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    人教版初中数学九年级上册 - 24.1 圆的有关性质

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  • 时间:  2017-08

24.1 圆的有关性质 习题1

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24.1 圆的有关性质
一、选择题(共9小题)
1.如图是一圆柱形输水管的横截面,阴影部分为有水部分,如果水面AB宽为8cm,水面最深地方的高度为2cm,则该输水管的半径为(  )

A.3cm B.4cm C.5cm D.6cm
2.(绍兴是著名的桥乡,如图,石拱桥的桥顶到水面的距离CD为8m,桥拱半径OC为5m,则水面宽AB为(  )

A.4m B.5m C.6m D.8m
3.将一盛有不足半杯水的圆柱形玻璃水杯拧紧杯盖后放倒,水平放置在桌面上,水杯的底面如图所示,已知水杯内径(图中小圆的直径)是8cm,水的最大深度是2cm,则杯底有水部分的面积是(  )

A.(π﹣4)cm2 B.(π﹣8)cm2 C.(π﹣4)cm2 D.(π﹣2)cm2
4.如图,一条公路的转变处是一段圆弧(即图中弧CD,点O是弧CD的圆心),其中CD=600米,E为弧CD上一点,且OE⊥CD,垂足为F,OF=米,则这段弯路的长度为(  )

A.200π米 B.100π米 C.400π米 D.300π米
5.在直径为200cm的圆柱形油槽内装入一些油以后,截面如图.若油面的宽AB=160cm,则油的最大深度为(  )

A.40cm B.60cm C.80cm D.100cm
6.在半径为13的⊙O中,弦AB∥CD,弦AB和CD的距离为7,若AB=24,则CD的长为(  )
A.10 B.4 C.10或4 D.10或2
7.如图,AB是⊙O的直径,CD为弦,CD⊥AB于E,则下列结论中不成立的是(  )

A.∠A=∠D B.CE=DE C.∠ACB=90° D.CE=BD
8.如图,⊙O的直径AB=12,CD是⊙O的弦,CD⊥AB,垂足为P,且BP:AP=1:5,则CD的长为(  )

A.4 B.8 C.2 D.4
9.如图,⊙O的半径是3,点P是弦AB延长线上的一点,连接OP,若OP=4,∠APO=30°,则弦AB的长为(  )

A.2 B. C.2 D.
 
二、填空题(共15小题)
10.如图,水平放置的圆柱形排水管道的截面直径是1m,其中水面的宽AB为0.8m,则排水管内水的深度为      m.

11.赵州桥是我国建筑史上的一大创举,它距今约1400年,历经无数次洪水冲击和8次地震却安然无恙.如图,若桥跨度AB约为40米,主拱高CD约10米,则桥弧AB所在圆的半径R=      米.

12.如图是一个古代车轮的碎片,小明为求其外圆半径,连接外圆上的两点A、B,并使AB与车轮内圆相切于点D,半径为OC⊥AB交外圆于点C.测得CD=10cm,AB=60cm,则这个车轮的外圆半径是      .

13.一条排水管的截面如图所示,已知排水管的半径OA=1m,水面宽AB=1.2m,某天下雨后,水管水面上升了0.2m,则此时排水管水面宽CD等于      m.

14.如图,小丽荡秋千,秋千链子的长OA为2.5米,秋千向两边摆动的角度相同,摆动的水平距离AB为3米,则秋千摆至最高位置时与最低价位置时的高度之差(即CD)为      米.

15.如图,水平放置的圆柱形排水管道的截面直径是1m,其中水面的宽AB为0.8m,则排水管内水的深度为       m.

16.把球放在长方体纸盒内,球的一部分露出盒外,其主视图如图.⊙O与矩形ABCD的边BC,AD分别相切和相交(E,F是交点),已知EF=CD=8,则⊙O的半径为      .

17.如图,AB为⊙O的直径,弦CD⊥AB于点E,若CD=6,且AE:BE=1:3,则AB=      .

18.如图是一个古代车轮的碎片,小明为求其外圆半径,连结外圆上的两点A、B,并使AB与车轮内圆相切于点D,做CD⊥AB交外圆于点C.测得CD=10cm,AB=60cm,则这个车轮的外圆半径为      cm.

