人教版初中数学九年级上册 第二十四章《圆》
24.1 圆 第2课时
学习目标
1.圆的对称性；
2.垂径定理及其推论；
3.垂径定理及其推论的题设和结论的区分。
情景导入
同学们切西瓜的时候，是怎样切的呢？
为什么大多数人都选择沿着直径来切？
上节回顾
上节课我们学习了
圆的基本知识？
表示？圆心，半径直径，弦，弧，半圆，等圆，同心圆，等弧，分别指什么？
探究活动一
把一个圆沿着它的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？
结论
圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴。
圆的对称轴有 条。
如图，AB是⊙O的一条弦，做直径CD，使CD⊥AB，垂足为E．
你能发现图中有那些相等的线段和弧？为什么？
·
O
A
B
C
D
E
探究活动二
线段： AE=BE
把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合，点A与点B重合，AE与BE重合，AC , AD分别与BC 、BD重合．
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·
O
A
B
C
D
E
垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
⌒
⌒
即直径CD垂直于弦AB，平分弦AB,
并且平分AB及ACB
证明
在Rt△OAE和Rt△OBE中
OA=OB(已知)
OE=OE（公共边）
∴ Rt△OAE≌Rt△OBE（HL）
∴AE=BE
∴弧AC=弧BC
弧AD=弧BD
D
你可以写出相应的命题吗?
探究活动三 垂径定理的推论
如图,在下列五个条件中:
只要具备其中两个条件,就可推出其余三个结论.
① CD是直径,
③ AM=BM,
② CD⊥AB,
垂径定理及推论
垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧.
平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平 分弦所对的两条弧.
平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧.
弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的两条弧.
垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,并且平分弦和所对的另一条弧.
平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,垂直于弦,并且平分弦所对的另一条弧.
平分弦所对的两条弧的直线经过圆心,并且垂直平分弦.
小组探究
小组内选择每人1-2个命题，并证明
如：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.
垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,并且平分弦和所对的另一条弧.
巩固练习
在下列图形中，你能否利用垂径定理找到相等的线段或相等的圆弧。
1．如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求⊙O的半径．
解：
答：⊙O的半径为5cm。
探究活动四 运用垂径定理
在Rt△AOE中
2．如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求证四边形ADOE是正方形．
证明：
∴四边形ADOE为矩形，
又　∵AC=AB
∴ AE=AD
∴ 四边形ADOE为正方形。
∴
∵ OE⊥AC OD⊥AB
小结
本节课我们学习了
1.圆具有轴对称性，对称轴有无数条；
2.垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。
3.推论：由五个条件：直径，垂直于弦，平分弦，平分劣弧，平分优弧中的任何两个，可推出其他三个。
作业：见课后练习题
拓展：课后链接
再见！
这节课就到这里