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    人教版初中数学九年级上册 - 第二十二章 二次函数

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  • 时间:  2017-08

第二十二章 二次函数 习题2

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1.二次函数定义补充
一、二次函数的定义(考点:二次函数的二次项系数不为0,且二次函数的表达式必须为整式)
1、下列函数中,是二次函数的是 .
①;②; ③;④;⑤; ⑥; ⑦; ⑧。
2、在一定条件下,若物体运动的路程s(米)与时间t(秒)的关系式为,则t=4秒时,该物体所经过的路程为 。
3、若函数是关于的二次函数,则的取值范围为 。
4、已知函数是二次函数,则= 。
5、若函数是关于的二次函数,则的值为 。
6、已知函数是二次函数,求的值。

二、列二次函数的解析式(一定要写出自变量的取值范围)
A
1、某广告公司设计一幅周长为20米的矩形广告牌,设矩形的一边长为米,广告牌的面积为S 平方米。广告牌的面积S与的函数关系式为 。
2、如图(1),正方形ABCD的边长为16㎝,P是AB上任意一点(不与A、B重合),QP⊥DP,,设AP=㎝,BQ=㎝,与的函数关系式为 。
3、如图(2),正方形ABCD的边长为4,P是BC上的一动点,若QP⊥AP,交DC于Q,设PB=,
△ADQ的面积为, 与的函数关系式为 .
4、如图(3),△ABC是等腰三角形铁板余料,其中AB=AC=20㎝,BC=24㎝,若△ABC上截出一矩形零件DEFG,使EF在边BC上,点D、G分别在AB、AC上,(1)设EF=㎝,S矩形DEFG=㎝2,试写出与的函数关系式;(2)问截得的矩形DEFG的长、宽为何值时,该矩形的面积等于三角形铁板余料面积的一半?
5、某租赁公司拥有汽车100辆,当每辆车的月租金为3000元时,可全部租出,当每辆车的月租金每增加50元时,未租出的车会增加1辆,租出的车每辆每月需要维护费150元,未租出的车每辆每月需要维护费50元,
(1)当每辆车的月租金为3600元时,能租出 辆车;
(2)设每辆车的月租金定为(≥3000)元,用含的代数式填表格:
未租出的车辆数

租出的车辆数


所有未租出的车辆每月的维护费

租出的车每辆的月收益


(3)写出该公司的月收益(元)与之间的函数关系式。
6、某商店购进一批单价为16元的日用品,销售一段时间后,为了获得更多的利润,商店决定提高销售价格,经实验发现,若按每件20元的价格销售时,每月能卖360件。按每件25元销售时,每月能卖210件。假定每月销售的件数(件)是价格(元/件)的一次函数,(1)试写出与的函数关系式;(2)如果以每件元销售时,每月可获利润为ω元,试写出ω与的函数关系式;它是二次函数吗?
B
7、某化工材料经销公司购进了一批化工原材料共7000千克,购进价格为每千克30元,物价部门规定销售单价不得高于70元/千克,也不得低于30元/千克,市场调查发现,单价定为70元/千克时,日均销售60千克;单价每降低1元,每天多销售2千克,在销售过程中,每天还需支出各种费用500元(天数不足1天按1天计算)。设销售单价为元/千克,日均获利为元,求与之间的函数关系式。
8、已知扇形的周长为20㎝,半径为㎝,写出扇形的面积S与半径之间的函数关系式。

9、如图,△ABC,∠B=900,AB=6㎝,AC=10㎝,点P从A点开始沿AB边向点B以1㎝/s的速度移动,点Q从B点开始沿BC边向点C以2㎝/s的速度移动。
(1)如果P、Q分别从A、B同时出发,试求经过t秒后,△PBQ的面积与时间t的函数关系式;
(2)如果P、Q分别从A、B同时出发,并且P到B后又继续在BC边上前进,Q到C后又继续在CA边上前进,假设P点运动时间为t秒,试求△PCQ的面积与时间t的函数关系式。

