对称式和轮换对称式
初中数学竞赛系列讲座
一.定义
在含有多个变量的代数式f (x,y,z)中，如果变量x,　y,　z任意交换两个后，代数式的值不变，则称这个代数式为绝对对称式，简称对称式.

例如：代数式x+y，　xy，　x3+y3+z3－3xyz,

x5+y5+xy, 都是对称式.
其中x+y和xy叫做含两个变量的基本对称式.
如果把一个多项式的每两个字母依次互换后，多项式不变，这种多项式叫对称多项式。
如　　　　　　　　　　　　　是一个二元对称式．
(x-1)(y-1)= xy-(x+y)+1
(x+1)(y+1)= xy+(x+y)+1
例题     求方程x+y=xy的整数解。
解：   ∵  x+y=xy
∴  (x-1)(y-1)=1.
解之，得  x-1=1,y-1=1;
或        x-1=-1, y-1=-1.
∴ x=2    y=2
或          x=0   y=0
分析   这是一道求不定方程解的题目，当然x与y交换位置后，原等式不变，可考虑移项分解因式。
关于x、y、z 三个变量的多项式，如果对式子中变量按某种次序轮换后（例如把x 换成 y , 把y换成 z , 把z 换成 x），所得的式子仍和原式相同，则称这个多项式是关于x、y、z的
轮换对称式.简称轮换式.
例如：代数式 a2(b－c)+b2(c－a)+c2(a－b),　

2x2y+2y2z+2z2x, ,　

（xy+yz+zx） ， .
都是轮换式.
很显然，对称式一定是轮换式,而轮换式不一定是对称式.
二.性质
1、含两个变量x和y的对称式，一定可用相同变量的基本对称式来表示.

２、对称式中，如果含有某种形式的一式，则必含有该式由两个变量交换后的一切同型式，且系数相等.
例如：在含x,　y,　z的二次对称多项式中，
如果含有x2项，则必同时有y2,　z2两项；如含有xy项，则必同时有yz,　zx两项，且它们的系数，都分别相等.　故可以表示为：
　m(x2+y2+z2)+n(xy+yz+zx) 其中m,　n是常数.
３、轮换式中，如果含有某种形式的一式，则一定含有该式由变量字母循环变换后所得的一切同型式，且系数相等.
例如：轮换式a２(b－c)+b２(c－a)+c２(a－b)中，有因式a－b这一项,　必有同型式b－c和c－a两项.
例如：轮换式a3(b－c)+b3(c－a)+c3(a－b)中，有因式a－b这一项,　必有同型式b－c和c－a两项.
例如：轮换式分解因式：

a２(b－c)+b２(c－a)+c２(a－b)＝－ (a－b) (b－c) (c－a)
４、两个对称式（轮换式）的和，差，积，商（除式不为零），仍然是对称式（轮换式）.
又：
例题１：已知：a+b+c=0, 　abc≠0.
求代数式　　　　　　　　　　　　　　的值
分析：这是含a, b, c 的轮换式，化简第一个分式后，其余的两个分式，可直接写出它的同型式.
三：例题精讲
已知：S＝ （a+b+c）.
求证：

＝3S（S－a）(S－b)(S－c).
练习1:
例２ 若abc=1，试证:
证明：∵abc=1

∴
=
+
=
+
=
=1
于是命题得证。
评注：“1”的代换是恒等变形中常用的技巧。
例３ 已知x=by+cz，y=cz+ax，z=ax+by，且x+y+z≠0.
证明：