19.如图是一圆形水管的截面图,已知⊙O的半径OA=13,水面宽AB=24,则水的深度CD是      .

20.平面内有四个点A、O、B、C,其中∠AOB=120°,∠ACB=60°,AO=BO=2,则满足题意的OC长度为整数的值可以是      .
21.如图,AB是⊙O的弦,OC⊥AB于点C,连接OA、OB.点P是半径OB上任意一点,连接AP.若OA=5cm,OC=3cm,则AP的长度可能是      cm(写出一个符合条件的数值即可)

22.如图,将半径为2cm的圆形纸片折叠后,圆弧恰好经过圆心O,则折痕AB的长为      cm.

23.如图,在平面直角坐标系中,点O为坐标原点,点P在第一象限,⊙P与x轴交于O,A两点,点A的坐标为(6,0),⊙P的半径为,则点P的坐标为      .

24.如图,已知⊙O的直径AB=6,E、F为AB的三等分点,M、N为上两点,且∠MEB=∠NFB=60°,则EM+FN=      .

 
三、解答题(共6小题)
25.如图所示,该小组发现8米高旗杆DE的影子EF落在了包含一圆弧型小桥在内的路上,于是他们开展了测算小桥所在圆的半径的活动.小刚身高1.6米,测得其影长为2.4米,同时测得EG的长为3米,HF的长为1米,测得拱高(弧GH的中点到弦GH的距离,即MN的长)为2米,求小桥所在圆的半径.

26.如图所示,某窗户由矩形和弓形组成,已知弓形的跨度AB=3m,弓形的高EF=1m,现计划安装玻璃,请帮工程师求出所在圆O的半径r.

27.在⊙O中,AB为直径,点C为圆上一点,将劣弧沿弦AC翻折交AB于点D,连结CD.
(1)如图1,若点D与圆心O重合,AC=2,求⊙O的半径r;
(2)如图2,若点D与圆心O不重合,∠BAC=25°,请直接写出∠DCA的度数.

28.如图,已知△ABC是⊙O的内接三角形,AB=AC,点P是的中点,连接PA,PB,PC.
(1)如图①,若∠BPC=60°.求证:AC=AP;
(2)如图②,若sin∠BPC=,求tan∠PAB的值.

29.)如图,CD为⊙O的直径,CD⊥AB,垂足为点F,AO⊥BC,垂足为点E,AO=1.
(1)求∠C的大小;
(2)求阴影部分的面积.

30.如图,AB是⊙O的直径,弦CD交AB于点E,OF⊥AC于点F,
(1)请探索OF和BC的关系并说明理由;
(2)若∠D=30°,BC=1时,求圆中阴影部分的面积.(结果保留π)

 
24.1 圆的有关性质

参考答案与试题解析
 
一、选择题(共9小题)
1.如图是一圆柱形输水管的横截面,阴影部分为有水部分,如果水面AB宽为8cm,水面最深地方的高度为2cm,则该输水管的半径为(  )

A.3cm B.4cm C.5cm D.6cm
【考点】垂径定理的应用;勾股定理.
【分析】过点O作OD⊥AB于点D,连接OA,由垂径定理可知AD=AB,设OA=r,则OD=r﹣2,在Rt△AOD中,利用勾股定理即可求r的值.
【解答】解:如图所示:过点O作OD⊥AB于点D,连接OA,
∵OD⊥AB,
∴AD=AB=×8=4cm,
设OA=r,则OD=r﹣2,
在Rt△AOD中,OA2=OD2+AD2,即r2=(r﹣2)2+42,
解得r=5cm.
故选C.

【点评】本题考查的是垂径定理的应用及勾股定理,根据题意作出辅助线,构造出直角三角形是解答此题的关键.
 
2.绍兴是著名的桥乡,如图,石拱桥的桥顶到水面的距离CD为8m,桥拱半径OC为5m,则水面宽AB为(  )

A.4m B.5m C.6m D.8m
【考点】垂径定理的应用;勾股定理.
【分析】连接OA,根据桥拱半径OC为5m,求出OA=5m,根据CD=8m,求出OD=3m,根据AD=求出AD,最后根据AB=2AD即可得出答案.
【解答】解:连接OA,
∵桥拱半径OC为5m,
∴OA=5m,
∵CD=8m,
∴OD=8﹣5=3m,
∴AD===4m,
∴AB=2AD=2×4=8(m);
故选;D.