10、如图所示,在直角梯形ABCD中,∠A=∠D=90°,截取AE=BF=DG=x.已知AB=6,CD=3,AD=4.求四边形CGEF的面积S关于x的函数表达式和x的取值范围.
11、某公司试销一种成本单价为500元/件的新产品, 规定试销时的销售单价不低于成本单价,又不高于800元/件.试销时,发现销售量y(件)与销售价x(元/件)的关系可近似看作一次函数y=kx+b(k≠0),如图所示.
(1)根据图象,求一次函数y=kx+b的表达式;
(2)设公司获得的毛利润(毛利润=销售总价-成本总价)为S元, 试用销售单价表示毛利润S.
12、某广告公司设计一幅周长为12米的矩形广告牌, 广告设计费为每平方米1000元,设矩形一边长为x米,面积为S平方米.
(1)求出S与x之间的函数关系式,并确定自变量x的取值范围.
(2)为使广告牌美观、大方,要求做成黄金矩形,请你按要求设计,并计算出可获得的设计费是多少?(精确到元)
13、某高科技发展公司投资500万元,成功研制出一种市场需求量较大的高科技替代产品,并投入资金1500万元进行批量生产.已知生产每件产品的成本为40元, 在销售过程中发现,当销售单价定为100元时,年销售时为20万件;销售单价每增加10元, 年销售量将减少1万件.设第一年销售单价为x元,销售量为y万件,获利(年获利=年销售额-生产成本-投资)为z万元.
(1)试写出y与x之间的函数关系式;(不必写出x的取值范围)
(2)试写出z与x之间的函数关系式;(不必写出x的取值范围)
(3)计算销售单价为160元时的获利,并说明同样的获利,销售单价还可以定为多少元?相应的销售量分别为多少万件?

2.二次函数的图象与性质补充
二次函数的顶点坐标是 ,对称轴是直线 。
二次函数的图象开口 ,当> 0时,随的增大而 ;当< 0时,随的增大而 ;当= 0时,函数有最 值是 。
二次函数的图象开口 ,当> 0时,随的增大而 ;当< 0时,随的增大而 ;当= 0时,函数有最 值是 。
已知点A(2,),B(4,)在二次函数的图象上,则 .
已知点A(-2,),B(4,)在二次函数的图象上,则 .
在函数中,其图象的对称轴是轴的有( )A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
抛物线不具有的性质是( )
A.开口向下; B.对称轴是轴;C.当> 0时,随的增大而减小; D.函数有最小值
抛物线共有的性质是( )
A.开口方向相同 B.开口大小相同 C.当> 0时,随的增大而增大 D.对称轴相同
已知抛物线经过点A(1,-4),求(1)=4时的函数值;(2)=-8时的的值。

已知抛物线的开口向下,则的值为 。
已知抛物线与直线有唯一交点,求k的值。

已知P(x,y)是抛物线第三象限内的一点,点A的坐标为(4,0),求OPA的面积S与x的函数关系式。

函数
a的符号
开口方向
对称轴
顶点坐标
增减性
最值


a>0
向上
y轴(x=0)
(0,0)
当x<0时,
当x>0时,
x=0时,
y最小=0


a<0
向下
y轴(x=0)
(0,0)
当x<0时,
当x>0时,
x=0时,
y最大=0


a>0
向上
y轴(x=0)
(0,k)
当x<0时,

当x>0时,
x=0时,
y最小=k


a<0
向下
y轴(x=0)
(0,k)
当x<0时,

当x>0时,
x=0时,
y最大=k


a>0
向上
x=h
(h,0)
当x<h时,

当x>h时,
x=h时,
y最小=0


a<0
向下
x=h
(h,0)
当x<h时,

当x>h时,
x=h时,
y最大=0




a>0
向上
x=h
(h,k)
当x<h时,

当x>h时,
x=h时,
y最小=k


a<0
向下
x=h
(h,k)
当x<h时,

当x>h时,
x=h时,
y最大=k




a>0


向上


当x<时,
当x>时,
当时,



a<0
向下


当x<时,
当x>时,
当时,

二次函数的性质
11.二次函数的对称轴、顶点、最值
(技法:如果解析式为顶点式,则最值为k;如果解析式为一般式则最值为)
抛物线经过坐标原点,则的值为    。
抛物线的顶点坐标为(1,3),则b= ,c= .
抛物线y=x2+3x的顶点在( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
若抛物线y=ax2-6x经过点(2,0),则抛物线顶点到坐标原点的距离为( )
A. B. C. D.
若直线y=ax+b不经过二、四象限,则抛物线y=ax2+bx+c( )
A.开口向上,对称轴是y轴 B.开口向下,对称轴是y轴
C.开口向下,对称轴平行于y轴 D.开口向上,对称轴平行于y轴
已知抛物线y=x2+(m-1)x-的顶点的横坐标是2,则m的值是_______.
抛物线的对称轴是      。
若二次函数的对称轴是直线x=1,则=      。
当n=________,m=______时,函数y=(m+n)+(m-n)x的图象是抛物线,且其顶点在原点,此抛物线的开口________.
已知二次函数,当a 时,该函数的最小值为0?
已知二次函数的最小值为1,那么=      。
(易错题)已知二次函数有最小值为0,则=      。
已知二次函数的最小值为3,则=      。

