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    人教版初中数学九年级上册 - 22.2 二次函数与一元二次方程

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  • 时间:  2017-08

22.2 二次函数与一元二次方程 习题3

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22.2 二次函数与一元二次方程
第1课时 二次函数与一元二次方程之间的关系

要点感知 抛物线y=ax2+bx+c在x轴上的交点与一元二次方程ax2+bx+c=0之间的关系:(1)如果抛物线与x轴___交点,那么一元二次方程___实数根;(2)如果抛物线与x轴只有___个交点,此时的交点就是抛物线的顶点,那么一元二次方程有两个___的实数根;(3)如果抛物线与x轴有___个交点,那么一元二次方程有两个___的实数根,此时,抛物线与x轴两个交点的横坐标x1,x2就是一元二次方程的两个实数根.
预习练习1-1 抛物线y=3x2+5x与两坐标轴交点的个数为___个.
1-2 下列哪一个函数,其图象与x轴有两个交点( )
A.y=(x-23)2+155 B.y=(x+23)2+155 C.y=-(x-23)2-155 D.y=-(x+23)2+155

知识点1 二次函数与一元二次方程
1.抛物线y=-3x2-x+4与坐标轴的交点个数是( )
A.3 B.2 C.1 D.0
2.(苏州中考)已知二次函数y=x2-3x+m(m为常数)的图象与x轴的一个交点为(1,0),则关于x的一元二次方程x2-3x+m=0的两实数根是( )
A.x1=1,x2=-1 B.x1=1,x2=2 C.x1=1,x2=0 D.x1=1,x2=3
3.(柳州中考)小兰画了一个函数y=x2+ax+b的图象如图,则关于x的方程x2+ax+b=0的解是( )

A.无解 B.x=1 C.x=-4 D.x=-1或x=4
4.抛物线y=2x2+8x+m与x轴只有一个公共点,则m的值为___
知识点2 利用二次函数求一元二次方程的近似解
5.根据下列表格的对应值,判断方程ax2+bx+c=0(a≠0,a,b,c为常数)一个解的范围是( )

A.3<x<3.23 B.3.23<x<3.24 C.3.24<x<3.25 D.3.25<x<3.26
6.用图象法求一元二次方程2x2-4x-1=0的近似解.


解:
知识点3 二次函数与不等式
7.二次函数y=x2-x-2的图象如图所示,则函数值y<0时x的取值范围是( )

A.x<-1 B.x>2 C.-1<x<2 D.x<-1或x>2

8.(黔东南中考)已知抛物线y=x2-x-1与x轴的一个交点为(m,0),则代数式m2-m+2 014的值为( )
A.2 012 B.2 013 C.2 014 D.2 015
9.(牡丹江中考)抛物线y=ax2+bx+c(a<0)如图所示,则关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集是( )

A.x<2 B.x>-3 C.-3<x<1 D.x<-3或x>1
10.(锦州中考)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0,a,b,c为常数)的图象如图所示,ax2+bx+c=m有实数根的条件是( )
A.m≤-2 B.m≥-2 C.m≥0 D.m>4

11.(济南中考)二次函数y=x2+bx的图象如图,对称轴为直线x=1.若关于x的一元二次方程x2+bx-t=0(t为实数)在-1<x<4的范围内有解,则t的取值范围是( )

A.t≥-1 B.-1≤t<3 C.-1≤t<8 D.3<t<8
12.(济宁中考)“如果二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个公共点,那么一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根.”请根据你对这句话的理解,解决下面问题:若m、n(m A.m13.抛物线y=2(x+3)(x-2)与x轴的交点坐标分别为___.
14.(南京中考)已知二次函数y=x2-2mx+m2+3(m是常数).
(1)求证:不论m为何值,该函数的图象与x轴没有公共点;
(2)把该函数的图象沿y轴向下平移多少个单位长度后,得到的函数的图象与x轴只有一个公共点?
挑战自我
15.(孝感中考)已知关于x的方程x2-(2k-3)x+k2+1=0有两个不相等的实数根x1、x2.
(1)求k的取值范围;
(2)试说明x1<0,x2<0;
(3)若抛物线y=x2-(2k-3)x+k2+1与x轴交于A、B两点,点A、点B到原点的距离分别为OA、OB,且OA+OB=2OA·OB-3,求k的值.