【点评】此题考查了垂径定理的应用,关键是根据题意做出辅助线,用到的知识点是垂径定理、勾股定理.
 
3.将一盛有不足半杯水的圆柱形玻璃水杯拧紧杯盖后放倒,水平放置在桌面上,水杯的底面如图所示,已知水杯内径(图中小圆的直径)是8cm,水的最大深度是2cm,则杯底有水部分的面积是(  )

A.(π﹣4)cm2 B.(π﹣8)cm2 C.(π﹣4)cm2 D.(π﹣2)cm2
【考点】垂径定理的应用;扇形面积的计算.
【分析】作OD⊥AB于C,交小⊙O于D,则CD=2,由垂径定理可知AC=CB,利用正弦函数求得∠OAC=30°,进而求得∠AOC=120°,利用勾股定理即可求出AB的值,从而利用S扇形﹣S△AOB求得杯底有水部分的面积.
【解答】解:作OD⊥AB于C,交小⊙O于D,则CD=2,AC=BC,
∵OA=OD=4,CD=2,
∴OC=2,
在RT△AOC中,sin∠OAC==,
∴∠OAC=30°,
∴∠AOB=120°,
AC==2,
∴AB=4,
∴杯底有水部分的面积=S扇形﹣S△AOB=﹣××2=(π﹣4)cm2
故选A.

【点评】本题考查的是垂径定理的应用及勾股定理,根据题意作出辅助线,构造出直角三角形是解答此题的关键.
 
4.如图,一条公路的转变处是一段圆弧(即图中弧CD,点O是弧CD的圆心),其中CD=600米,E为弧CD上一点,且OE⊥CD,垂足为F,OF=米,则这段弯路的长度为(  )

A.200π米 B.100π米 C.400π米 D.300π米
【考点】垂径定理的应用;勾股定理;弧长的计算.
【分析】设这段弯路的半径为R米,OF=米,由垂径定理得CF=CD=×600=300.由勾股定理可得OC2=CF2+OF2,解得R的值,进而得出这段弧所对圆心角,求出弧长即可.
【解答】解:设这段弯路的半径为R米
OF=米,
∵OE⊥CD
∴CF=CD=×600=300
根据勾股定理,得OC2=CF2+OF2
即R2=3002+(300)2
解之,得R=600,
∴sin∠COF==,
∴∠COF=30°,
∴这段弯路的长度为: =200π(m).
故选:A.

【点评】此题主要考查了垂径定理的应用,根据已知得出圆的半径以及圆心角是解题关键.
 
5.在直径为200cm的圆柱形油槽内装入一些油以后,截面如图.若油面的宽AB=160cm,则油的最大深度为(  )

A.40cm B.60cm C.80cm D.100cm
【考点】垂径定理的应用;勾股定理.
【分析】连接OA,过点O作OE⊥AB,交AB于点M,由垂径定理求出AM的长,再根据勾股定理求出OM的长,进而可得出ME的长.
【解答】解:连接OA,过点O作OE⊥AB,交AB于点M,
∵直径为200cm,AB=160cm,
∴OA=OE=100cm,AM=80cm,
∴OM===60cm,
∴ME=OE﹣OM=100﹣60=40cm.
故选:A.

【点评】本题考查的是垂径定理的应用,根据题意作出辅助线,构造出直角三角形是解答此题的关键.
 
6.在半径为13的⊙O中,弦AB∥CD,弦AB和CD的距离为7,若AB=24,则CD的长为(  )
A.10 B.4 C.10或4 D.10或2
【考点】垂径定理;勾股定理.
【专题】分类讨论.
【分析】根据题意画出图形,由于AB和CD的位置不能确定,故应分AB与CD在圆心O的同侧和AB与CD在圆心O的异侧两种情况进行讨论.
【解答】解:当AB与CD在圆心O的同侧时,如图1所示:
过点O作OF⊥CD于点F,交AB于点E,连接OA,OC,
∵AB∥CD,OF⊥CD,
∴OE⊥AB,
∴AE=AB=×24=12,
在Rt△AOE中,
OE===5,
∴OF=OE+EF=5+7=12,
在Rt△OCF中,CF===5,
∴CD=2CF=2×5=10;
当AB与CD在圆心O的异侧时,如图2所示:
过点O作OF⊥CD于点F,反向延长交AB于点E,连接OA,OC,
∵AB∥CD,OF⊥CD,
∴OE⊥AB,
∴AE=AB=×24=12,
在Rt△AOE中,
OE===5,
∴OF=EF﹣OE=7﹣5=2,
在Rt△OCF中,CF===,
∴CD=2CF=2×=2.
故CD的长为10或2.
故选D.

