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    人教版初中数学九年级上册 - 23.1 图形的旋转

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  • 时间:  2017-08

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23.1 图形的旋转 习题1

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《23.1.2 图形的旋转》
 
一、选择题
1.在图形旋转中,下列说法错误的是(  )
A.图形上的每一点到旋转中心的距离相等
B.图形上的每一点转动的角度相同
C.图形上可能存在不动点
D.图形上任意两点的连线与其对应两点的连线相等
2.下面的四个图案中,既包含图形的旋转,又包含图形的轴对称的是(  )
A. B. C. D.
3.如图所示的图案绕旋转中心旋转后能够与自身重合,那么它的旋转角可能是(  )

A.60° B.90° C.72° D.120°
4.如图,摆放有五杂梅花,下列说法错误的是(以中心梅花为初始位置)(  )

A.左上角的梅花只需沿对角线平移即可
B.右上角的梅花需先沿对角线平移后,再顺时针旋转45°
C.右下角的梅花需先沿对角线平移后,再顺时针旋转180
D.左下角的梅花需先沿对角线平移后,再顺时针旋转90°
5.△ABC绕着A点旋转后得到△AB′C′,若∠BAC′=130°,∠BAC=80°,则旋转角等于(  )
A.50° B.210° C.50°或210° D.130°
 
二、填空题
6.在图形的平移、旋转、轴对称变换中,其相同的性质是______.
7.如图,△ABC和△ADE均是顶角为42°的等腰三角形,BC、DE分别是底边,图中的△ABD绕A旋转42°后得到的图形是______,它们之间的关系是______,其中BD=______.

8.如图,将△OAB绕点O按逆时针方面旋转至△0A′B′,使点B恰好落在边A′B′上.已知AB=4cm,BB′=1cm,则A′B长是______cm.

9.如图,在平面直角坐标系中,点A的坐标为(1,4),将线段OA绕点O顺时针旋转90°得到线段OA′,则点A′的坐标是______.

10.如图,自正方形ABCD的顶点A引两条射线分别交BC、CD于E、F,∠EAF=45°,在保持∠EAF=45°的前提下,当点E、F分别在边BC、CD上移动时,BE+DF与EF的关系是______.

11.如图,在直角坐标系中,已知点A(﹣3,0),B(0,4),对△OAB连续作旋转变换,依次得到三角形①,②,③,④…,则三角形⑩的直角顶点的坐标为______.

 
三、综合提高题
12.观察下列图形,它可以看作是什么“基本图形”通过怎样的旋转而得到的?

13.如图:若∠AOD=∠BOC=60°,A、O、C三点在同一条线上,△AOB与△COD是能够重合的图形.求:
(1)旋转中心;
(2)旋转角度数;
(3)图中经过旋转后能重合的三角形共有几对?若A、O、C三点不共线,结论还成立吗?为什么?
(4)求当△BOC为等腰直角三角形时的旋转角度;
(5)若∠A=15°,则求当A、C、B在同一条线上时的旋转角度.

14.作图:

(1)如图甲,以点O为中心,把点P顺时针旋转45°.
(2)如图乙,以点O为中心,把线段AB逆时针旋转90°.
(3)如图丙,以点O为中心,把△ABC顺时针旋转120°.
(4)如图丁,以点B为中心,把△ABC旋转180°.
15.如图,K是正方形ABCD内一点,以AK为一边作正方形AKLM,使L,M,D在AK的同旁,连接BK和DM,试用旋转的思想说明线段BK与DM的关系.

16.如图,已知A、B是线段MN上的两点,MN=4,MA=1,MB>1.以A为中心顺时针旋转点M,以B为中心逆时针旋转点N,使M、N两点重合成一点C,构成△ABC,设AB=x.
(1)求x的取值范围;
(2)若△ABC为直角三角形,求x的值.

17.如图在Rt△OAB中,∠OAB=90°,OA=AB=6.
(1)请你画出将△OAB绕点O沿逆时针方向旋转90°,得到的△OA1B1;
(2)线段OA1的长度是______,∠AOB1的度数是______;
(3)连接AA1,求证:四边形OAA1B1是平行四边形.

 

《23.1.2 图形的旋转》
参考答案与试题解析
 
一、选择题
1.在图形旋转中,下列说法错误的是(  )
A.图形上的每一点到旋转中心的距离相等
B.图形上的每一点转动的角度相同
C.图形上可能存在不动点
D.图形上任意两点的连线与其对应两点的连线相等
【解答】解:A、在图形旋转中,根据旋转的性质,图形上对应点到旋转中心的距离相等,故本选项错误;
B、图形上的每一点转动的角度都等于旋转角,正确;
C、以图形上一点为旋转中心,则这个点不动,正确;
D、旋转前后两个图形全等,则图形上任意两点的连线与其对应两点的连线相等,正确.
故选A.
 
