第二十三章 旋转
23.1 图形的旋转
第1课时 认识图形的旋转


1.了解旋转及其旋转中心和旋转角的概念.
2.了解旋转对应点的概念及应用它们解决一些实际问题.
3.通过观察具体实例认识旋转，探索它的基本性质.
4.了解图形旋转的特征，并能根据这些特征绘制旋转后的几何图形.


知识准备
(学生活动)请同学们完成下面各题.
1.将如图所示的四边形ABCD平移，使点B的对应点为点D，作出平移后的图形.



2.如图，已知△ABC和直线l，请你画出△ABC关于l的对称图形△A′B′C′.


3.圆是轴对称图形吗？等腰三角形呢？你还能指出其他的吗？
(是；是；等腰梯形、长方形、正多边形等.)

(1)平移的有关概念及性质.[来源:学科网]
(2)如何画一个图形关于一条直线(对称轴)的对称图形并口述它有哪些性质.
(3)什么叫轴对称图形.
自学指导
自学教材第59页内容，思考和完成教材上的练习.
观察：让学生看转动的钟表和风车等.
(1)上面情景中的转动现
象，有什么共同的特征？(指针、风车叶片分别绕中间轴旋转)
(2)钟表的指针、秋千在转动过程中，其形状、大小、位置是否发生变化呢？(形状、大小不变，位置发生变化)
问题：
①从3时到5时，时针转动了多少度？(60°)
②
风车每片叶轮转到与下一片原来的位置重合时，风车旋转了多少度？(90°)

③以上现象有什么共同特点？(物体绕固定点旋转)
思考：在数学中如何定义旋转？
知识探究
把一个图形绕着某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转，点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角.
如果图形上的点P经过旋转变为点P′，那么这两个点叫做这个旋转的对应点.
自学反馈
1.下列物体的运动不是旋转的是( C )
A.坐在摩天轮里的小朋友 B.正在走动的时
针
C.骑自行车的人 D.正在转动的风车叶片
2.下列现象中属于旋转的有4个.[来源:学科网][来源:学科网]

地下水位逐年下降；传送带的移动；方向盘的转动；水龙头的
转动；钟摆的运动；荡秋千运动.
3.如图，如果把钟表的指针看成四边形AOBC，它绕着O点旋转到四边形DOEF位置，在这个旋转过程中：旋转中心是O，旋转角是∠AOD(∠BOE)，经过旋转，点A转到D，点C转到F，点B转到E，线段OA、OB、BC
、AC分别转到OD、OE、EF、DF，∠A、∠B、∠C分别与∠D、∠E、∠F是对应角.



旋转角指对应点与旋转中心的连线的夹角.


活动1 小组讨论
例1 如图，四边形ABCD、四边形EFGH都是边长为1的正方形.
(1)这个图案可以看做是哪个“基本图案”通过旋转得到的？
[来源:学*科*网]
(2)请画出旋转中心和旋转角.
(3)经过旋转，点A、B、C、D分别移到什么位置？

(1)可以看做是由正方形ABCD的基本图案通过旋转而得到的.(2)画图略.(3)点A、点B、点C、点D移到的位置是点E、点F、点G、点H.
这个旋转中心是固定的，即正方形对角线的交点，但旋转角和对应点都是不唯一的.
例2 如图，△ABC与△ADE都是等腰直角三角形，∠C和∠AED都是直角，点E在AB上，如果△ABC经旋转后能与△ADE重合，那么旋转中心是点
A；旋转的度数是45°.
活动2 跟踪训练

两个边长为1的正方形，如图所示，让一个正方形的顶点与另一个正方形中心重合，不难知道重合 部分的面积为
，现把其中一个正方形固定不动，另一个正方形绕其中心旋转，问在旋转过程中，两个正方形重叠部分面积是否发生变化？说明理由.


设任转一角度，如图中的虚线部分，要说明旋转后正方形重叠部分面积不变，只要说明S△OEE′=S△ODD′，那么只要说明△OEE′≌△ODD′.


自学指导 自学教材第60页内容，并完成教材第61页练习.
教师用几何画板演
示

请看我手里拿着的硬纸板，
我在硬纸板上挖下一个三角形的洞，再挖一个点O作为旋转中心，把挖好的硬纸板放在黑板上，先在黑板上描出这个挖掉的三角形图案(△ABC)，然后围绕旋转中心O转动硬纸板，在黑板上再描出这个挖掉的三角形(△A′B′C′)，移去硬纸板.
(分组讨论)根据图回答下面问题(一组推荐一人上台说明)
1.线段OA与OA′、OB与OB′、OC与OC′有什么关系？
2.∠AOA′、∠BOB′、∠COC′有什么关系？
3.△ABC与△A′B′C′形状和大小有什么关系？

1.OA=OA′，OB=OB′，OC=OC′，也就是对应点到旋转中心距离相等.
2.∠AOA′=∠BOB′=∠COC′，我们把这三个相等的角，即对应点与旋转中心所连线段的夹角称为旋转角.
3.△ABC和△A′B′C′形状相同且大小相等，即全等.
知识探究
(1)对应点到旋转中心的距离相等；
(2)对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；
(3)旋转前、后的图形全等.


活动1 小组讨论
例3 如图，E是正方形ABCD中CD边上任意一点，以点A为中心，把△ADE顺时针旋转90°，画出旋转后的图形.


