实数（1）
腰长为1的等腰直角三角形的斜边长是__________, 说说你对这个数的认识.
讨论:
操作
试在数轴上画出表示 的点.
1
1
因为 哪些分数的平方与2接近呢?
讨论
(1) 是一个整数吗?
(2) 是一个分数吗?
因为
所以
结论
数学思想:
无限逼近的数学思想
1.无理数的概念
无限不循环小数称为无理数.
两个条件:①无限小数;②不循环小数
缺一不可
2.实数的概念:
有理数和无理数统称为实数.
即实数可分为有理数和无理数.
到目前为止,同学们知道的数有哪些类?你能给它们分类吗?
讨论
实数
有理数
无理数
整数
零
分数
正无理数
负无理数
正整数
负整数
正分数
负分数
有限小数或无限循环小数
无限不循环小数
实数的分类：
自然数
实数
正实数
负实数
正有理数
零
负有理数
正无理数
负无理数
还可如下分类
(4)负实数集合{ …}
(3)正实数集合{ …}
例1
把下列各数填人相应的集合内:
练习1:判断：
（1）无理数都是无限小数 （ ）
（2）无限小数都是无理数 （ ）
（3）两个无理数的和一定是无理数（ 　 ）
（ ）
（ ）
(6)整数和分数统称为有理数 ( )
√
×
×
×
×
√
例3.(1)在数轴上找出表示 的点.
(2)在数轴上找出表示 的点.
讨论
有理数都可以用数轴上的点来表示， 反过 来，数轴上的点是否都表示有理数？
每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示，；反之，数轴上的每一个点都表示一个实数，实数与数轴上的点是一一对应的。
1.和数轴上的点一一对应的数集是 ( )
A. 有理数集 B. 无理数集 C. 整数集 D. 实数集
2.在实数

中整数有_______________________________;

有理数有______________________________;
无理数有_____________________________.
D
3.下列语句中正确的是 ( ) A.带根号的数都是无理数 B.不带根号的数都是有理数 C.无理数一定是无限不循环小数 D.无限小数一定是无理数
C
这节课，我的收获是---
无理数的常见形式:
①π是无理数;　　（与π 有关的数）
② （带根号且开方开不尽的方根;
③0.1010010 001…　　（构造的无限不循环小数）
通过“逼近”的数学思想,体会到无理数的存在
实数与数轴上的点是一一对应的
初次体会到“数形结合”的数学思想
实数
有理数
无理数
整数
零
分数
正无理数
负无理数
正整数
负整数
正分数
负分数
有限小数或无限循环小数
无限不循环小数
实数的分类：
自然数
实数
正实数
负实数
正有理数
零
负有理数
正无理数
负无理数
还可如下分类
会将一个数进行分类是重点
能将一个无理数在数轴上表示出来是难点
2500多年前，古希腊有一位伟大的数学家——毕达哥拉斯。他最伟大的贡献就是发现了“勾股定理”。所以直到现在，西方人仍然称勾股定理为“毕达哥拉斯定理”。据传说，当勾股定理被发现之后，毕达哥拉斯学派的成员们曾经杀了99头牛来大摆筵席，以示庆贺。
其后不久，他的弟子希勃索斯(Hippasus)通过勾股定理，发现了一个惊人的事实，边长为1的正方形的对角线长度并不是有理数。这下可惹祸了，因为毕达哥拉斯一向认为“万物兼数”，而他所说的“数”，仅仅是整数与整数之比，也就是现代意义上的“有理数”（整数和分数的统称）。也就是说，他认为除了有理数以外，不可能存在另类的数。
无理数的由来
数学史话
当希勃索斯提出他的发现之后，毕达哥拉斯大吃一惊，原来世界上真的有“另类数”存在。 15世纪意大利著名画家达.芬奇称之为“无理的数”，17世纪德国天文学家开普勒称之为“不可名状”的数。这一发现使该学派领导人惶恐、恼怒，认为这将动摇他们在学术界的统治地位。希勃索斯因此被囚禁，受到百般折磨，最后竞遭到沉舟身亡的惩处。
希勃索斯终于为宣传科学而献出了宝贵的生命，这在科学史上留下了悲壮的一页。正因为希勃索斯发现了无理数，数的概念才得以扩充。从此，数学的研究范围扩展到了实数领域。