参考答案

要点感知 (1)无,没有;(2)一,相等;(3)两,不相等
预习练习1-1 2.
1-2 D

1.A 2.B 3.D 4.8. 5.C
6.

设y=2x2-4x-1.
画出抛物线y=2x2-4x-1的图象,如图所示.
由图象知,当x≈2.2或x≈-0.2时,y=0.
即方程2x2-4x-1=0的近似解为x1≈2.2,x2≈-0.2.
7.C

8.D 9.C 10.B 11.C 12.A 13.(-3,0),(2,0).
14.(1)∵(-2m)2-4(m2+3)=-12<0,
∴方程x2-2mx+m2+3=0没有实数根.
∴不论m为何值,该函数的图象与x轴没有公共点.
(2)y=x2-2mx+m2+3=(x-m)2+3,
把函数y=(x-m)2+3的图象沿y轴向下平移3个单位长度后,得到函数y=(x-m)2的图象,它的顶点坐标是(m,0),
∴这个函数的图象与x轴只有一个公共点.
∴把该函数的图象沿y轴向下平移3个单位长度后,得到的函数的图象与x轴只有一个公共点.
挑战自我
15.(1)由题意可知:
Δ=[-(2k-3)]2-4(k2+1)>0,
即-12k+5>0,∴k<.
(2)∵k<,∴x1+x2=2k-3<0,
x1·x2=k2+1>0.
∴x1<0,x2<0.
(3)依题意,不妨设A(x1,0),B(x2,0),
∵x1<0,x2<0,
∴OA+OB=(-x1)·(-x2)=x1x2=k2+1.
∵OA+OB=2OA·OB-3,
∴-(2k-3)=2(k2+1)-3.
解得k1=1,k2=-2.
∵k<,∴k=-2.
第2课时 二次函数y=ax2+bx+c的图象与字母系数的关系

要点感知 抛物线y=ax2+bx+c的图象与字母系数a,b,c之间的关系:
(1)当a>0时,开口____,当a<0时,开口____;
(2)若对称轴在y轴的左边,则a,b____,若对称轴在y轴的右边,则a,b____;
(3)若抛物线与y轴的正半轴相交,则c____0,若抛物线与y轴的负半轴相交,则c____0,若抛物线经过原点,则c____0;
(4)当x=1时,y=ax2+bx+c=a+b+c;当x=-1时,y=ax2+bx+c=a-b+c;当x=2时,y=ax2+bx+c=4a+2b+c;当x=-2时,y=ax2+bx+c=4a-2b+c;…;
(5)当对称轴x=1时,x=-=1,所以-b=2a,此时2a+b=0;当对称轴x=-1时,x=-=-1,所以b=2a,此时2a-b=0;判断2a+b大于或者等于0,看对称轴与1的大小关系;判断2a-b大于或者等于0,看对称轴与-1的大小关系;
(6)b2-4ac>0二次函数与横轴有两个交点;b2-4ac=0二次函数与横轴有一个交点;b2-4ac<0二次函数与横轴无交点.
预习练习 (滨州中考)如图,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于A,B两点,与y轴交于C点,且对称轴为x=1,点B坐标为(-1,0).则下面的四个结论:①2a+b=0;②4a-2b+c<0;③ac>0;④当y<0时,x<-1或x>2.其中正确的个数是( )

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

知识点1 二次函数与字母系数的关系
1.(龙岩中考)若二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,则下列选项正确的是( )

A.a>0 B.c>0 C.ac>0 D.bc<0

2.(兰州中考)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,其对称轴为x=1,下列结论中错误的是( )