关键是确定△ADE三个顶点的对应点的位置.
例4 已知线段AB和点O，画出AB绕点O逆时针旋转100°后的图形.
作法：1.连接OA ； 2.在逆时针方向作∠AOC=100°在OC上截取OA′=OA； 3.连接OB；4.在逆时针方向作∠BOD=100°在OD上截取OB′=OB ； 5.连接A′B′.
线段A′B′就是线段AB绕
点O按逆时针方向旋转100°后的对应线段.

作图应满足三要素:旋转中心、旋转角、旋转方向.
活动2 跟踪训练
1.如图，AD=DC=BC，∠ADC=∠DCB=90°，BP=BQ，∠PBQ=90°.
①此图能否旋转某一部分得到一个正方形？

②若能，指出由哪一部分旋转而得到的？并说明理由.
③它的旋转角多大？并指出它们的对应点.
解：①能. ②由△BCQ绕B点旋转得到.理由：连结AB，易证四边形ABCD为正方形.再证△ABP≌△CBQ.可知△QCB可绕B点旋转与△ABP重合，从而得到正方形ABCD.[来源:学科网]
③90°.点C对应点A，点Q对应点P.
2.如图，△ABC绕C点旋转后，顶点A的对应点为点D，试确定顶点B对应点的位置，以及旋转后的三角形.

解：(1)连接CD，




(2)以CB为一边作∠BCE，使得∠BCE=∠ACD，
(3)在射线CE上截取CB′=CB，则B′即为所求的B的对应点.
(4)连结DB′，则△DB′C就是△ABC绕C点旋转后的图形.

绕C点旋转，A点的对应点是D点，那么旋转角就是∠ACD，根据对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，即∠BCB′=∠ACD，又由对应点到旋转中心的距离相等，即CB=CB′，就可确定B′的位置，如图所示.
3.如图，K是正方形ABCD内一点，以AK为一边作正方形AKLM，使L、M在AK的同旁，连接BK和DM，试用旋转的思想说明线段BK与DM的关系.
解：∵四边形ABCD、四边形AKLM是正方形，

∴AB=AD，AK=AM，且∠BAD=∠KAM为旋转角且为90°.
∴△ADM是以A为旋转中心，∠BAD为旋转角由△ABK旋转而成的.∴BK=DM.

要用旋转的思想说明就是要用旋转中心、旋转角、对应点的知识来说明.
活动3
课堂小结
1.旋转及其旋转中心、旋转角的概念.
2.旋转的对应点及其它们的应用.
3.本节课要掌握：
(1)旋转的基本性质.
(2)旋转变换与平移、轴对称两种变换有哪些共性与区别.


教学至此，敬请使用学案当堂训练部分.
第2课时 旋转作图


1.理解选择不同的旋转中心、不同的旋转角度，会出现不同的效果.
2.掌握根据需要用旋转的知
识设计出美丽的图案.


自学指导 自学教材第61页.
完成下列问题.
1.回顾思考.[来源:学§科§网Z§X§X§K]
(1)各对应点到旋转中心的距离有何关系呢？
(2)各对应点与旋转中心所连线段的夹角与旋转角有何关系？
(3)两个图形是旋转前后的图形，它们全等吗？
2.学生独立完成作图题.如图，△ABC绕B点旋转后，O点是A点的对应点，作出△ABC旋转后的三角形.




要作出△ABC旋转后的三
角形，应找出三方面的关系:①旋转中心B；②旋转角∠ABO；③C点旋转后的对应点C′.
知识探究
从上面的作图题中，我们知道，作图应满足三要素:旋转中心、旋转角、对
应点，而旋转中心、旋转角固定下来，对应点就自然而然地
固定下来.因此，下面就选择不同的旋转中心、不同的旋转角来进行研究.
把一个图案以O点为中心进行旋转，选择不同的旋转中心，不同的旋转角，会出现不同的效果图形.
旋转中心不变，改变旋转角.


旋转角不变，改变旋转中心.

[来源:学科网ZXXK]
我们可以设计成如下图美丽的图案.[来源:学.科.网]


因此，从以上的画图中，我们可以得到旋转中心不变、改变旋转角与旋转角不变、改变旋转中心会产生不同的效果，所以我们
可以经过旋转设计出美丽的图案.[来源:Z#xx#k.Com]


活动1 小组讨论
例1 如图所示，图①沿逆时针方向旋转90
°可得到图⑤.图①按顺时针方向至少旋转180度可得图③.


例2 如图所示，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点P是△ABC内的一点，且AP=3，将△ABP绕点A旋转后与△ACP′重合，求PP′的长.


依
题意，AP绕点A旋转90°时得AP′=AP=3，则△APP′是等腰直角
三角形.
所以PP
′=
=
. 解题的关键是确定AP与AP′垂直且相等.
活动2 跟踪训练
如图所示，点C是线段AB上任意一点，分别以
AC、BC为边在同侧作等边三角形ACD和等边三角形BCE，连接AE、BD，试找出图中能通过旋转完全重合的一对三角形，并指明旋转中心、旋转角及旋转方向.



△ACE旋转后能与△DCB完全重合. 旋转中心是点C，旋转角是60°，旋转方向是顺时针方向.(也可看做△DCB绕点C逆时针旋转6
0°得到△ACE)


教学至此，敬请使用学案当堂训练部分.

[来源:学.科.网]