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    人教版初中数学八年级上册 - 12.1 全等三角形

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第十二章 全等三角形 习题2

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全等三角形考前训练题(二)
1 如图,四边形ABCD是正方形,△ABE是等边三角形,M为对角线BD(不含B点)上任意一点,将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN,连接EN、AM、CM.
⑴ 求证:△AMB≌△ENB;
⑵ ①当M点在何处时,AM+CM的值最小;
②当M点在何处时,AM+BM+CM的值最小,并说明理由;

2 (2010重庆市潼南县) 如图,四边形ABCD是边长为2的正方形,点G是BC延长线上一点,连结AG,点E、F分别在AG上,连接BE、DF,∠1=∠2 , ∠3=∠4.
(1)证明:△ABE≌△DAF;
(2)若∠AGB=30°,求EF的长.
3如图5,在中,AB=AC,∠BAC=90°,O为BC的中点。如果点M、N分别在线段AB、AC上移动,在移动时保持AN=BM,请判断ΔOMN的形状,并证明你的结论。

图3

4、如图,已知∠MON的边OM上有两点A、B,边ON上有两点C、D,且AB=CD,P为∠MON的平分线上一点。问:
(1)△ABP与△PCD是否全等?请说明理由。
(2)△ABP与△PCD的面积是否相等?请说明理由。
 
5、如图,已知CE⊥AB,DF⊥AB,点E、F分别为垂足,且AC∥BD。
(1)根据所给条件,指出△ACE和△BDF具有什么关系?请你对结论予以证明。
(2)若△ACE和△BDF不全等,请你补充一个条件,使得两个三角形全等,并给予证明。
6、如图6,已知E是正方形ABCD的边AB的中点,∠B的外角∠CBG的平分线BF交DE的垂线EF于F。
(1)DE与EF是什么关系?(不用证明)
(2)若E为AB上的任意一点(点A、B除外),结论(1)还成立吗?若成立,给出证明,若不成立,请说明理由。

图6
7如图,在等腰梯形ABCD中,∠C=60°,AD∥BC,且AD=DC,E、F
分别在AD、DC的延长线上,且DE=CF,AF、BE交于点P .
(1)求证:AF=BE;
(2)请你猜测∠BPF的度数,并证明你的结论 .
8、(2010年赤峰市中考模拟)如图,在四边形ABCD中,AB=BC,BF是∠ABC的平分线,AF
∥DC,连接AC、CF,求证:CA是∠DCF的平分线.
9、(2010年三亚市月考)如图,在正方形ABCD中,E是AB边上任意一点,BG⊥CE,垂足为点O,交AC于点F,交AD于点G。
证明:BE=AG ;
点E位于什么位置时,∠AEF=∠CEB,说明理由.
10、如图,△ABC中,∠ABC=∠BAC=45°,点P在AB上,AD⊥CP,BE⊥CP,垂足分别为D、E ,已知DC=2,求BE的长。

11、如图,要测量河两岸相对的两点A、B的距离,可以在AB的垂线BF上取两点B、D,使BC=CD,再定出BF的垂线DE,使A、C、E在一条直线上,这时测得DE的长就是AB的长。请说明理由。
12、将一张矩形纸片沿对角线剪开,得到两张纸片,再将这两张三角形纸片摆放成如图所示的形式,使点B、F、C、D在同一条直线上。
(1)求证:AB⊥ED。
(2)若PB=BC,请找出图中与此条件有关的一对全等三角形,并给予证明。

1解:⑴∵△ABE是等边三角形,
∴BA=BE,∠ABE=60°.
∵∠MBN=60°,
∴∠MBN-∠ABN=∠ABE-∠ABN.
即∠BMA=∠NBE.
又∵MB=NB,
∴△AMB≌△ENB(SAS).
⑵①当M点落在BD的中点时,AM+CM的值最小.
②如图,连接CE,当M点位于BD与CE的交点处时,
AM+BM+CM的值最小. ………………9分
理由如下:连接MN.由⑴知,△AMB≌△ENB,
∴AM=EN.
∵∠MBN=60°,MB=NB,
∴△BMN是等边三角形.
∴BM=MN.
∴AM+BM+CM=EN+MN+CM.
根据“两点之间线段最短”,得EN+MN+CM=EC最短
∴当M点位于BD与CE的交点处时,AM+BM+CM的值最小,即等于EC的长.
2解:(1)∵四边形ABCD是正方形
∴AB=AD
在△ABE和△DAF中

