因式分解
观察、探究与归纳
请把下列多项式写成整式乘积的形式
(3)ma+mb+mc=
m(a+b+c)
(4) x2-6x+9=
(x-3)2
因式分解定义
把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个多项式因式分解（也叫分解因式）.
分解因式与整式乘法有何关系?
想一想:
3x(x-1)= ,
3x2 - 3x
3x2-3x=_________
3x(x-1)
整式的积
多项式
多项式
整式的积
分解因式与整式乘法有什么关系？
分解因式与整式乘法是互逆 过程
如图，一块场地由三个矩形组成，这些矩形的长分别是a、b、c，宽都是m，如何计算这块场地的面积呢？
　根据矩形面积公式，我们很容易得出所求面积为：
　　　　　　　　　　ma+mb+mc
　　我们也可以用第二种方法得出面积为：m(a+b+c)
所以m(a+b+c)=ma+mb+mc
因式分解：
把公因式提出来，多项式ma+mb+mc 就可以分解成两个因式m和(a+b+c)的乘积。像这种因式分解的方法，叫做提取公因式法。
解:
公因式
多项式中各项都含有的相同因式,称之为公因式
提公因式法
确定公因式要对数字因数和字母分别进行考虑:

1.各项系数都是整数时,公因式的系数应取各项系数的最大公约数;

2.字母取各项相同的字母,而且各字母的指数取次数最低的
说出下列各多项式的公因式：
(1)ma + mb ；
(2)4kx - 8ky ；
(3)5y3+20y2 ；
(4)a2b-2ab2+ab .
m
4k
5y2
ab
一看系数　二看字母　三看指数
例1 把8a3b2 + 12ab3c 分解因式.
解:8a3b2+12ab3c
=4ab2•2a2+4ab2•3bc
=4ab2(2a2+3bc).
一看系数　 二看字母 三看指数
4
a,b
4ab2
例2 把 2a(b+c) -3(b+c)分解因式.
分析:( b+c)是这个式子的公因式
解: 2a(b+c) – 3(b+c)
=(b+c)(2a-3).
例3. 把 -24x3 –12x2 +28x 分解因式.
当多项式第一项系数是负数，通常先提出“-”号，使括号内第一项系数变为正数，注意括号内各项都要变号。
解：原式=
=
提负号
要变号
(24x3÷4x+12x2÷4x-28x÷4x)
(6x2+3x-7)
=
(1)ax+xy=( )( )
(2)3mx-6my =( )( )
(3)x2y+xy2=( )( )
(4)15a2+10a=( )( )
(5)12xyz－9x2y2=( )( )
x
3m
xy
5a
3a+2
3xy
4z-3xy
将下列多项式因式分解:
a+y
x-2y
x+y
(6) 2a(b+c)-3(b+c)=( )( )
b+c 2a-3
2、确定公因式的方法：
一看系数　二看字母　三看指数
3、提公因式法分解因式步骤(分两步)：
第一步，确定公因式；第二步，求出另一个因式
第三步, 写成积的形式
1、什么叫因式分解？
4、用提公因式法分解因式应注意的问题：
（1）公因式要提尽；
（2）小心漏掉
（3）多项式的首项取正号
你能快速算出 9992-1的结果来吗
公式法-平方差公式
计算下列各式：
(a+2)(a-2)=_________
(2) (a+b)(a-b)=_________.
(3) (3a+2b)(3a-2b) =_______.
a2-4
a2-b2
9a2-4b2
2. 根据上面的算式填空：
（1） a2-4 =_________________.
（2） a2-b2 =____________.
（3） 9a2-4b2 =________________.
(a+2)(a-2)
(a+b)(a-b)
(3a+2b)(3a-2b)
(a+b)(a-b)
=
a2-b2
归纳下式结构特点
整式的积
多项式
利用平方差公式可以将形式是平方差的多项式分解因式
例如：9992-1
1. a2-16=a2-( )2=(a+ )(a- )
4
4
4
=998×1000
=998000
=（999-1)(999+1）
2、4a2－9b4=( )2－( )2
=( )( )
2a
3b2
2a+3b2
2a－3b2
(1) 还原成平方差的形式.
(2) 运用公式写成两数和与两数差的积的形式.
(3) 分别在括号内合并同类项.
(4) 各因式分解到不能再分解为止.
运用平方差公式分解因式的一般步骤：
9(a+b)2-4(a-b)2
解：原式=[3(a+b)]2-[2(a-b)]2
=[3(a+b)+2(a-b)][3(a+b)-2(a-b)]
=(5a+b)(a+5b)
举例
例1. 把下列各式分解因式.
(1) 36-25x2
(2) 16a2-9b2
解:(1)原式=62-(5x)2
=(6+5x)(6-5x)
解:(2)原式=(4a)2-(3b)2
=(4a+3b)(4a-3b)
(3) 4(a+b)2-9(a-b)2
(4) x4-16
解:(3)原式=[2(a+b)]2-[3(a-b)]2
=[2(a+b)+3(a-b)]×[2(a+b)-3(a-b)]
=(5a-b)(-a+5b)
解:(4)原式=(x2)2-42
=(x2+4)(x2-4)
=(x2+4)(x+2)(x-2)
例2. 如图，求圆环形绿化区的面积.
35m
15m
把下列各式分解因式:
(1). 1-x2
(2). x2-9y2
(3). 4x2-25
(4). x2y2-z2
(5). (x+2)2-9
(6). (x+a)2_ (y-b)2
=(1+x)(1-x)
=(x+3y)(x-3y)
=(2x+5)(2x-5)
=(xy+z)(xy-z)
=(x+11)(x-7)
=[(x+a)+(y+b)][(x+a)-(y+b)]