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    人教版初中数学九年级上册 - 22.2 二次函数与一元二次方程

  • 格式:  DOC
  • 大小:  445K    8页
  • 时间:  2017-08

22.2 二次函数与一元二次方程 教学设计3

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课题1:用待定系数法求二次函数的解析式
【学习目标】
1.学会用待定系数法求抛物线的解析式.
2.熟练地根据二次函数的不同性质选择适当的方法求解析式.
【学习重点】
用待定系数法求二次函数的解析式.
【学习难点】
由条件灵活选择解析式类型.
情景导入 生成问题
旧知回顾:
1.正比例函数图象经过点(1,3),该函数解析式是y=3x.
2.在直角坐标系中,直线l过(1,3)和(3,1)两点,求直线l的函数关系式.
解:设直线l的函数关系式为y=kx+b(k≠0),
把(3,1),(1,3)代入上式,得解方程组得
∴直线l的函数关系式为y=-x+4.
思考:一般地,函数关系式中有几个独立的系数,我们就需要相同个数的独立条件才能求出函数关系式.例如:我们确定正比例函数y=kx(k≠0)只需要一个独立条件;确定一次函数y=kx+b(k≠0)需要两个独立条件.如果要确定二次函数y=ax2+bx+c的关系式,需要几个条件呢?
自学互研 生成能力
知识模块一 利用三点求二次函数y=ax2+bx+c的解析式
【自主探究】
阅读教材P39~P40,完成下面的内容:
通过学习,你会发现y=ax2+bx+c的解析式需要三个独立条件.
典例:已知二次函数经过(1,1),(-1,4),(0,3),求这个二次函数解析式.
解:设二次函数解析式为y=ax2+bx+c,[来源:学&科&网]
∵二次函数y=ax2+bx+c过点(1,1),(-1,4),(0,3)三点.
∴解得
∴所求二次函数的解析式为y=-x2-x+3.
归纳:求二次函数的解析式y=ax2+bx+c,需要求出a,b,c的值.由已知条件(如二次函数图象上三个点的坐标)列出关于a,b,c的方程组,求出a,b,c的值,就可以写出二次函数的解析式.
【合作探究】

变例:已知二次函数的图象如图所示,求这个二次函数的解析式.
解:设二次函数解析式为y=ax2+bx+c,
∵二次函数y=ax2+bx+c过点(0,2),(1,0),(2,0)三点.
∴解得
∴所求二次函数的解析式为y=x2-3x+2. [来源:学科网]

【合作探究】
范例:已知抛物线的顶点坐标为(4,-1),与y轴交于点(0,3),求这条抛物线的解析式.
解:依题意,设y=a(x-h)2+k.将顶点坐标(4,-1)和与y轴交点(0,3)代入,得
3=a(0-4)2-1.解得a=.
∴这条抛物线的解析式为y=(x-4)2-1.

仿例:如图,抛物线的对称轴为y轴,求图中抛物线的解析式.
解:∵抛物线上一点坐标为(0,3),
∴可设抛物线解析式为y=ax2+3.
∵抛物线上一点坐标为(1,1),[来源:Zxxk.Com]
∴1=a+3.
解得a=-2.
∴抛物线解析式为y=-2x2+3.
交流展示 生成新知

1.将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上.并将疑难问题也板演到黑板上,再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑.[来源:Z.xx.k.Com]
2.各小组由组长统一分配展示任务,由代表将“问题和结论”展示在黑板上,通过交流“生成新知”.

知识模块一 利用三点求二次函数y=ax2+bx+c的解析式
知识模块二 利用顶点式求二次函数的解析式
当堂检测 达成目标
【当堂检测】
1.已知一个二次函数的图象与x轴的两个交点的坐标分别为(-1,0)和(2,0),与y轴的交点坐标为(0,-2),则该二次函数的解析式为y=x2-x-2.
2.已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为x=1,且抛物线经过A(-1,0),B(0,-3)两点,则这条抛物线所对应的函数关系式为y=x2-2x-3.

3.已知某二次函数的图象如图所示,则这个二次函数的解析式为( D )
A.y=2(x+1)2+8[来源:Z.xx.k.Com]
B.y=18(x+1)2-8
C.y=(x-1)2+8
D.y=2(x-1)2-8
【课后检测】见学生用书
课后反思 查漏补缺
1.收获:________________________________________________________________________
2.存在困惑:________________________________________________________________________
课题2:二次函数与一元二次方程
【学习目标】
1.知道二次函数与x轴的交点个数与一元二次方程的根的个数之间的关系.
2.能够利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解,体会数形结合思想.
【学习重点】
利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解.
【学习难点】
数与形的统一是本节的难点.
情景导入 生成问题
旧知回顾:
1.一次函数y=kx+b的图象经过(0,1)、(1,0),则方程kx+b=0的解是x=1.