【点评】本题考查的是垂径定理,在解答此类题目时要注意进行分类讨论,不要漏解.
 
7.如图,AB是⊙O的直径,CD为弦,CD⊥AB于E,则下列结论中不成立的是(  )

A.∠A=∠D B.CE=DE C.∠ACB=90° D.CE=BD
【考点】垂径定理.
【专题】压轴题.
【分析】根据垂径定理,直径所对的角是直角,以及同弧所对的圆周角相等,即可判断.
【解答】解:∵AB是⊙O的直径,CD为弦,CD⊥AB于E.∴CE=DE.故B成立;
A、根据同弧所对的圆周角相等,得到∠A=∠D,故该选项正确;
C、根据直径所对的圆周角是直角即可得到,故该选项正确;
D、CE=DE,而△BED是直角三角形,则DE<BD,则该项不成立.
故选D.
【点评】本题主要考查了垂径定理的基本内容,以及直径所对的圆周角是直角.
 
8.如图,⊙O的直径AB=12,CD是⊙O的弦,CD⊥AB,垂足为P,且BP:AP=1:5,则CD的长为(  )

A.4 B.8 C.2 D.4
【考点】垂径定理;勾股定理.
【专题】探究型.
【分析】先根据⊙O的直径AB=12求出OB的长,再由BP:AP=1:5求出BP的长,故可得出OP的长,连接OC,在Rt△OPC中利用勾股定理可求出PC的长,再根据垂径定理即可得出结论.
【解答】解:∵⊙O的直径AB=12,
∴OB=AB=6,
∵BP:AP=1:5,
∴BP=AB=×12=2,
∴OP=OB﹣BP=6﹣2=4,
∵CD⊥AB,
∴CD=2PC.
如图,连接OC,在Rt△OPC中,
∵OC=6,OP=4,
∴PC===2,
∴CD=2PC=2×2=4.
故选D.

【点评】本题考查的是垂径定理及勾股定理,根据题意作出辅助线,构造出直角三角形是解答此题的关键.
 
9.如图,⊙O的半径是3,点P是弦AB延长线上的一点,连接OP,若OP=4,∠APO=30°,则弦AB的长为(  )

A.2 B. C.2 D.
【考点】垂径定理;含30度角的直角三角形;勾股定理.
【专题】压轴题.
【分析】先过O作OC⊥AP,连结OB,根据OP=4,∠APO=30°,求出OC的值,在Rt△BCO中,根据勾股定理求出BC的值,即可求出AB的值.
【解答】解:过O作OC⊥AP于点C,连结OB,
∵OP=4,∠APO=30°,
∴OC=sin30°×4=2,
∵OB=3,
∴BC===,
∴AB=2;
故选A.

【点评】此题考查了垂经定理,用到的知识点是垂经定理、含30度角的直角三角形、勾股定理,解题的关键是作出辅助线,构造直角三角形.
 
二、填空题(共15小题)
10.如图,水平放置的圆柱形排水管道的截面直径是1m,其中水面的宽AB为0.8m,则排水管内水的深度为 0.8 m.

【考点】垂径定理的应用;勾股定理.
【分析】过O点作OC⊥AB,C为垂足,交⊙O于D,连OA,根据垂径定理得到AC=BC=0.5m,再在Rt△AOC中,利用勾股定理可求出OC,即可得到CD的值,即水的深度.
【解答】解:如图,过O点作OC⊥AB,C为垂足,交⊙O于D、E,连OA,
OA=0.5m,AB=0.8m,
∵OC⊥AB,
∴AC=BC=0.4m,
在Rt△AOC中,OA2=AC2+OC2,
∴OC=0.3m,
则CE=0.3+0.5=0.8m,
故答案为:0.8.