A.abc<0 B.2a+b=0 C.b2-4ac>0 D.a-b+c>0
3.(陕西中考)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,则下列结论中正确的是( )

A.c>-1 B.b>0 C.2a+b≠0 D.9a+c>3b

4.(达州中考)如图是二次函数y=ax2+bx+c的图象的一部分,对称轴是直线x=1.①b2>4ac;②4a-2b+c<0;③不等式ax2+bx+c>0的解集是x≥3.5;④若(-2,y1),(5,y2)是抛物线上的两点,则y1<y2.上述4个判断中,正确的是( )

A.①② B.①④ C.①③④ D.②③④
知识点2 函数图象的综合
5.(泰安中考)在同一坐标系内,一次函数y=ax+b与二次函数y=ax2+8x+b的图象可能是( )

6.(遵义中考)已知抛物线y=ax2+bx和直线y=ax+b在同一坐标系内的图象如图,其中正确的是( )


7.已知二次函数y=kx2-7x-7的图象和x轴有交点,则k的取值范围是( )
A.k>- B.k>-且k≠0 C.k≥- D.k≥-且k≠0
8.(黔东南中考)如图,已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,下列4个结论:①abc<0;②b0;④b2-4ac>0.其中正确的结论有( )

A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.②③④
9.(齐齐哈尔中考)如图,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的一部分,对称轴为直线x=,且经过点(2,0).下列说法:①abc<0;②a+b=0;③4a+2b+c<0;④若(-2,y1),(,y2)是抛物线上的两点,则y1<y2,其中说法正确的是( )

A.①②④ B.③④ C.①③④ D.①②
10.(烟台中考)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象如图所示,图象过点(-1,0),对称轴为直线x=2.下列结论:
①4a+b=0;②9a+c>3b;③8a+7b+2c>0;④当x>-1时,y的值随x值的增大而增大.
其中正确的结论有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

11.(扬州中考)如图,抛物线y=ax2+bx+c(a>0)的对称轴是过点(1,0)且平行于y轴的直线,若点P(4,0)在该抛物线上,则4a-2b+c的值为____.
12.已知关于x的二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象经过点C(0,1),且与x轴交于不同的两点A,B,点A的坐标是(1,0).
(1)求c的值;
(2)求a的取值范围.

挑战自我
13.如图,直线y=x+m和抛物线y=x2+bx+c都经过点A(1,0),B(3,2).
(1)求m的值和抛物线的解析式;



(2)求不等式x2+bx+c>x+m的解集(直接写出答案);
(3)若M(a,y1),N(a+1,y2)两点都在抛物线y=x2+bx+c上,试比较y1与y2的大小.
参考答案

要点感知 (1)向上,向下;
(2)同号,异号;
(3)>,<,=;
预习练习 B

1.C 2.D 3.D 4.B 5.C 6.D

7.D 8.B 9.A 10.B 11.0.
12.(1)c=1.
(2)由图象过C(0,1),A(1,0)得a+b+1=0,∴b=-a-1.
由b2-4ac>0,可得(-a-1)2-4a>0,即(a-1)2>0,故a≠1.又a>0,
∴a的取值范围是a>0且a≠1.
挑战自我
13.(1)∵直线y=x+m经过点A(1,0),∴0=1+m.∴m=-1.
∵抛物线y=x2+bx+c经过点A(1,0),B(3,2),∴0=1+b+c,
2=9+3b+c.解得b=-3,c=2.
∴抛物线的解析式为y=x2-3x+2.
(2)x>3或x<1.
(3)∵M(a,y1),N(a+1,y2)两点都在函数y=x2-3x+2的图象上,
∴y1=a2-3a+2,
y2=(a+1)2-3(a+1)+2=a2-a.
y2-y1=(a2-a)-(a2-3a+2)=2a-2.
∴当2a-2<0,即a<1时,y1>y2;
当2a-2=0,即a=1时,y1=y2;
当2a-2>0,即a>1时,y1