八年级 上册
11.2 与三角形有关的角  （第1课时）
学习目标：
1．探索并证明三角形内角和定理．
2．能运用三角形内角和定理解决简单问题．
学习重点：
探索并证明三角形内角和定理，体会证明的必要性．
一、情境导入
我们在小学就知道三角形内角和等于1800，这个结论是通过实验得到的，这个命题是不是真命题还需要证明，怎样证明呢？
方法：度量、剪拼图、折叠
（一）探索三角形内角和
问题1　在小学我们已经知道任意一个三角形三个
内角的和等于180°，你还记得是怎么发现这个结论的
吗？请大家利用手中的三角形纸片进行探究．
二、探究新知
问题1　在小学我们已经知道任意一个三角形三个
内角的和等于180°，你还记得是怎么发现这个结论的
吗？请大家利用手中的三角形纸片进行探究．
方法：度量、剪拼图、折叠
（一）探索三角形内角和
问题1　在小学我们已经知道任意一个三角形三个
内角的和等于180°，你还记得是怎么发现这个结论的
吗？请大家利用手中的三角形纸片进行探究．
方法：度量、剪拼图、折叠
（一）探索三角形内角和
追问1　运用度量的方法，得出的三个内角的和都
是180°吗？为什么？
测量可能会有误差．
（一）探索三角形内角和

追问2　通过度量、剪拼图或折叠的方法验证了手
中的三角形纸片的三个内角和等于180°，但我们手中
的三角形只是所有三角形中有限的几个，而形状不同的
三角形有无数多个，我们如何能得出“所有的三角形的
三个内角的和都等于180°”这个结论呢？
需要通过推理的方法去证明．
（一）探索三角形内角和
二、证明三角形内角和定理
问题2 　你能从以上的操作过程中受到启发，想出
证明“三角形内角和等于180°”的方法吗？
追问1　在下图中，∠B 和∠C 分别拼在∠A 的左右，三个角合起来形成一个平角，出现了一条过点A 的直线l，直线l 与边BC 有什么位置关系？
直线l 与边BC 平行．
二、证明三角形内角和定理
追问2　在操作过程中,我们发现了与边BC 平行的直线l，由此，你又能受到什么启发？你能发现证明“三角形内角和等于180°”的思路吗？
通过添加与边BC
平行的辅助线l，利用
平行线的性质和平角
的定义即可证明结论．
二、证明三角形内角和定理
证明：过点A 作直线l ，使l ∥BC．
∵　 l ∥BC ，
∴　∠2 = ∠4，
∠3 = ∠5
（两直线平行，内错角相等） ．
追问3　结合下图，你能写出已知、求证和证明吗？
已知：△ABC．求证：∠A +∠B + ∠C = 180°．
二、证明三角形内角和定理
追问3　结合下图，你能写出已知、求证和证明吗？
已知：△ABC．求证：∠A +∠B + ∠C = 180°．
证明：∵　∠1 + ∠4 + ∠5 = 180°
（平角定义），
∴　∠A + ∠B + ∠C = 180°
（等量代换）．
二、证明三角形内角和定理
追问4　通过前面的操作和证明过程，你能受到什
么启发？你能用其他方法证明此定理吗？
二、证明三角形内角和定理
追问4　通过前面的操作和证明过程，你能受到什
么启发？你能用其他方法证明此定理吗？
二、证明三角形内角和定理
追问4　通过前面的操作和证明过程，你能受到什
么启发？你能用其他方法证明此定理吗？
二、证明三角形内角和定理
追问4　通过前面的操作和证明过程，你能受到什
么启发？你能用其他方法证明此定理吗？
二、证明三角形内角和定理
三、运用三角形内角和定理
例1　如图，在△ABC 中， ∠BAC =40°, ∠B =
75°，AD 是△ABC 的角平分线．求∠ADB 的度数．
解：因为∠BAC =40°，AD 是△ABC 的角平分线
所以∠DAB=1/2∠BAC=20°
在三角形DAB中，
因为三角形的内角和是180度，
所以∠ADB=180°-∠DAB-∠B=180°-20°-75°=85°
例2　如图，C 岛在A 岛的北偏东50°方向，B 岛
在A 岛的北偏东80°方向，C 岛在B 岛的北偏西40°方
向．从B 岛看A，C 两岛的视角∠ABC 是多少度？从C
岛看A，B 两岛的视角∠ACB 呢？
三、运用三角形内角和定理
分析：怎样能求出∠ACB的度数？
根据三角形内角和定理，只需求出∠CAB和∠CBA的度数即可.
∠CAB等于多少度？怎样求∠CBA的度数？
解：∠CBA=∠BAD-∠CAD=800-500=300
∵AD∥BE ∴∠BAD+∠ABE=1800
∴∠ABE=1800-∠BAD=1800-800=1000
∴∠ABC=∠ABE-∠EBC=1000-400=600
∴∠ACB=1800-∠ABC-∠CAB=1800-600-300=900
答：从C岛看AB两岛的视角∠ACB=1800是900.
在直角三角形ABC中，∠C＝ 900由三角形内角和定理，得∠A+∠B+∠C=1800，
所以∠A+∠B＝900
三角形内角和定理的推论：直角三角形的两个锐角互余。
四、课堂练习
练习1　如图，说出各图中∠1 的度数．
练习2　如图，从A 处观测C 处的仰角∠CAD =
30°，从B 处观测C 处的仰角∠CBD = 45°．从C 处观
测A，B 两处的视角∠ACB 是多少？
四、课堂练习
三角形的内角和为180°
五、课堂小结
有两个角互余的三角形是直角三角形。
11.2.2 三角形的外角
1、理解三角形的外角；
2、掌握三角形外角的性质，能利用三角形外角的性质解决问题。
2、在ABC中，
（1）∠C=90°，∠A=30 ° ，则∠B= ；
（2）∠A=50 ° ，∠B=∠C，则∠B= .
1、三角形三个内角的和等于多少度？
3、在△ABC中，
∠A：∠B：∠C＝2：3：4. 则∠A＝　 　，
∠B＝ ，∠C＝ .
40°
60°
80°
65°
60°
怎么验证呢？
一、复习引入
D
三角形的外角：
三角形的一边与
另一边的延长线组成
的角，叫做三角形
的外角．
外角
二、探究新知
外角
三角形外角与内角的关系
外角+相邻的内角=180 ˚（互补）
相邻的内角
不相邻的内角
思考
三角形的外角与它不相邻的内角之间有什么关系呢？
A
B
C
D
【看一看】∠ABD与∠CBA的位置。
【想一想】∠ABD与∠CBA有什么关系？
探究一
探究二
①∠CBD=∠C+∠A
将∠A、∠C剪下拼在∠CBD的位置，
同学之间相互交流，发现什么结论？
动动手
E
∵ ∠ABC + ∠CBD= 180 °
又∵ ∠ABC+ ∠C+ ∠A= 180 °
∴ ∠CBD= ∠C+ ∠A
证明（一）
证明（二）：
过B点作 BE∥AC
∴ ∠EBD = ∠A
∠CBE = ∠C
∴ ∠CBD = ∠CBE+ ∠EBD
= ∠C+ ∠A
三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和
三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和
三角形的一个外角与它相邻的内角互补