【点评】本题考查了垂径定理的应用,掌握垂径定理:垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的弧是解题的关键,注意勾股定理的运用.
 
11.赵州桥是我国建筑史上的一大创举,它距今约1400年,历经无数次洪水冲击和8次地震却安然无恙.如图,若桥跨度AB约为40米,主拱高CD约10米,则桥弧AB所在圆的半径R= 25 米.

【考点】垂径定理的应用;勾股定理.
【分析】根据垂径定理和勾股定理求解即可.
【解答】解:根据垂径定理,得AD=AB=20米.
设圆的半径是r,根据勾股定理,
得R2=202+(R﹣10)2,
解得R=25(米).
故答案为25.
【点评】此题综合运用了勾股定理以及垂径定理.注意构造由半径、半弦、弦心距组成的直角三角形进行有关的计算.
 
12.如图是一个古代车轮的碎片,小明为求其外圆半径,连接外圆上的两点A、B,并使AB与车轮内圆相切于点D,半径为OC⊥AB交外圆于点C.测得CD=10cm,AB=60cm,则这个车轮的外圆半径是 50cm .

【考点】垂径定理的应用;勾股定理;切线的性质.
【分析】根据垂径定理求得AD=30cm,然后根据勾股定理即可求得半径.
【解答】解:如图,连接OA,
∵CD=10cm,AB=60cm,
∵CD⊥AB,
∴OC⊥AB,
∴AD=AB=30cm,
∴设半径为r,则OD=r﹣10,
根据题意得:r2=(r﹣10)2+302,
解得:r=50.
∴这个车轮的外圆半径长为50cm.
故答案为:50cm.

【点评】本题考查了垂径定理的应用以及勾股定理的应用,作出辅助线构建直角三角形是本题的关键.
 
13.一条排水管的截面如图所示,已知排水管的半径OA=1m,水面宽AB=1.2m,某天下雨后,水管水面上升了0.2m,则此时排水管水面宽CD等于 1.6 m.

【考点】垂径定理的应用;勾股定理.
【分析】先根据勾股定理求出OE的长,再根据垂径定理求出CF的长,即可得出结论.
【解答】解:如图:

∵AB=1.2m,OE⊥AB,OA=1m,
∴OE=0.8m,
∵水管水面上升了0.2m,
∴OF=0.8﹣0.2=0.6m,
∴CF=m,
∴CD=1.6m.
故答案为:1.6.
【点评】本题考查的是垂径定理的应用,熟知平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧是解答此题的关键.
 
14.如图,小丽荡秋千,秋千链子的长OA为2.5米,秋千向两边摆动的角度相同,摆动的水平距离AB为3米,则秋千摆至最高位置时与最低价位置时的高度之差(即CD)为 0.5 米.

【考点】垂径定理的应用;勾股定理.
【分析】由题意知,秋千摆至最低点时,点C为弧AB的中点,由垂径定理知AB⊥OC,AD=BD=AB=1.5米.再根据勾股定理求得OD即可.
【解答】解:∵点C为弧AB的中点,O为圆心
由垂径定理知:AB⊥OC,AD=BD=AB=1.5米,
在Rt△OAD中,根据勾股定理,OD==2(米),
∴CD=OC﹣OD=2.5﹣2=0.5(米);
故答案为0.5.
【点评】本题考查了垂径定理的应用,勾股定理的应用,将实际问题抽象为几何问题是解题的关键.
 
15.如图,水平放置的圆柱形排水管道的截面直径是1m,其中水面的宽AB为0.8m,则排水管内水的深度为 0.2  m.

【考点】垂径定理的应用;勾股定理.
【分析】过O作OC垂直于AB,利用垂径定理得到C为AB的中点,在直角三角形AOC中,由水面高度与半径求出OC的长,即可得出排水管内水的深度.
【解答】解:过O作OC⊥AB,交AB于点C,可得出AC=BC=AB=0.4m,
由直径是1m,可知半径为0.5m,
在Rt△AOC中,根据勾股定理得:OC===0.3(m),
则排水管内水的深度为:0.5﹣0.3=0.2(m).
故答案为:0.2.

