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    人教版初中数学八年级上册 - 12.2 三角形全等的判定

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  • 时间:  2015-09

八上数学12.2全等三角形的判定

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八上数学12.2全等三角形的判定八上数学12.2全等三角形的判定八上数学12.2全等三角形的判定八上数学12.2全等三角形的判定
12.1 全等三角形的判定
第十二章 全等三角形
人民教育出版社义务教育教科书八年级数学(上册)
华岩教育课程辅导中心(济源)
常年招收初中各年级一对一、一对多、小班学生
招生学科:英语、数学、物理、化学、地理、生物

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1、夏季空调、冬季市政供暖全天候开放
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纳任何费用)
2、免费提供相关学习资料
3、免费咨询学习、心理等各方面信息
4、免费不定期开设家长课程,讲授中学生心理和家庭教育相关知识

上课地点:河南省济源市世纪广场南侧华新东区(华新花园)
详情咨询:18603892560 联 系 人:梁老师
全等三角形的性质是?
全等三角形的对应边相等,
对应角相等
反过来成立吗?
本节就来讨论这个问题
先任意画出一个△ABC,再画一个
△A’B’C’,使△ABC与△A’B’C’满足
上六个条件中的一个或两个。你画出
的△A’B’C’与△ABC一定全等吗?
两个直角三角形,有一个角相等,
它们全等吗?


1
有一条边相等的两个三
角形全等吗?
一边、一角相等的两个三
角形全等吗?
通过画图我们可以发现,满足上述六个
条件中的一个或两个,△ABC与△A’B’C’
不一定全等。满足三个条件呢?能保证
他们全等吗?我们来分情况讨论。
先任意画一个△ABC再画一个△A’B’C’,
使A’B’=AB,B’C’=BC,C’A’=CA。把
画好的△A’B’C’剪下,放到△ABC上,
它们全等吗?
探究2
画一个△A’B’C’,
使A’B’=AB,
A’C’=AC,
B’C’=BC;
1、画线段B’C’=BC;
2、分别以B’、C’为圆心,线段AB,
AC为半径画弧,两弧交于点A’;
3、连接线段A’B’,A’C’;
C
A
A’
B
C’
B’
探究2反应了什么规律?
三边对应相等的 两个三角形全等
(可简写成SSS)
你能写出它的符号语言吗?
在△ABC与△A’B’C’中,
∵AB=A’B’,BC=B’C’,AC=A’C’
∴ △ABC≌ △A’B’C’
C
A
A’
B
C’
B’
符号语言
我们曾经作过这样的实验,将三根木条钉成
一个三角形木架,这个三角形木架的形状、
大小就不变了。就是说三角形的形状大小
也就确定了,这里用到的就是上面的结论。
用上面的结论可以判断两个三角形全等,
判断两个三角形全等的过程,叫做证明
三角形全等。
例1 如图, △ABC是一个钢架,
AB=AC,AD是连接点A与BC中
点D的支架。求证△ABC≌ △ACD
C
A
B
D
分析:要证△ABC≌ △ACD,可以看
这两个三角形三边是否_______
它们相等吗?
相等
证明:∵D是BC的中点,
∴BD=CD

AB=AC,
在△ABD与△ACD中
BD=CD,
AD=AD,
∴ △ABD≌ △ACD(SSS)
(公共边)
(已证)
(已知)
你学会了吗?
从例1可以看出,证明是由题设
(已知)出发,经过一步步推理,
最后推出结论(求证)正确的过程。
已知AC=FE,BC=DE,点A、D、B、F在一
条直线上,AD=FB。要用“边边边 ”证明
△ABD≌ △FDE,除了已知中的AC=FE,
BC=DE以还应该有什么条件?怎样才能
得到这个条件?
A
B
C
D
E
F
工人师傅常用角尺平分一个任意角。
做法如下:如图,∠AOB是一个任意
角,在边OA、OB上分别取OM=ON,
移动角尺,使角尺两边相同的刻度分
别与M,N重合,过角尺顶点C的射线
OC便是∠AOB的平分线。为什么?


