第五章相交线与平行线
复习
知识结构
相交线
两条
直线
相交
邻补角、对顶角
对顶角相等
垂线及其性质
点到直线的距离
两条
直线
被第
三条
直线
所截
同位角、内错角、同旁内角
平行线
平行公理
平移
判定
性质
1. 互为邻补角:两条直线相交所构成的四了角中,有公共顶点且
有一条公共边的两个角是邻补角。如图(1)
1
2
2. 对顶角: (1)两条直线相交所构成的四个角中，
(1)
有公共顶点但没有公共边的两个角是对顶角。
如图(2).
(2)
1
2
3
4
(2)一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，这两个角是对顶角。
3. 邻补角的性质: 同角的补角相等。
4. 对顶角性质:对顶角相等。
两个特征:(1) 具有公共顶点;
(2) 角的两边互为反向延长线。
n条直线相交于一点，
就有n(n-1)对对顶角。
※相交※
1.直线AB、CD相交与于O,图中有几对对顶角？邻补角?
当一个角确定了,另外三个角的大小确定了吗?
2.直线AB、CD、EF相交与于O,图中有几对对顶角？
∠AOC的对顶角是_______
∠COF的对顶角是________
∠AOC的邻补角是____ 。
∠EOD的邻补角是_______ 。
∠BOD
∠DOE
∠COB, ∠AOD
∠DOF, ∠COE
A
B
C
D
O
在解
决与角的计算有关
的问题时，经常用
到代数方法。
例2.已知直线AB、CD、EF相交于点O，
O
A
B
C
D
E
F
1.垂线的定义: 两条直线相交，所构成的四个角中，有一个角
是 时，就说这两条直线互相垂直。其中一条直线叫做另一
条直线的垂线。它们的交点叫垂足。
2. 垂线的性质: (1)过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
性质(2): 直线外一点与直线上各点连结的所有线段中，垂线
段最短。简称:垂线段最短。
3.点到直线的距离: 从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，
叫做点到直线的距离。
4.如遇到线段与线段，线段与射线，射线与射线，线段或射线与
直线垂直时，特指它们所在的直线互相垂直。
5.垂线是直线，垂线段特指一条线段是图形，点到直线距离是指
垂线段的长度，是指一个数量，是有单位的。
你能量出C到AB的距离,B到AC的距离,A到BC的距离吗?
A
D
C
B
E
F
拓 展 应 用
如图：要把水渠中的水引到水池C中，在渠岸的什么地方开沟，水沟的长度才能最短？请画出图来，并说明理由。
C
∟
理由:垂线段最短
┓
A
B
C
D
O
E
此题需要正确地
应用、对顶角、
邻补角、垂直的
概念和性质。
O
A
D
C
B
由垂直先找到 的
角，再根据角之间
的关系求解。
平行线的概念: 在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。
2. 两直线的位置关系: 在同一平面内，两直线的位置关系只有两
种:(1)相交; (2)平行。
3. 平行线的基本性质: (1) 平行公理(平行线的存在性和唯一性)
经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行。
(2) 推论(平行线的传递性) 如果两条直线都和第三条直线平行，
那么这两条直线也互相平行。
4.同位角、内错角、同旁内角的概念
同位角、内错角、同旁内角，指的是一条直线分别与两条直线
相交构成的八个角中，不共顶点的角之间的特殊位置关系。它
们与对顶角、邻补角一样，总是成对存在着的。
同位角的位置特征是: (1)在截线的同旁，(2)被截两直线的同方向。
内错角的位置特征是: (1)在截线的两旁，(2)在被截两直线之间。
同旁内角的位置特征是: (1)在截线的同旁，(2)在被截两直线之间。
判定两直线平行的方法有三种:
(1)定义法;在同一平面内不相交的两条直线是平行线。
(2)传递法;两条直线都和第三条直线平行,这两条直线也平行。
(3)三种角判定(3种方法): 同位角相等,两直线平行。
内错角相等,两直线平行。 同旁内角互补,两直线平行。
在这五种方法中，定义一般不常用。
读下列语句,并画出图形
点p是直线AB外的一点,直线CD经过点P,且与直线AB平行;
直线AB、CD是相交直线,点P是直线AB外的一点,直线EF经过点P与直线AB平行,与直线CD交于E.
．
P
A
B
C
D
C
D
A
B
P
．
E
F
∠1和∠2不是同位角，
练 一 练
如图中的∠1和∠2是同位角吗? 为什么?
∵∠1和∠2无一边共线。
∠1和∠2是同位角，
∵∠1和∠2有一边共线、同向
且不共顶点。
如图：直线a、b被直线 l 截的8个角中
同位角：
∠1与∠5 , ∠2与∠6 ,
∠3与∠7 , ∠4与∠8.