二次函数的增减性等
二次函数的增减性
二次函数,当时,随的增大而 ;当时,随的增大而 ;当时,函数有最 值是 。
已知函数,当时,随的增大而增大;当时,随的增大而减少;则=1时,的值为 。
已知二次函数,当时,随的增大而增大,则的取值范围是 .
已知二次函数的图象上有三点且,则的大小关系为 .
二次函数的平移
技法:只要两个函数的a 相同,就可以通过平移重合。将二次函数一般式化为顶点式,平移规律:k,正上负下,h ,正右负左.
抛物线向左平移3个单位,再向下平移4个单位,所得到的抛物线的关系式
为           。
抛物线,                ,可以得到。
将抛物线向左平移2个单位,再向下平移3个单位,所得到的抛物线的关系式
为           。
如果将抛物线的图象向右平移3个单位,所得到的抛物线的关系式为     。
将抛物线向上平移1个单位,再向右平移1个单位,得到
则a= ,b= ,c= .
将抛物线y=ax2向右平移2个单位,再向上平移3个单位,移动后的抛物线经过点(3,-1),那么移动后的抛物线的关系式为____ _.
函数的交点
抛物线与直线的交点坐标为 。
直线与抛物线的图象有 个交点。
函数的的对称
抛物线关于y轴对称的抛物线的关系式为 。
抛物线关于x轴对称的抛物线为,
则a= ,b= ,c= .
14. 函数的图象特征与a、b、c的关系

函数的图象特征与a、b、c的关系
技法:对于的图象特征与a、b、c的关系为:①抛物线开口由a定,上正下负;②对称轴位置a、b定,左同右异,b为0时是y轴; ③与y轴的交点由c 定,上正下负,c为0时过原点。
已知抛物线的图象如图所示,则a、b、c的符号为( )
A. B.
C. D.
已知抛物线的图象如图所示,则下列结论正确的是( )
A. B.
C. D.
抛物线中,b=4a,它的图象如图,有以下结论:①;② ③ ④ ⑤
⑥;其中正确的为( )
A.①② B.①④ C.①②⑥ D.①③⑤
当是一次函数与二次函数在同一坐标系内的图象可能是( )

已知二次函数y=ax2+bx+c,如果a>b>c,且a+b+c=0,则它的图象可能是图所示的( )

如图所示,当b<0时,函数y=ax+b与y=ax2+bx+c在同一坐标系内的图象可能是( )


已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)在平面直角坐标系中的位置如图所示,则有( )
A.a>0,b>0 B.a>0,c>0 C.b>0,c>0 D.a、b、c都小于0
二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,那么abc,b2-4ac,2a+b,a+b+c 这四个代数式中,值为正数的有( )
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
在同一坐标系中,函数图象可能是图所示的( )
二次函数y=ax2+bx+c, 图象如图所示,则反比例函数的图象的两个分支分别在第 象限。
反比例函数的图象在一、三象限,则二次函数的图象大致为图中的( )
反比例函数中,当时,随的增大而增大,则二次函数的图象大致为图中的( )