2.下面的四个图案中,既包含图形的旋转,又包含图形的轴对称的是(  )
A. B. C. D.
【解答】解:A、只包含图形的旋转,不符合题意;
B、只是轴对称图形,不符合题意;
C、只是轴对称图形,不符合题意;
D、既包含图形的旋转,又包含图形的轴对称,符合题意.
故选:D.
 
3.如图所示的图案绕旋转中心旋转后能够与自身重合,那么它的旋转角可能是(  )

A.60° B.90° C.72° D.120°
【解答】解:该图形被平分成五部分,因而每部分被分成的圆心角是72°,
并且圆具有旋转不变性,因而旋转72度的整数倍,就可以与自身重合.
故选C.
 
4.如图,摆放有五杂梅花,下列说法错误的是(以中心梅花为初始位置)(  )

A.左上角的梅花只需沿对角线平移即可
B.右上角的梅花需先沿对角线平移后,再顺时针旋转45°
C.右下角的梅花需先沿对角线平移后,再顺时针旋转180
D.左下角的梅花需先沿对角线平移后,再顺时针旋转90°
【解答】解:由平移和旋转可得,D选项中左下角的梅花需先沿对角线平移后,再逆时针旋转90°,所以D选项错误.
故选:B.
 
5.△ABC绕着A点旋转后得到△AB′C′,若∠BAC′=130°,∠BAC=80°,则旋转角等于(  )
A.50° B.210° C.50°或210° D.130°
【解答】解:∵∠BAC′=130°,∠BAC=80°,
∴如图1,∠CAC′=∠BAC′﹣∠BAC=50°,
如图2,∠CAC′=∠BAC′+∠BAC=210°.
∴旋转角等于50°或210°.
故选C.

 
二、填空题
6.在图形的平移、旋转、轴对称变换中,其相同的性质是 图形的形状、大小不变,只改变图形的位置 .
【解答】解:在图形的平移、旋转、轴对称变换中,其相同的性质是图形的形状、大小不变,只改变图形的位置.
 
7.如图,△ABC和△ADE均是顶角为42°的等腰三角形,BC、DE分别是底边,图中的△ABD绕A旋转42°后得到的图形是 △ACE ,它们之间的关系是 全等 ,其中BD= CE .

【解答】解:△ABD绕点A逆时针旋转42°得到△ACE,
它们之间的关系是全等,其中BD=CE.

 
8.如图,将△OAB绕点O按逆时针方面旋转至△0A′B′,使点B恰好落在边A′B′上.已知AB=4cm,BB′=1cm,则A′B长是 3 cm.

【解答】解:根据旋转的性质,得:A′B′=AB=4cm.∴A′B=A′B′﹣BB′=4﹣1=3(cm).
 
9.如图,在平面直角坐标系中,点A的坐标为(1,4),将线段OA绕点O顺时针旋转90°得到线段OA′,则点A′的坐标是 (4,﹣1) .

【解答】解:由图知A点的坐标为(1,4),根据旋转中心O,旋转方向顺时针,旋转角度90°,
画图,从而得A′点坐标为(4,﹣1).
故答案为:(4,﹣1).

 
10.如图,自正方形ABCD的顶点A引两条射线分别交BC、CD于E、F,∠EAF=45°,在保持∠EAF=45°的前提下,当点E、F分别在边BC、CD上移动时,BE+DF与EF的关系是 BE+DF=EF .

【解答】解:如图,延长CD到M,使DM=BE,
连接AM、EF;
∵四边形ABCD为正方形,
∴∠B=∠ADC=90°,AB=AD;
在△ABE与△ADM中,
,
∴△ABE≌△ADM(SAS),
∴∠BAE=∠DAM,AE=AM;
∴∠BAE+DAF=∠DAM+∠DAF=∠MAF;
∵∠EAF=45°,
∴∠BAE+DAF=90°﹣45°=45°,
∴∠EAF=∠MAF=45°;
在△EAF与△MAF中,
,
∴△EAF≌△MAF(SAS),
∴MF=EF,而MF=MD+DF=BE+DF,
∴BE+DF=EF,
故答案为BE+DF=EF.

 
11.如图,在直角坐标系中,已知点A(﹣3,0),B(0,4),对△OAB连续作旋转变换,依次得到三角形①,②,③,④…,则三角形⑩的直角顶点的坐标为 (36,0) .

【解答】解:由原图到图③,相当于向右平移了12个单位长度,象这样平移三次直角顶点是(36,0),再旋转一次到三角形⑩,直角顶点仍然是(36,0),则三角形⑩的直角顶点的坐标为(36,0).
故答案为:(36,0).
 
三、综合提高题
12.观察下列图形,它可以看作是什么“基本图形”通过怎样的旋转而得到的?