内错角：
∠3与∠5 , ∠4与∠6.
同旁内角：
∠4与∠5 , ∠3与∠6.
练一练
（1）∠1和 ∠9是由直线 、
被直线 所截成的 角 ；
（2）∠6和 ∠12是由直线 、
被直线 所截成的 角 ；
（3）∠4和 ∠6是由直线 、
被直线 所截成的 角 ；
（4）由直线AB、CD被直线EF 所截成的同位角有 ；
（5）∠7和 ∠12是 角 ；
AB
CD
EF
同位
AB
EF
CD
内错
AB
CD
EF
同旁内
∠1 和∠9、 ∠4和 ∠12、∠2和∠10、 ∠3 和∠11
同旁内
例1. ∠1与哪个角是内错角？
A
C
B
D
E
1
2
答：∠ EAC
答：∠ DAB
答：∠ BAC,∠BAE , ∠2
∠1与哪个角是同旁内角？
∠2与哪个角是内错角?
1、观察右图并填空：
(1) ∠1 与 是同位角; (2) ∠5 与 是同旁内角;
(3) ∠1 与 是内错角;
∠4
∠3
∠2
2、 指出图中的同位角、内错角、同旁内角
同位角:∠4与∠1
内错角:∠4与∠2
同旁内角:∠3与∠1
平行线的性质
平行线的判定
两直线平行
条件
结论
同位角相等
内错角相等
同旁内角互补
条件
同位角相等
内错角相等
同旁内角互补
结论
两直线平行
夹在两平行线间的垂线段的长度,叫做两平行线间的距离。
综合应用:
A
B
C
D
E
F
1
2
3
1、填空：
(1)、∵　∠A=____, (已知）
AC∥ED ,(_____________________)
(2)、 ∵AB ∥______, (已知）
∠2= ∠4，(______________________)
4
5
(3)、 ___ ∥___, (已知）
∠B= ∠3. (___________ ___________)
试一试，你准行！
模仿上题自己编题。（考查平行线的性质或判定）
∠4
同位角相等，两直线平行。
DF
两直线平行, 内错角相等。
AB
DF
两直线平行, 同位角相等.
判定
性质
性质
∴
∴
∴
∵
A
B
C
D
E
F
1
2
3
4
5
6
如图： 填空，并注明理由。
（1）、∵　∠1= ∠2 （已知）
——∥—— （ ）
∵　∠3= ∠4 （已知）
——∥—— （ ）
∵　∠5= ∠6 （已知）
——∥—— （ ）
∵ ∠5+ ∠AFE=180 （已知）
——∥—— （ ）
∵ AB ∥FC, ED ∥FC （已知）
——∥——（ ）
∴
∴
∴
∴
∴
AB
ED
内错角相等。两直线平行，
AF
BE
同位角相等，两直线平行。
BC
EF
内错角相等，两直线平行。
AF
BE
同旁内角互补，两直线平行。
AB
ED
平行于同直线的两条直线互相平行。
平行线的判定应用练习：
例2. 已知∠DAC= ∠ACB, ∠D+∠DFE=1800,求证:EF//BC
证明: ∵ ∠DAC= ∠ACB (已知)
∴ AD// BC
(内错角相等,两直线平行)
∵ ∠D+∠DFE=1800(已知)
∴ AD// EF
(同旁内角互补,两直线平行)
∴ EF// BC
(平行于同一条直线的两条直线互相平行)
A
B
C
D
E
F
例1. 如图 已知：∠1+∠2=180°，求证：AB∥CD。
证明：由：∠1+∠2=180°(已知)，
∠1=∠3（对顶角相等）.
∠2=∠4（对顶角相等) 根据：等量代换得：∠3+∠4=180°.
根据：同旁内角互补，两直线平行
得：AB//CD .
例2. 如图，已知：AC∥DE，∠1=∠2，试证明AB∥CD。
证明： ∵由AC∥DE （已知）
∴ ∠ACD= ∠2  (两直线平行，内错角相等)
∵ ∠1=∠2（已知）
∴ ∠1=∠ACD(等量代换)
∴AB ∥ CD
(内错角相等，两直线平行)
例3.已知 EF⊥AB，CD⊥AB，∠EFB=∠GDC，求证：∠AGD=∠ACB。
证明： ∵ EF⊥AB，CD⊥AB （已知）
∴ EF∥CD
(垂直于同一条直线的两条直线互相平行)
∴ ∠EFB＝ ∠DCB
（两直线平行，同位角相等）
∵ ∠EFB=∠GDC （已知）
∴ ∠DCB=∠GDC （等量代换）
∴ DG∥BC （内错角相等,两直线平行）
∴ ∠AGD=∠ACB
（两直线平行，同位角相等）
例4. 两块平面镜的夹角应为多少度?