∴△ABE≌△DAF-----------------------4分
(2)∵四边形ABCD是正方形
∴∠1+∠4=900
∵∠3=∠4
∴∠1+∠3=900
∴∠AFD=900----------------------------6分
在正方形ABCD中, AD∥BC
∴∠1=∠AGB=300
在Rt△ADF中,∠AFD=900 AD=2
∴AF= DF =1----------------------------------------8分
由(1)得△ABE≌△ADF
∴AE=DF=1
∴EF=AF-AE= ------------------------10分
3解:证明ΔOMN是等腰直角三角形。
证明如下:连结OA
∵AC=AB,∠BAC=90°,O为BC的中点
∴∠1=∠2=∠B=∠C=45°
∠4+∠5=90°,OB=OA
又∵AN=BM,
∴NO=MO,∠3=∠5
∴∠3+∠4=90°,即∠MON=90°
∴ΔOMN是等腰直角三角形

4、(1)不一定全等,因△ABP与△PCD中,只有AB=CD,而其它角和边都有可能不相等,故两三角形不一定全等。(2)面积相等,因为OP为∠MON平分线上一点,故P到边AB、CD上的距离相等,即△ABP中AB边上的高与△PCD中CD边上的高相等,又根据AB=CD(即底边也相等)从而△ABP与△PCD的面积相等。
5、(1)△ACE和△BDF的对应角相等;(2)略
解:(1)DE=EF
(2)结论(1)DE=EF能成立。
证明:如图


在AD上取一点H,使AH=AE,连接EH,易证∠DHE=∠EBF=135°,DH=BE
又∵∠1=90°-∠AED
∠2=90°-∠AED
∴∠1=∠2

∴DE=EF
7、(1)∵BA=AD,∠BAE=∠ADF,AE=DF,
∴△BAE≌△ADF,∴BE=AF;
(2)猜想∠BPF=120° .
∵由(1)知△BAE≌△ADF,∴∠ABE=∠DAF .
∴∠BPF=∠ABE+∠BAP=∠BAE,而AD∥BC,∠C=∠ABC=60°,
∴∠BPF=120
8、证明∵AB=BC,BF是∠ABC的平分线, ∴∠ABF=∠CBF,又∵BF=BF, ∴△ABF≌△CBF。∴AF=CF。∴∠ACF=∠CAF.
又∵AF∥DC,∴∠ACF=∠ACD。
∴CA是∠DCF的平分线。
9、解(1)证明:∵四边形ABCD是正方形
∴∠ABC=∠BAD=90°,∴∠1+∠3=90°,
∵BG⊥CE,∴∠BOC=90°∴∠2+∠3=90°,
∴∠1=∠2 ………………………2分
在△GAB和△EBC中,
∵∠GAB=∠EBC=90°,AB=BC,∠1=∠2
∴△GAB≌△EBC (ASA) …………4分
∴AG=BE ………………………… 5分
(2)解:当点E位于线段AB中点时,∠AEF=∠CEB
理由如下:若当点E位于线段AB中点时,则AE=BE,
由(1)可知,AG=BE ∴AG=AE
∵四边形ABCD是正方形,∴∠GAF=∠EAF=45°
又∵AF=AF,∴△GAF≌△EAF (SAS)
∴∠AGF=∠AEF
由(1)知,△GAB≌△EBC ∴∠AGF=∠CEB,
∴∠AEF=∠CEB
10、解:∵∠ABC=∠BAC=45º
∴∠ACB=90º
又∵AD⊥CP,BE⊥CP
∴BE∥AD
又∵∠1+∠2=90-∠3
∠α=∠2+∠4
2∠2+∠4=90-∠3
又∵2(45°-∠4)=2∠2
∴90-2∠2+∠4=90-∠3
∴∠4=∠3
又∵AC=BC; ∠ADC=∠BEC
∴△ADC△≌CEB
DC=2
11、答案:理由:∵AB⊥BF, ED⊥BF
∴∠ABC=∠EDC=900
又∵A、C、E三点在一条直线上
∴∠ACB=∠ECD
又∵BC=DC
∴⊿ABC≌⊿EDC
∴AB=DE
12、(1)由已知得Rt⊿ABC≌Rt⊿DEF ∴∠A=∠D
∵AC⊥BD ∴∠ACD=900
又∠DNC=∠ANP ∴∠APN=900
∴AB⊥ED
(2)⊿ABC≌⊿DBP
证明:由(1)得∠A=∠D,∠BPD=∠ACB=900,
又PB=BC
∴⊿ABC≌⊿DBP