2.如图,一次函数y=kx+b的图象如图所示,则方程kx+b=-2的解是x=-3.
思考:对于二次函数y=ax2+bx+c(a≠0),当y取一个确定值时,它就变成了一个一元二次方程,由此可知一元二次方程与二次函数有着密切的关系.那么,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)与一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)之间到底有怎样的关系呢?通过本节课的学习我们将能解决这个问题.
自学互研 生成能力

【自主探究】
阅读教材P43“问题”至P44“思考”之前的内容,完成下面的范例:
范例:王强在一次高尔夫球的练习中,在某处击球,其飞行路线满足抛物线y=-x2+x,其中y(m)是球的飞行高度,x(m)是球飞出的水平距离.
求:(1)小球的飞行高度能否达到m?
(2)小球的飞行高度能否达到m?
(3)小球的飞行高度能否达到4m?
解:(1)令y=,则-x2+x=.解得x1=2,x2=6.
当小球飞出的水平距离是2m或者6m时,小球的飞行高度达到m.
(2)令y=,则-x2+x=.解得x1=x2=4.
当小球飞出的水平距离是4m时,小球的飞行高度达到m.
(3)令y=4,则-x2+x=4.解得x2-8x+20=0.此方程无实数解.小球的飞行高度达不到4m.
归纳:二次函数与一元二次方程联系密切.例如已知二次函数y=-x2+4x的值为5,求自变量的值,可以看作解一元二次方程-x2+4x=5.

【自主探究】
阅读教材P44~P45“思考”、归纳之间的内容,完成下面的问题:
1.从教材P45图22.2-2可以看出抛物线y=x2+x-2与x轴有两个公共点,它们的横坐标是-2,1.当x取公共点的横坐标时,函数值是0.由此得出方程x2+x-2=0的根是-2,1.
2.抛物线y=x2-6x+9与x轴有一个公共点,这点的横坐标是3.当x=3时,函数值是0.由此得出方程x2-6x+9=0有两个相等的实数根3.
3.抛物线y=x2-x+1与x轴没有公共点.由此可知,方程x2-x+1=0没有实数根.
归纳:一般地,从二次函数y=ax2+bx+c的图象可得如下结论.[来源:学科网]
(1)如果抛物线y=ax2+bx+c与x轴有公共点,公共点的横坐标为x0,那么当x=x0时,函数值是0,因此x=x0是方程ax2+bx+c=0的一个根.
(2)二次函数的图象与x轴的位置关系有三种情况:没有公共点(b2-4ac<0),有一个公共点(b2-4ac=0),有两个公共点(b2-4ac>0),这对应着一元二次方程ax2+bx+c=0根的三种情况:没有实数根,有两个相等的实数根,有两个不相等的实数根.[来源:Zxxk.Com]
【合作探究】
阅读教材P46的内容,完成下面的填空和仿例:
我们可以通过不断缩小根所在的范围估计一元二次方程的根.
仿例:用图象法求一元二次方程2x2-4x-1=0的近似解.

解:设y=2x2-4x-1.画出抛物线y=2x2-4x-1的图象如图所示.[来源:学,科,网Z,X,X,K]
由图象知,当x≈2.2或x≈-0.2时,y=0.即方程2x2-4x-1=0的近似解为x1≈2.2,x2≈-0.2.
交流展示 生成新知
[来源:Zxxk.Com]
1.将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上.并将疑难问题也板演到黑板上,再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑.
2.各小组由组长统一分配展示任务,由代表将“问题和结论”展示在黑板上,通过交流“生成新知”.

知识模块一 初探一元二次方程与二次函数值的关系
知识模块二 利用二次函数图象解一元二次方程
当堂检测 达成目标
【当堂检测】
1.已知二次函数y=x2-3x+m(m为常数)的图象与x轴的一个交点为(1,0),则关于x的一元二次方程x2-3x+m=0的两实数根是( B )
A.x1=1,x2=-1 B.x1=1,x2=2
C.x1=1,x2=0 D.x1=1,x2=3
2.根据下列表格的对应值,判断方程ax2+bx+c=0(a≠0,a,b,c为常数)一个解的范围是( C )
x
3.23
3.24
3.25
3.26

ax2+bx+c
-0.06
-0.02
0.03
0.09

A.3C.3.24
3.二次函数y=x2-x-2的图象如图所示,则函数值y<0时x的取值范围是( C )
A.x<-1
B.x>2
C.-1D.x<-1或x>2
【课后检测】见学生用书
课后反思 查漏补缺
1.收获:________________________________________________________________________
2.存在困惑:_______________________________________
课题3:二次函数的图象与字母系数之间的关系
【学习目标】
让学生掌握二次函数的图象与字母系数之间的关系.
【学习重点】
掌握二次函数的图象与字母系数之间的关系.
【学习难点】
二次函数的图象与字母系数之间的关系是本节的难点.
情景导入 生成问题
旧知回顾:
函数
y=ax2+bx+c(a、b、c为常数,a≠0)


图象
a>0
a<0

开口
向上
向下

对称轴
x=-
x=-

顶点坐标



最值
当x=-时,y取最小值.
当x=-时,y取最大值.