如图，两平面镜а、β的夹角为θ，入射光线AO平行于β入
射到а上，经两次反射后的反射光线 平行于а，则角
θ=_____度
а
β
θ
O
B
A
1
2
3
4
5
1. 命题的概念: 判断一件事情的句子，叫做命题。
命题必须是一个完整的句子; 这个句子必须对某件事情做出肯
定或者否定的判断。两者缺一不可。
2. 命题的组成: 每个命是由题设、结论两部分组成。
题设是已知事项;结论是由已知事项推出的事项。命题常写成
“如果……，那么……”的形式。或 “若……，则……”等形式。
真命题和假命题: 命题是一个判断，这个判断可能是正确的，
也可以是错误的。由此可以把命题分成真命题和假命题。
真命题就是: 如果题设成立，那么结论一定成立的命题。
假命题就是: 如果题设成立时，不能保证结论总是成立的命题。
例1. 判断下列语句，是不是命题，如果是命题，是真命题，
还是假命题?
画线段AB=2cm
直角都相等;
两条直线相交，有几个交点?
如果两个角不相等，那么这两个角不是对顶角。
相等的角都是直角;
分析: 因为(1)、(3)不是对某一件事作出判断的句子，所以(1)、
(3)不是命题。
解. (1)、(3)不是命题; (2)、(4)、(5)是命题; (2)、(4)都是真
命，(5)是假命题。
练习
1、下列命题是真命题的有（ ）
A、相等的角是对顶角
B、不是对顶角的角不相等
C、对顶角必相等
D、有公共顶点的角是对顶角
E 、邻补角的和一定是180度
F、互补的两个角一定是邻补角
G、两条直线相交,只要其中一个角的大小确定了,那么另外三个角的大小就确定了
C、E、G
例2. 如图给出下列论断: (1)AB//CD (2)AD//BC (3)∠A=∠C
以上，其中两个作为题设，另一个作为结论，用 “如果……，
那么……”的形式，写出一个你认为正确的命题。
A
B
C
D
分析: 不妨选择(1)与(2)作条件，由平
行性质 “两直线平行，同旁内角互补”
可得∠A=∠C，故满足要求。由(1)与
(3)也能得出(2)成立，由(2)与(3)也
能得出(1)成立。
解: 如果在四边形ABCD中，AB//DC、AD//BC，那么∠A=∠C。
1. 平移变换的定义: 把一个图形整体沿某一方向移动，会得到
一个新图形，这样的图形运动，叫做平移变换，简称平移。
平移的特征: (1)平移不改变图形的形状和大小。
(2)新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到
的，这两个点是对应点，对应点连结而成的线段平行且相等。
决定平移的因素是平移的方向和距离。
经过平移，图形上的每一点都沿同一方向移动相同的距离。
经过平移，对应角相等;对应线段平行且相等;对应点所连的线
段平行且相等。
例1. 在以下生活现象中,不是平移现象的是
站在运动着的电梯上的人
左右推动的推拉窗扇
小李荡秋千运动
的躺在火车上睡觉的旅客
分析: A、B、D属平移，在一个位置取两点连成一条线
，在另一个位置再观察这条线段，发现是平行的，而C
同样取两点连成一条线段，运动到另一位置时，可能已
不平行
解: 选C
2.下列生活中的物体的运动情况可以看成
平移的是( )
（1）摆动的钟摆
（2）在笔直的公路上行驶的汽车
（3）随风摆动的旗帜
（4）摇动的大绳
（5）汽车玻璃上雨刷的运动
（6）从楼梯自由落下的球（球不旋转）
例2. 如图所示，△ABC平移到△A′B′C′的位置，则点A的
对应点是______，点B的对应点是______，点C的对应点是____
。线段AB的对应线段是___________，线段BC的对应线段是
_________，线段AC的对应线段是___________。∠BAC的对应
角是__________，∠ABC的对应角是____________，∠ACB的
对应角是___________。△ABC的平移方向是________________
___________________________，平移距离是_______________
_____________________________。
A
B
C
A′
B′
C′
A′
B′
C′
沿着射线AA′
(或BB′，或CC′)的方向
线段AA′的长
(或线段BB′的长或线段CC′的长
操作与解释：
数学课上有这样一道题：“如图，以点B为顶点,射线BC为一边，利用尺规作∠EBC，使得∠EBC=∠A，EB与AD一定平行吗？”。小王说“一定平行”；而小李说“不一定平行”。你更赞同谁的观点？
已知：AB∥CD。试探索
①∠A、∠C与∠AEC之间的关系；
②∠B、∠D与∠BFD之间的关系。
几 何

之 旅
1
2
3
4
再 见