先任意画一个△ABC,再画一个
△A’B’C’,使A’B’=AB,∠A’= ∠A,
AC=A’C’,(即使有两边和它们的夹角
对应相等),把画好的△A’B’C’ 剪下,
放到△ABC上,它们全等吗?
探究3
C
A
A’
B
C’
B’
画一个△A’B’C’,
使A’B’=AB,
A’C’=AC,
∠A’= ∠A ;
1、画∠DA’E= ∠A ;
2、在射线A’D上截取A’B’=AB,在
射线A’E上截取A’C’=AC;
3、连接线段B’C’;
探究3反应了什么规律?
两边和它们的夹角对应相等的 两
个三角形全等(可简写成SAS)
你能写出它的符号语言吗?
C
A
A’
B
C’
B’
符号语言
在△ABC与△A’B’C’中,
∵AB=A’B’,AC=A’C’,∠A’= ∠A
∴ △ABC≌ △A’B’C’
例2 如图有一池塘,要测池塘两端
A、B的距离,可先在平地上取一个
可以直接到达A和B的点C,连接AC
并延长到D,使CA=CD;连接BC并延长到E,使CE=CB,连接DE,量
出DE的长就是A、B的距离,为什么?
分析:如果能证明△ABC≌ △DEC,
就可以得到AB____DE
=
在△ABC与△DEC中,
CA=CD,CB=CE,
∠1= ∠2
△ABC≌ △DEC还差一个条件是:
_________________
证明:

CA=CD,
在△ABC与△DEF 中
∠1= ∠2 ,
CB=CE,
∴ △ABC≌ △DEF(SAS)
(已知)
(对顶角相等)
(已知)
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你学到了什么?
从例2可以看出,因为全等三角形
的对应边相等,对应角相等,所以
证明分别属于两个三角形的线段
相等或者角相等的问题,常通过
证明这两个三角形全等来解决。
探究4
我们知道,两边和它们的夹角对应
相等的两个三角形全等。由“两边及
其中一边的对角对应相等”的条件能
判定两个三角形全等吗?为什么?
可以通过画图来回答,还可以通过实验来回答
把一长一短的两根细木棍的一端用螺钉铰合
在一起,使长木棍的另一端与射线BC的端
点B重合,适当调整好长木棍与射线BC所成
的角后,固定住长木棍,把短木棍摆起来
动动手


1、如图,两车从路段AB的一端A出
发,分别向东,向西行进相同的距
离,到达C、D两地,此时C、D到B
的距离相等吗?为什么?
A
D
C
B
2、如图,点E、F在BC上,BE=CF,
AB=DC,∠B=∠C,求证:∠A=∠D
A
D
C
B
F
E
探究5
先任意画一个△ABC,再画一个
△A’B’C’,使A’B’=AB,∠A’= ∠A,
∠B’= ∠B ,(即两角和它们的夹边
对应相等),把画好的△A’B’C’ 剪下,
放到△ABC上,它们全等吗?
画一个△A’B’C’,
使A’B’=AB,
∠A’= ∠A ,
∠B’= ∠B ;
1、画A’B’=AB ;
2、在A’B’同旁画∠DA’B’=∠A ,
∠EB’A’= ∠B ,A’D,B’E交于点C’;
A
B
C
A’
B’
C’
E’
D’
两角和它们的夹边对应相等的 两
个三角形全等(可简写成ASA)
你能写出它的符号语言吗?
C
A
A’
B
C’
B’
在△ABC与△A’B’C’中,
∵ ∠A’= ∠A ,AB=A’B’, ∠B’= ∠B ,
∴ △ABC≌ △A’B’C’
探究6
在△ABC与△DEF中,∠A= ∠D,∠B= ∠E ,
BC=EF, △ABC与△DEF全等吗?能利用角
边角的条件证明你的结论吗?
C
A
D
B
F
E
两个角和其中一个角的对边对应
相等的 两个三角形全等
(可简写成AAS)
C
A
A’
B
C’
B’
在△ABC与△A’B’C’中,
∵ ∠A’= ∠A ,∠B’= ∠B , BC=B’C’,
∴ △ABC≌ △A’B’C’
例3 如图,D在AB上,E在AC上,
AB=AC,∠B= ∠C,求证AD=AE
A
B
C
D
E
A
B
C
D
E
分析:如果能证明△ABE_____△ACD,
就可以得到AB____DE