【解答】解:图形(1)是通过一条线段绕点O旋转360°而得到的;
图形(2)可以看作是“一个Rt△ABC”绕线段AC旋转360°而得到的;
图形(3)将矩形ABCD绕AD旋转一周而得到的.
 
13.如图:若∠AOD=∠BOC=60°,A、O、C三点在同一条线上,△AOB与△COD是能够重合的图形.求:
(1)旋转中心;
(2)旋转角度数;
(3)图中经过旋转后能重合的三角形共有几对?若A、O、C三点不共线,结论还成立吗?为什么?
(4)求当△BOC为等腰直角三角形时的旋转角度;
(5)若∠A=15°,则求当A、C、B在同一条线上时的旋转角度.

【解答】解:(1)∵△AOB与△COD是能够重合的图形,
∴旋转中心是点O;
(2)根据题意得:旋转角是∠AOD或∠BOC,
∴旋转角度数是60°,
(3)经过旋转后能重合的三角形有△AOB与△DOC,△AOE与△DOF,△BOE与△COF共三对,
若A、O、C三点不共线,△AOE与△DOF,△BOE与△COF不一定重合,结论不一定成立,
∵若A、O、C三点不共线,∠DOB≠60°,
∴∠AOD=∠BOC=60°≠∠DOB,
∴△BOE与△COF不一定重合,结论不一定成立;
(4)∵△BOC为等腰直角三角形,
∴∠BOC=∠AOD=90°,
∴旋转角度为:90°,
(5)∵180°﹣∠BOC=180°﹣60°=120°,
∴旋转角度为120°.
 
14.作图:

(1)如图甲,以点O为中心,把点P顺时针旋转45°.
(2)如图乙,以点O为中心,把线段AB逆时针旋转90°.
(3)如图丙,以点O为中心,把△ABC顺时针旋转120°.
(4)如图丁,以点B为中心,把△ABC旋转180°.
【解答】解:(1)如图甲,点P′为所求;
(2)如图乙,线段A′B′为所求;


(3)如图丙,△A′B′C′为所求;
(4)如图丁,△A′BC′为所求.

 
15.如图,K是正方形ABCD内一点,以AK为一边作正方形AKLM,使L,M,D在AK的同旁,连接BK和DM,试用旋转的思想说明线段BK与DM的关系.

【解答】解:BK与DM的关系是互相垂直且相等.
∵四边形ABCD和四边形AKLM都是正方形,
∴AB=AD,AK=AM,∠BAK=90°﹣∠DAK,∠DAM=90°﹣∠DAK,
∴∠BAK=∠DAM,

∴△ABK≌△ADM(SAS).
把△ABK绕A逆时针旋转90°后与△ADM重合,
∴BK=DM且BK⊥DM.
 
16.如图,已知A、B是线段MN上的两点,MN=4,MA=1,MB>1.以A为中心顺时针旋转点M,以B为中心逆时针旋转点N,使M、N两点重合成一点C,构成△ABC,设AB=x.
(1)求x的取值范围;
(2)若△ABC为直角三角形,求x的值.

【解答】解:(1)在△ABC中,∵AC=1,AB=x,BC=3﹣x.
∴,解得1<x<2. (4分)

(2)①若AC为斜边,则1=x2+(3﹣x)2,即x2﹣3x+4=0,无解.
②若AB为斜边,则x2=(3﹣x)2+1,解得,满足1<x<2.
③若BC为斜边,则(3﹣x)2=1+x2,解得,满足1<x<2.
∴或.
 
17.如图在Rt△OAB中,∠OAB=90°,OA=AB=6.
(1)请你画出将△OAB绕点O沿逆时针方向旋转90°,得到的△OA1B1;
(2)线段OA1的长度是 6 ,∠AOB1的度数是 135° ;
(3)连接AA1,求证:四边形OAA1B1是平行四边形.

【解答】(1)解:△OA1B1如图所示.

(2)解:根据旋转的性质知,OA1=OA=6.
∵将△OAB绕点O沿逆时针方向旋转90°,得到的△OA1B1,
∴∠BOB1=90°.
∵在Rt△OAB中,∠OAB=90°,OA=AB=6,
∴∠BOA=∠OBA=45°,
∴∠AOB1=∠BOB1+∠BOA=90°+45°=135°,即∠AOB1的度数是135°.
故答案是:6,135°;

(3)证明:根据旋转的性质知,△OA1B1≌△OAB,
则∠OA1B1=∠OAB=90°,A1B1=AB,
∵将△OAB绕点O沿逆时针方向旋转90°,得到的△OA1B1,
∴∠A1OA=90°,
∴∠OA1B1=∠A1OA,
∴A1B1∥OA.
又∵OA=AB,
∴A1B1=OA,
∴四边形OAA1B1是平行四边形.