∠ACD ∠A (填写不等号)；
∠ACD ∠B (填写不等号)
结论：三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角.
D
>
>
探究三
三角形的外角与内角的关系：
1、三角形的一个外角与它相邻的内角 ；
2、三角形的一个外角 与它不相邻的
两个内角的和；
3、三角形的一个外角 任何一个与它
不相邻的内角。
等于
大于
互补
归纳总结
1、快速抢答，看谁答得又快又准。
∠1=_________+__________
∠2=_________+__________
∠2________∠3,
∠2________∠4
3
4
1
∠CAD
∠C
∠3
∠4
＞
＞
三、课堂练习
2、求下列各图中∠1的度数。
90°
95°
85°
3、把图中∠1、 ∠2、 ∠3按由大到小的顺序排列
∠1＞∠2＞∠3
找出△ABC的所有外角，共有几个外角？
共有6个外角：
F
I
E
G
D
H
∠1， ∠2， ∠3，
∠4， ∠5， ∠6。
1
2
3
6
4
5
∠1＋∠2 ＋∠3就是△ABC的外角和
四、探究三角形的外角和

∠1＋∠2 ＋∠3 ＝ ?
从哪些途径探究这个结果?
议一议
3
2
1
A
B
C
三角形的外角和等于360°
方法1
方法2
go
∠2＋ ∠ABC=180°
∠3＋ ∠ACB=180°
三个式子相加得到
∠1＋ ∠2＋ ∠3＋ ∠BAC＋ ∠ABC＋∠ACB=540°
而∠BAC＋ ∠ABC＋∠ACB=180°
∠1＋ ∠2＋ ∠3＝360°
解：过A作AD平行于BC
∠3＝ ∠4
B
C
1
2
3
A
∠2＝ ∠BAD
所以， ∠1＋ ∠2＋ ∠3＝ ∠1＋ ∠4＋ ∠BAD=360°
∠2＋ ∠ 3＝ ∠ 4＋∠BAD
1.三角形的外角和是指三角形所有外角和
2.三角形的外角和等于它内角和的2倍。
3.三角形的一个外角等于两个内角的和。
4、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。
5.三角形的一个外角大于任何一个内角。
6.三角形的一个外角大于任何一个不相邻的内角
练习巩固
例1：如图，D是△ABC的BC边上一点，∠B＝∠BAD，∠ADC＝80°，∠BAC=70°.
求：（1）∠B的度数；
（2）∠C的度数.
（2）解法1：∵∠DAC＋∠BAD＝∠BAC
∴∠DAC＝∠BAC－∠BAD＝70°－40＝30°
又∵∠C＝180°－∠ADC－∠DAC
∴∠C＝180°－80°－30°＝70°
五、运用新知
3.三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角.
2.三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；
1.三角形的一个外角与它相邻的内角互补；
三角形的外角与内角的关系：
六、课堂小结
天生我才
2.（1）如图（1），BD、CD都是△ABC两个外角的∠CBE、∠BCF的平分线，试探索∠BDC和∠A之间的数量关系.
（2）如图（2）所示，BD是△ABC的角平分线，CD是△ABC的外角平分线，它们相交于点D，试探索∠BDC和∠A之间的数量关系.
再见!