角形.
∵5p2+3q=59是奇数，所以p,q一奇一偶。
又p,q都是质数，
p,q中有一个是2
若q=2,则
不合题意。
若p=2,则
若q=13.此时
p+3=5,
1-p+q=12
2p+q-4=13
∵52+122=132
∴这个三角形是直角三角形。
B
22.有下列三个命题：
①五边形的内角中至少有两个钝角;
②十二边形共有54条对角线;
③内角和等于外角和的多边形的边数为4.
其中正确命题的个数是（ ）
五边形外角和是360°，所以5个外角中不能有4个或5个钝角，即外角中至多有3个钝角，内角中至多有3个锐角，至少有2个钝角。
①考虑内角不要从内角入手,
如果从外角入手,问题就可简单化.
A. 0. B. 1. C. 2. D.3.
D
从十二边形一个顶点出发可引出12-3=9(条)对角线，所有对角线的条数是12×9÷2=54.
②从“对角线”的定义出发,“连接多边形任意两个不相邻顶点的线段”,一个顶点可连接多少条？
③根据多边形的内角和公式和外角和性质，列一个简单的方程就可以解决问题.
(n-2)×180°=360°
n=4.
23.在菱形ABCD中,∠A:∠B=1:5,若菱形的周长是8,则高是( )
在菱形ABCD中，AD//BC，
∴∠A+∠B=180°
又∵∠A:∠B=1:5
∴∠A=30°
∴菱形的高=
=1.
C
24.如图,在平行四边形ABCD中,AE⊥BC于E,AB2=2,AE=EC=a,若a使代数式a2+2a-3的值为零,则平行四边形ABCD的面积是( )
A. 4. B. 3. C. 2. D.1.
C
∵a2+2a-3=0
(a+3)(a-1)=0
又a>0,
∴a=1,
在直角△ABE中，
BE2=AB2-AE2
BE=1
BC=EB+EC=2
平行四边形ABCD的面积是2
25. The side of square ABCD is 1, ABCD rotates around point A 30°and becomes squsre A’B’C’D. The area of the overlapping part of the square ABCD and the square A’B’C’D’ is ( )
译文：已知正方形ABCD边长是1，将正方形ABCD绕点A旋转30°得到正方形A’B’C’D,则正方形A’B’C’D’与正方形ABCDA重叠部分的面积是（ ）
[英] [rəʊ'teɪt]
vt.& vi.（使某物）旋转; 使转动;
[美]['rotet]
Rt△AB’E≌ Rt△ADE
∠ AB’E =∠ ADE =30°
B
overlapping
[əʊvə'læpɪŋ]
n.重叠，搭接
BC//x轴，AC//y轴，△ABC的面积记为S，则（ ）
A. S=2. B. S=4. C. 24.
设A点的坐标为（x1,y1）,则
B点的坐标为（-x1,-y1）,
C点的坐标为（x1,-y1）,
∴△ABC的面积是
B
A
27.如图,周长是34的矩形ABCD被分成7个全等的小矩形，则矩形ABCD的面积是（ ）
A. 208. B. 140. C. 70. D.196.
设小矩形的长和宽分别是x,y，则有
C
A. 5. B. 6. C. 12. D.22.
它们的和是22.
D
则p除以197，余数是（ ）
A. 0. B. 73. C. 157. D.19.
A
而197是质数,
所以p被197整除。
A. 2702. B. 2701. C. 2700. D.2699.
B
n.整数
n.价值，价格;
A. 2702. B. 2701. C. 2700. D.2699.
B
n.整数
n.价值，价格;
31. 分解因式：4x4+3x2+1= .
解法1：
解法2：
解法1：
解法2：
本例的解法采用的是整体代入的方法,
应用得当会使问题的求解过程大大简化．
这是代入消元法的一种特殊类型，
整体代入法
34. 已知A=20142014，B=(1×2×…×2014)2,则A B.（填“>”、“<”或“=”）
若两数之和一定（如等于2015），则它们的差越大，它们的积就越小。
原因可由完全平方和公式和完全平方差公式得出
上面各因式的分子都是2014(即1×2014),分母都不小于2014,所以
此题首先要懂得两数比较的方法可以把它们写成分数的形式进行比较，
然后要想到可2014+1=2013+2=2012+3=2011+4=…=2015
则A B.（填“>”、“<”或“=”）
利用完全平方和公式（a+b)2=···，还有平方差公式(a+b)(a-b)=···
已学
则实数a的绝对值是 .
37. 已知a是无理数，并且ab+a-b=1,则实数b= .
因式分解，或者叫解方程
∵a是无理数,
∴a-1也是无理数,
先注意字眼“平方根”,一出现“平方根”,就要想到有正负两个值.
a的所有可能值的和是
只是分析取值范围而已，考点是知道二次根式里面的数一定是非负数，它才有意义。
则a+b的值是 .
分析取值范围,知道二次根式里面的数一定是非负数,它才有意义.
以前做过很多利用非负数性质的题,即非负数+非负数+···+非负数=0,则各非负数的值必定都等于0.
而这里多了项2a,
最简单直接的方法是，看看是否能把2a消去。
则原式可化简为
令a5=b4=k20(k是正整数),
令c3=d2=m6(m是正整数),
则a=k4, b=k5;
则c=m2, d=m3;
由a-c=15,得
k4-m2=15
(k2+m)(k2-m)=15×1=5×3.
因为 k,m是正整数,
k2+m>k2-m,则
用换元法，然后从分解因式和分解因数入手
看似很难，但懂得方法就简单了。
令a5=b4=k20(k是正整数),
令c3=d2=m6(m是正整数),
则a=k4, b=k5;
则c=m2, d=m3;
由a-c=15,得
k4-m2=15
(k2+m)(k2-m)=15×1=5×3.
因为 k,m是正整数,
k2+m>k2-m,则
用换元法，然后从分解因式和分解因数入手
看似很难，但懂得方法就简单了。
42.若k=47+41004+4n,并且k是一个完全平方数,则正整数n= 或 .
由k=(27)2+2×27×22000+(22000)2,
=(27+22000)2,
得n=2000
由k=(27)2+2×27×21004+(21004)2,
a2+2ab+b2=(a+b)2
4n可以是完全平方式的b项，
也可以是完全平方式的2ab项，
=(27+21004)2,
得n=506.
此题有2个考点： ①必须熟练掌握好完全平方公式
②不能忘记分类讨论思想
43. 若实数x,y满足x2+y2+x2y2-4xy+1=0,则(x+y)2= .
一条等式，要求两个未知数，首先就要联想到以前做

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