已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,则下列结论:①a,b同号; ②当x=1和x=3时,函数值相同; ③4a+b=0;④当y=-2时,x的值只能取0; 其中正确的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
已知二次函数y=ax2+bx+c经过一、三、四象限(不经过原点和第二象限)则直线不经过( )
A.第一象限 B.第二象限 C第三象限. D.第四象限
15.函数解析式的求法
一、已知抛物线上任意三点时,通常设解析式为一般式,然后解三元方程组求解;
已知二次函数的图象经过A(0,3)、B(1,3)、C(-1,1)三点,求该二次函数的解析式。
已知抛物线过A(1,0)和B(4,0)两点,交y轴于C点且BC=5,求该二次函数的解析式。
二、已知抛物线的顶点坐标时和抛物线上另一点时,通常设解析式为顶点式求解。
已知二次函数的图象的顶点坐标为(1,-6),且经过点(2,-8),求该二次函数的解析式。
已知二次函数的图象的顶点坐标为(1,-3),且经过点P(2,0)点,该二次函数的解析式为 。
三、(选学)已知抛物线与轴的交点的坐标时,通常设解析式为交点式。
二次函数的图象经过A(-1,0),B(3,0),函数有最小值-8,求该二次函数的解析式。
B
已知x=1时,函数有最大值5,且图形经过点(0,-3),则该二次函数的解析式 。
抛物线与x 轴交于(2,0)、(-3,0),则该二次函数的解析式 。
若抛物线的顶点坐标为(1,3),且与的开口大小相同,方向相反,则该二次函数的解析式 。
抛物线与x 轴交于(-1,0)、(3,0),则b= ,c= .
若抛物线与x 轴交于(2,0)、(3,0),与y轴交于(0,-4),则该二次函数的解析式 。
C
已知二次函数的图象与x 轴交于(2,0)、(4,0),顶点到x 轴的距离为3,求函数的解析式。

16.二次函数与x轴、y轴的交点(二次函数与一元二次方程的关系)
技法一:实质就是y为0,变为一元二次方程。由的符号确定:当>0时,抛物线与x轴有两个交点;当=0时,抛物线与x轴有一个交点;当<0时,抛物线与x轴没有交点。
技法二:与y轴的交点也叫在y轴上的截距(可以为负);实质就是x为0时的函数值。对于一般式与y轴的交点坐标为(0,c)。
如果二次函数图象与x轴没有交点,其中c为整数,则c= (写一个即可)
二次函数图象与x轴交点之间的距离为 。
抛物线y=-3x2+2x-1的图象与x轴交点的个数是( )
A.没有交点 B.只有一个交点 C.有两个交点 D.有三个交点
如图所示,二次函数y=x2-4x+3的图象交x轴于A、B两点, 交y 轴于点C, 则△ABC的面积为( )A.6 B.4 C.3 D.1
已知抛物线y=5x2+(m-1)x+m与x轴的两个交点在y轴同侧,它们的距离平方等于,则m的值为( )A.-2 B.12 C.24 D.48
已知抛物线的对称轴是x=-1,它与x轴交点间的距离等于4,它在y轴上的截距是-6,则它的关系式是_____________.
二次函数y=ax2+bx+c的值永远为负值的条件是( )
A.a>0,b2-4ac<0 B.a<0,b2-4ac>0 C.a>0,b2-4ac>0 D.a<0,b2-4ac<0
若二次函数的图象全在x轴的下方,则的取值范围为 。
若二次函数y=(m+5)x2+2(m+1)x+m的图象全部在x轴的上方,则m 的取值范围是_
已知抛物线,(1)求证:该抛物线与x轴一定有两个交点;(2)若该抛物线与x轴的两个交点为A、B,且它的顶点为P,求△ABP的面积。

已知二次函数y=x2-2(m-1)x+m2-2m-3,其中m为实数.
(1)求证:不论m取何实数,这个二次函数的图象与x轴必有两个交点;
(2)设这个二次函数的图象与x轴交于点A(x1,0),B(x2,0),且x1、x2的倒数和为,求这个二次函数的关系式.
17.二次函数应用
(一)经济策略性
某商店购进一批单价为16元的日用品,销售一段时间后,为了获得更多的利润,商店决定提高销售价格。经检验发现,若按每件20元的价格销售时,每月能卖360件若按每件25元的价格销售时,每月能卖210件。假定每月销售件数y(件)是价格X的一次函数.
(1)试求Y与X的之间的关系式.
(2)在商品不积压,且不考虑其他因素的条件下,问销售价格定为多少时,才能使每月获得最大利润,每月的最大利润是多少?(总利润=总收入-总成本)

有一种螃蟹,从海上捕获后不放养最多只能活两天,如果放养在塘内,可以延长存活时间,但每天也有一定数量的蟹死去,假设放养期内蟹的个体重量基本保持不变,现有一经销商,按市场价收购了这种活蟹1000千克放养在塘内,此时市场价为每千克30元,据测算,以后每千克活蟹的市场价每天可上升1元,但是放养一天需各种费用支出400元,且平均每天还有10千克蟹死去,假定死蟹均于当天全部售出,售价都是每千克20元。
(1)设X天后每千克活蟹的市场价为P元,写出P关于X的函数关系式。
(2)如果放养X天后将活蟹一次性出售,并记1000千克蟹的销售额为Q元,写出Q关于X的函数关系式。
(2)该经销商将这批蟹放养多少天后出售,可获最大利润(利润=销售总额—收购成本—费用),最大利润是多少?