【点评】此题考查了垂径定理的应用,以及勾股定理,熟练掌握定理是解本题的关键.
 
16.把球放在长方体纸盒内,球的一部分露出盒外,其主视图如图.⊙O与矩形ABCD的边BC,AD分别相切和相交(E,F是交点),已知EF=CD=8,则⊙O的半径为 5 .

【考点】垂径定理的应用;勾股定理;切线的性质.
【专题】几何图形问题.
【分析】首先由题意,⊙O与BC相切,记切点为G,作直线OG,分别交AD、劣弧于点H、I,再连接OF,易求得FH的长,然后设求半径为r,则OH=8﹣r,然后在Rt△OFH中,r2﹣(16﹣r)2=82,解此方程即可求得答案.
【解答】解:由题意,⊙O与BC相切,记切点为G,作直线OG,分别交AD、劣弧于点H、I,再连接OF,
在矩形ABCD中,AD∥BC,而IG⊥BC,
∴IG⊥AD,
∴在⊙O中,FH=EF=4,
设求半径为r,则OH=8﹣r,
在Rt△OFH中,r2﹣(8﹣r)2=42,
解得r=5,
故答案为:5.

【点评】此题考查了切线的性质、垂径定理以及勾股定理.此题难度适中,注意掌握辅助线的作法,注意掌握方程思想与数形结合思想的应用.
 
17.如图,AB为⊙O的直径,弦CD⊥AB于点E,若CD=6,且AE:BE=1:3,则AB= 4 .

【考点】垂径定理;勾股定理.
【专题】计算题.
【分析】根据AE与BE比值,设出AE为x与BE为3x,由AE+BE表示出AB,进而表示出OA与OB,由OA﹣AE表示出OE,连接OC,根据AB与CD垂直,利用垂径定理得到E为CD中点,求出CE的长,在直角三角形OCE中,利用勾股定理列出方程,求出方程的解得到x的值,即可确定出AB的长.
【解答】解:连接OC,
根据题意设AE=x,则BE=3x,AB=AE+EB=4x,
∴OC=OA=OB=2x,OE=OA﹣AE=x,
∵AB⊥CD,∴E为CD中点,即CE=DE=CD=3,
在Rt△CEO中,利用勾股定理得:(2x)2=32+x2,
解得:x=,
则AB=4x=4.
故答案为:4

【点评】此题考查了垂径定理,以及勾股定理,熟练掌握定理是解本题的关键.
 
18.如图是一个古代车轮的碎片,小明为求其外圆半径,连结外圆上的两点A、B,并使AB与车轮内圆相切于点D,做CD⊥AB交外圆于点C.测得CD=10cm,AB=60cm,则这个车轮的外圆半径为 50 cm.

【考点】垂径定理的应用;勾股定理;切线的性质.
【专题】几何图形问题.
【分析】设点O为外圆的圆心,连接OA和OC,根据CD=10cm,AB=60cm,设半径为r,则OD=r﹣10,根据垂径定理得:r2=(r﹣10)2+302,求得r的值即可.
【解答】解:如图,设点O为外圆的圆心,连接OA和OC,
∵CD=10cm,AB=60cm,
∴设半径为r,则OD=r﹣10,
根据题意得:r2=(r﹣10)2+302,
解得:r=50,
故答案为:50.

【点评】本题考查了垂径定理的应用,解题的关键是正确构造直角三角形.
 
19.如图是一圆形水管的截面图,已知⊙O的半径OA=13,水面宽AB=24,则水的深度CD是 8 .

【考点】垂径定理的应用;勾股定理.
【分析】先根据垂径定理求出AC的长,再根据勾股定理求出OC的长,根据CD=OD﹣OC即可得出结论.
【解答】解:∵⊙O的半径OA=13,水面宽AB=24,OD⊥AB,
∴OD=OA=13,AC=AB=12,
在Rt△AOC中,OC===5,
∴CD=OD﹣OC=13﹣5=8.
故答案为:8.
【点评】本题考查的是垂径定理的应用,解答此类问题时往往是找出直角三角形,利用勾股定理求解.
 
20.平面内有四个点A、O、B、C,其中∠AOB=120°,∠ACB=60°,AO=BO=2,

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