增减性
在对称轴的左侧,y随x的增大而减小;在对称轴的右侧,y随x的增大而增大.
在对称轴的左侧,y随x的增大而增大;在对称轴的右侧,y随x的增大而减小.

思考:二次函数的图象与系数a、b、c之间还有怎样的关系呢?
自学互研 生成能力

【合作探究】

典例:已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)在平面直角坐标系中的位置如图所示,则有( C )
A.a>0,b>0  B.a>0,c>0
C.b>0,c>0 D.a,b,c都小于0
归纳:a的符号由抛物线的开口方向决定,图象开口向上,a>0,图象开口向下,a<0;b的符号由抛物线的对称轴位置决定,当对称轴在y轴的左侧时,a、b同号,对称轴在y轴的右侧时,a、b异号,对称轴在y轴,b=0;c的符号由图象与y轴的交点位置决定.在y轴的正半轴时,c>0,在y轴的负半轴时,c<0,在原点时,c=0.


【合作探究】

范例:二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,那么关于x的方程ax2+bx+c=0的Δ的情况是( C )
A.Δ<0 B.Δ=0
C.Δ>0 D.Δ≥0[来源:学科网ZXXK]
变例:若抛物线y=x2+2x+a的顶点在x轴的下方,则a的取值范围是( B )
A.a>1    B.a<1    C.a≥1    D.a≤1

归纳:抛物线与x轴有两个交点时,b2-4ac>0;抛物线与x轴只有一个交点时,b2-4ac=0;抛物线与x轴没有交点时,b2-4ac<0.
知识模块三 二次函数的图象与a+b+c、a-b+c之间的关系
【合作探究】

典例:已知二次函数y=ax2+bx+c(c≠0)的图象如图所示,下列结论①b<0;②4a+2b+c<0;③a-b+c>0;④(a+b)2A.①② B.①③ C.①③④ D.①②③④
归纳:直线x=1与抛物线y=ax2+bx+c交点在x轴上,a+b+c=0;交点在x轴上方,a+b+c>0;交点在x轴下方,a+b+c<0.根据直线x=-1与抛物线交点的位置可以确定a-b+c的符号.
知识模块四 二次函数的图象与2a+b、2a-b之间的关系
【合作探究】

典例:已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,下列结论:①abc>0;②2a+b<0;③a-b+c<0;④a+c>0,其中正确结论的个数为( C )
A.4个 B.3个
C.2个 D.1个
归纳:若抛物线的对称轴是直线x=1,则-=1,即b+2a=0;若抛物线的对称轴是直线x=-1,则-=-1,即b-2a=0.也经常利用对称轴大于或者小于±1,确定2a+b或者2a-b与0的关系.
交流展示 生成新知

1.将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上.并将疑难问题也板演到黑板上,再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑.[来源:学科网ZXXK]
2.各小组由组长统一分配展示任务,由代表将“问题和结论”展示在黑板上,通过交流“生成新知”.

知识模块一 二次函数的图象与a、b、c之间的关系
知识模块二 二次函数的图象与b2-4ac之间的关系
知识模块三 二次函数的图象与a+b+c、a-b+c之间的关系
知识模块四 二次函数的图象与2a+b、2a-b之间的关系
当堂检测 达成目标
【当堂检测】
1.已知抛物线y=ax2+bx+c(c≠0)在平面直角坐标系中的位置如图所示,则下列结论中正确的是( D )
A.a>0    B.b<0    C.c<0    D.a+b+c>0[来源:Zxxk.Com]
 (第1题图))    (第2题图))    (第3题图))
2.图为二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象,则下列说法:①a>0;②2a+b=0;③a+b+c>0;④当-10.其中正确的个数为( C )
A.1 B.2 C.3 D.4
3.如图,抛物线y=ax2+bx+c(a>0)的对称轴是过点(1,0)且平行于y轴的直线,若点P(4,0)在该抛物线上,则4a-2b+c的值为0.
【课后检测】见学生用书
课后反思 查漏补缺
1.收获:________________________________________________________________________
2.存在困惑:________________________________________________________________________[来源:学。科。网]