证明：解方程组
(2)+(3)-(1) 得y+z-x=2ax，所以
所以
同理可得，
，
所以
本题具有轮换对称式的特征，所以只需对其中一个式
子化简，就可以得出相同规律.
例４设
a、b、c三数中必有两个数之和为零；
对任何奇数n，有
要求a、b、c三数中必有两个数之和为零，即要证
(a+b)(b+c)(c+a)=0，故可对已知条件进行变形，使它出现
(a+b)、(b+c)、(c+a)这些因式。
，证明
证明：(1)由
得
从已知知a、b、c≠0，所以abc≠0，且a+b+c≠0，
则 (bc+ca+ab)(a+b+c)-abc=0
∵(bc+ca+ab)(a+b+c)-abc=a (bc+ca+ab)+ (b+c) (bc+ca+ab) –abc
= (b+c)(bc+ca+ab)+abc+a2c+a2b–abc
例４设
a、b、c三数中必有两个数之和为零；
，证明
证明：(1)由
得
从已知知a、b、c≠0，所以abc≠0，且a+b+c≠0，
则 (bc+ca+ab)(a+b+c)-abc=0
∵(bc+ca+ab)(a+b+c)-abc=a(bc+ca+ab)+(b+c)(bc+ca+ab)–abc
= (b+c)(bc+ca+ab)+ abc+a2c+a2b–abc
=(b+c)(bc+ca+ab)+ a2(b+c)
=(b+c) (a2+bc+ca+ab)
∴(a+b)(b+c)(c+a)=0，这就是说，在a+b、b+c、c+a 中至
少有一个为零，即a、b、c三数中必有两个数之和为零。
=(a+b)(b+c)(c+a)
证明(2) :由(1)得，不妨设a+b=0，即b= -a，因为n为奇数
∴
又
∴
实质(bc+ca+ab)(a+b+c)-abc是关于a、b、c的一个轮换对
称式。令a= -b，代入得(bc+ca+ab)(a+b+c)-abc=(bc-bc-b2)(-b+b+c)-(-b)bc= -b2c+ b2c=0，这就是说a+b是(bc+ca+ab)(a+b+c)-abc的一个因式，由轮换对称式的性质知，b+c、a+c也是(bc+ca+ab)(a+b+c)-abc的一个因式，因此有
(bc+ca+ab)(a+b+c)-abc=k(a+b)(b+c)(c+a)再令a=b=c=1代入，求出k=1，所以(bc+ca+ab)(a+b+c)-abc=(a+b)(b+c)(c+a)
例４
，证明(2)对任何奇数n，有
例如：轮换式a２(b－c)+b２(c－a)+c２(a－b)中，有因式a－b这一项,　必有同型式b－c和c－a两项.
例６ 若a+b+c=0，求
的值
本题是轮换对称式，所以不宜直接通分，只需对其中
一个分式化简，就可以得出相同规律.
解：∵a+b+c=0，∴a＝－b－c，
例７. 已知x、y、z满足关系式
求证：
证明：将已知等式分别乘以x、y、z得
①
②
③
所以
即：
由①+②+③ 得
例８ 已知a+b+c=a2+b2+c2=2，求证：a(1-a)2=b(1-b)2=c(1-c)2
本题的证明采用了构造法，它构造了三次式
(x-a)(x-b)(x-c)，然后建立它与x(1-x)2之间的关系，再通过赋值来证明。
分析：求证的等式中的各式，恰好是多项式x(1-x)2中的x分别取a、b、c时的值。因此，本题可转化为证明当x分别取a、b、c时，x(1-x)2的值不变。由于x(1-x)2是关于x的三次多项式，且注意到题设条件，所以我们构造三次式(x-a)(x-b)(x-c)，建立它与x(1-x)2之间的某种关系。
证明：∵(a+b+c)2= a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca
又∵a+b+c=a2+b2+c2=2
∴4=2+2ab+2bc+2ca，∴ab+bc+ca=1
∴(x-a)(x-b)(x-c)=x3-(a+b+c)x2+(ab+bc+ca)x-abc
= x3-2x2+x-abc
即x(1-x)2=(x-a)(x-b)(x-c)+ abc
由此可见，当x分别取a、b、c时，x(1-x)2的值都是abc
∴ a(1-a)2=b(1-b)2=c(1-c)2
１、已知a+b+c=10， ， 　，则abc的值是( )
A、24 B、30 C、36 D、42
３、已知abc≠0，a+b+c=0，则

的值为

４、设a、b、c都是正数，且　　　　　　　　　，
求证：a=b=c
巩固练习
2、若abc满足a2+b2+c2=9，则代数式(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2
的最大值是( )
A、27 B、18 C、15 D、12
５、已知a、b、c、d满足a+b=c+d，a3+b3=c3+d3, 求证：a2005+b2005=c2005+d2005
６、已知a+b+c=abc，求证：
a(1-b2) (1-c2)+b(1-a2) (1-c2)+c(1-a2) (1-b2)=4abc
求证：ax+by+cz=(x+y+z) (a+b+c)
８、已知
求证：
=1