=

AB=AC,
在△ABE与△ACD 中
∠B= ∠C ,
∠A= ∠A,
∴ △ABE≌ △ACD(ASA)
(已知)
( )
(已知)
证明:
公共角
∴AD=AE( )
全等三角形对应边相等
探究7
三角对应相等 的两个三角形全等吗?
现在我们学了哪些判定全等的方法?
判定两个三角形全等的方法
1、SSS:三边对应相等
2、SAS 两边及夹角对应相等
3、ASA两角夹边对应相等
4、AAS 两角及一角的对边对应相等
1、如图,要测量河两岸相对两点A,B两
点的距离,可以在AB的垂线BF上取两点
C,D,使BC=CD,再定出BF的垂线
DE,使A,C,E在一条直线上,这时
测得DE的长就是AB的长,为什么?
A
B
C
D
E
F
2、 如图,AB⊥BC, AD⊥DC ,
∠1= ∠2,求证AB=AD
1
2
A
B
C
D
分析:如果能证明
△ABC_____△ACD,
就可以得到AB____AD

=
对于两个直角三角形,除了直角相等的
条件外,还要满足几个条件,这两个直角
三角形就全等了?
讨论
A
B
C
D
E
F
由三角形全等的条件判断,对于两个直角
三角形,满足一边一锐角对应相等,或两
直角边对应相等,这两个直角三角形
全等吗?如果满足斜边和一条直角边
对应相等,这两个直角三角形全等吗?
探究8
先任意画一个RT△ABC,使∠C=90°,再画一个RT△A’B’C’,使A’B’=AB,BC= B‘C’,把画好的△A’B’C’ 剪下,放到△ABC上,它们全等吗?
画一个RT△A’B’C’,
使B‘C’=BC,
A‘B’= AB;
1、画∠MC’N= 90°;
2、在射线C‘M上取B’C‘=BC
3、以B‘为圆心,AB为半径画弧,交射线C’N于点A‘
4、连接A‘B’
A
B
C
A’
B’
C’


斜边和一条直角边对应相等
的两个直角三角形全等
(可简写成斜边、直角边或HL)
你能写出它的符号语言吗?
在RT△ABC与RT△A’B’C’中,
∠C=∠C=90°
∵ AB=A’B’, BC= B’C‘,
∴RT△ABC≌RT△A’B’C’
符号语言
例4  如图,AC⊥BC, BD⊥AD ,
AC= BD,求证BC=AD
A
B
C


AC=BD,
在RT△ABC与RT△BAD 中
AB= BA ,
∴ RT△ABC ≌ RT△BAD (HL)
(已知)
(公共边)
证明:∵ AC⊥BC,BD⊥AD
 ∴ ∠C=∠D=90°
∴BC=AD ( )
全等三角形对应边相等
1、如图,C是路段AB的中点,两人
从C同时出发,以相同的速度分别沿两
条直线行走,并同时到达D,E两地,
DA⊥AB,EB⊥AB,D,E与路
段AB的距离相等吗?为什么?





2  如图,AB=CD, AE⊥BC,
DF⊥BC,CE= BF,求证AE=DF





F
这节课你学到了什么?
1、怎样判定三角形全等?
2、怎样判定直角三角形全等?
3、证明线段、角相等常用什么方法
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2、免费提供相关学习资料
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