某商场批单价为25元的旅游鞋。为确定 一个最佳的销售价格,在试销期采用多种价格进性销售,经试验发现:按每双30元的价格销售时,每天能卖出60双;按每双32元的价格销售时,每天能卖出52双,假定每天售出鞋的数量Y(双)是销售单位X的一次函数。
求Y与X之间的函数关系式;
在鞋不积压,且不考虑其它因素的情况下,求出每天的销售利润W(元)与销售单价X之间的函数关系式;
画出(2)中求出的函数图象草图,观察图象,指出销售价格定为多少元时,每天获得的销售利润最多?是多少?
某公司生产的A种产品,它的成本是2元,售价是3元,年销售为100万件,为了获得更好的效益,公司准备拿出一定的资金做广告,根据经验,每年投入的广告费是x万元时,产品的年销售量将是原销售量的y倍,且y是x的二次函数,它们的关系如表所示:
(1)求y与x的函数的关系式;
(2)如果把利润看作是销售总额减去成本费和广告费,试写出年利润S(十万元)和x(十万元)的函数关系式?
(3)如果投入的年广告费为10万至30万元,问广告费在范围内,公司获得的年利润随广告费的增大而增大?

某公司推出了一种高效环保洗涤用品,年初上市后,公司经历了从亏损到盈利的过程,下面的二产供销函数图象(部分)刻画了该公司年初以来累积利润s(万元)与销售时间t(月)之间的关系(即前t个月的利润总和s 与t之间的关系)。
根据图象提供的信息,解答下列问题:
由已知图象上的三点坐标,求累积利润s(万元)与销售时间t(月)之间的关系式;
求截止到几个月末公司累积利润可达到30万元;
求第8个月公司所获利润是多少万元?

启明公司生产某种产品,每件产品成本是3元,售价是4元,年销售量是10万件。为了获得更好的效益,公司准备拿出一定的资金做广告,根据经验,每年投入的广告费是x(万元)时,产品的啊销售量将是原销售量的y倍,且,如果把利润看作是销售总额减去成本费和广告费:
项目
A
B
C
D
E
F

每股(万元)
5
2
6
4
6
8

收益(万元)
0.55
0.4
0.6
0.5
0.9
1

试写出年利润S(万元)与广告费x(万元)的函数关系式,并计算广告费是多少元时,公司获得的年利润最大,最大年利润是多少万元;
把(1)中的最大利润留出3万元作广告,其余的资金投资新项目,现有6个项目可供选择,各项目每股投资额和预计年收益如下表:
如果每个项目只能投一股,且要求所有投资项目的收益总额不得低于1.6万元,问有几种符合要求的投资方式?写出每种投资方式所选的项目。

18.压轴题
已知抛物线y=ax2+bx+c经过A(-1,0)、B(3,0)、C(0,3)三点,
求抛物线的解析式和顶点M的坐标,并在给定的直角坐标系中画出这条抛物线。
若点(x0,y0)在抛物线上,且0≤x0≤4,试写出y0的取值范围。
设平行于y轴的直线x=t交线段BM于点P(点P能与点M重合,不能与点B重合)交x轴于点Q,四边形AQPC的面积为S。
求S关于t的函数关系式以及自变量t的取值范围;
求S取得最大值进点P的坐标;
设四边形OBMC 的面积S/,判断是否存在点P,使得S=S/ ,若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由。
已知,是边上的中线,分别以所在直线为轴,轴建立直角坐标系(如图).
(1)在所在直线上找出一点,使四边形为平行四边形,画出这个平行四边形,并简要叙述其过程;
(2)求直线的函数关系式;
(3)直线上是否存在点,使为等腰三角形?若存在,求点的坐标;若不存在,说明理由.
如图,已知二次函数y=ax2+bx+c的象经过A(-1,0)、B(3

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