24.1.4 圆周角
回 忆
1.什么叫圆心角?
顶点在圆心的角叫圆心角
2. 圆心角、弧、弦三个量之间关系的一个结论，这个结论是什么？
在同圆（或等圆）中，如果圆心角、弧、弦有一组量相等，那么它们所对应的其余两个量都分别相等。
探 究
O
A
问题：将圆心角顶点向上移，直至与⊙O相交于点C?观察得到的∠ACB有什么特征？
C
顶点在圆上
两边都与圆相交
这样的角叫圆周角。
B
1、圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边与圆相交的角叫做圆周角。
下列各图中的∠APB是否是圆周角
你认为圆周角相对圆心的位置关系有哪几种类型？
观察：　　如图是一个圆柱形的海洋馆的横截面示意图,人们可以通过其中的圆弧形玻璃窗 观看窗内的海洋动物,同学甲站在圆心O的位置，同学乙站在正对着玻璃窗的靠墙的位置C，他们的视角(∠AOB和∠ACB)有什么关系?如果同学丙、丁分别站在其他靠墙的位置D和E，他们的视角（ ∠ADB和∠AEB）和同学乙的视角相同吗？
观察图中∠ACB、∠ADB和∠AEB与我们学过的圆心角有什么区别？
探究
分别量一下 所对的圆周角∠ACB、∠ADB和∠AEB的度数比较一下，再改变圆周角的位置，圆周角的度数有没有变化？你有什么发现？
再量出图中 所对的圆周角和圆心角的度数，比较一下，你有什么发现？
猜想：
同弧所对的圆周角的度数没有变化， 并且它的度数等于这条弧所对的圆心角的度数的一半。
验证:
为了验证我们的猜想，我们根据圆周角与圆心的相对位置关系分三种情况来证明：
（1）圆心在圆周角的一边上；
（2）圆心在圆周角的内部；
（3）圆心在圆周角的外部
我们先来证第（1）种情况：
证明：∵ OB=OP
∴∠P=∠B
∵∠AOB是△OBP
的外角
∴∠P=1/2 ∠AOB
我们再来证明第（2）情况：
连结PO并延长交⊙于C
由（1）可知：
∠APC=1/2∠AOC
∠BPC=1/2 ∠BOC
∴ ∠APC+ ∠BPC=1/2（ ∠AOC+ ∠BOC）
即∠APB=1/2 ∠AOB
最后我们来证明第（3）种情况：
连结PO并延长交⊙O于C
由（1）可知：
∠APC=1/2∠AOC
∠BPC=1/2 ∠BOC
∴ ∠BPC- ∠APC =1/2（ ∠BOC- ∠AOC ）
即∠APB=1/2 ∠AOB
·
A
B
C
O
巩固练习：
1、圆周角的两个特征：（1） ，
（2） 。
2、在同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的 。
3、如图，AB是⊙O的直径，∠AOD是圆心角， ∠BCD是圆周角，若∠BCD=25°，则∠AOD= 。
顶点在圆上
两边都与圆相交
一半
130°
A
B
C
O
1.如图，已知在⊙ O 中，∠BOC =150°，求∠A的度数。
巩固练习
解：∵在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。
∴ ∠A=150°÷2=75°
2、如图，∠A是圆O的圆周角，∠A=40°求∠OBC的度数。
巩固练习
解： ∠OBC=2 ∠A
=2×40°=80°
4.如图，∠A是圆O的圆周角，
∠A=40°，求∠OBC的度数。
巩固练习
1.如图，点A、B、C、D在同一个圆上，四边形ABCD的对角线把4个内角分成8个角，这些角中哪些是相等的角？
A
B
C
D
1
2
3
4
5
6
7
8
∠1 = ∠4
∠5 = ∠8
∠2 = ∠7
∠3 = ∠6
练习二、
方法点拔：由同弧来找相等的圆周角
如图 AB是⊙O的直径, C ,D是圆上的两点,若∠ABD=40°,则∠BCD=＿＿＿＿＿.
40°
巩固练习
小结：
1、圆周角的定义；
2、圆周角定理及证明；
3、圆周角定理及推论的运用。
作业：
必做P87.88. N4、12
选做P89. N14
1、如图，在⊙O中，AB为直径，CB = CF,
弦CG⊥AB，交AB于D，交BF于E
求证：BE=EC
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能力提升