人教版八年级数学 上册
12.3 角的平分线的性质 （第1课时）

课件说明
学习目标：
　1．会用尺规作一个角的平分线，知道作法的合理性．
　2．探索并证明角的平分线的性质．
　3．能用角的平分线的性质解决简单问题．
学习重点：
探索并证明角的平分线的性质．
问题1　在练习本上画一个角，怎样得到这个角的
平分线？
追问1　你能评价这些方法吗？在生产生活中，这
些方法是否可行呢？
感悟实践经验，用尺规作角的平分线
用量角器度量，也可用折纸的方法．
如果前面活动中的纸片换成木板、钢板等没法折的角，又该怎么办呢？
感悟实践经验，用尺规作角的平分线
追问2　下图是一个平分角的仪器，其中AB =AD，
BC =DC，将点A 放在角的顶点，AB 和AD 沿着角的两
边放下，沿AC 画一条射线AE，AE 就是∠DAB 的平分
线．你能说明它的道理吗？
A
B
D
C
E
证明：
在△ACD和△ACB中
AD=AB（已知）
DC=BC（已知）
CA=CA（公共边）
∴ △ACD≌ △ACB（SSS）
∴∠CAD=∠CAB（全等三角形的 对应边相等）
∴AC平分∠DAB（角平分线的定义）
感悟实践经验，用尺规作角的平分线
追问3　从利用平分角的仪器画角的平分线中，你
受到哪些启发？如何利用直尺和圆规作一个角的平分线？
根据角平分仪的制作原理怎样作一个角的平分线？（不用角平分仪或量角器）
O
N
O
M
C
E
感悟实践经验，用尺规作角的平分线
感悟实践经验，用尺规作角的平分线
利用尺规作角的平分线的具体方法:
A
B
O
M
N
C
1、以O为圆心，适当长为半径作弧，交OA于M，交OB于N。
3、作射线OC，射线OC即为所求。
感悟实践经验，用尺规作角的平分线
追问4　你能说明为什么射线OC 是∠AOB 的平分线吗？
证明:连结MC,NC由作法知:
已知： ∠ＡＯＢ(如图)
求作： ∠ＡＯＢ的角平分线OC.
1、以O为圆心，适当长为半径作弧，交OA于M，交OB于N。
2、分别以M、N为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧在∠AOB内部交于点C。
3、作射线OC，射线OC即为所求。
作法：
证明:连结MC,NC由作法知:
1〉平分平角∠AOB

2〉通过上面的步骤，得到射线OC以后，把它反向延长得到直线CD，直线CD与直线AB是什么关系？

3〉结论：作平角的平分线即可平分平角，由此也得到过直线上一点作这条直线的垂线的方法。
实践应用(1)
经历实验过程，发现并证明角的平分线的性质
如图，任意作一个角∠AOB，作出∠A的平分线
OC，在OC 上任取一点P，过点
P 画出OA，OB 的垂线，分别记
垂足为D，E，测量 PD，PE 并
作比较，你得到什么结论？
问题2　利用尺规我们可以作一个角的平分线，那
么角的平分线有什么性质呢？
经历实验过程，发现并证明角的平分线的性质
问题2　利用尺规我们可以作一个角的平分线，那
么角的平分线有什么性质呢？
在OC 上再取几个点试一试．
通过以上测量，你发现了角
的平分线的什么性质？
猜想:角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
已知：∠AOC = ∠BOC，点
P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，
垂足分别为D，E．
求证：PD =PE．
经历实验过程，发现并证明角的平分线的性质
追问1　通过动手实验、观察比较，我们发现“角
的平分线上的点到角的两边的距离相等”，你能通过严
格的逻辑推理证明这个结论吗？
证明：∵OC平分∠ AOB （已知）
∴ ∠1= ∠2（角平分线的定义）
∵PD ⊥ OA，PE ⊥ OB（已知）
∴ ∠PDO= ∠PEO（垂直的定义）
在△PDO和△PEO中
∠PDO= ∠PEO（已证）
∠1= ∠2 （已证）
OP=OP （公共边）
∴ △PDO ≌ △PEO（AAS）
∴PD=PE（全等三角形的对应边相等）
已知：如图，OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E
求证: PD=PE
探究角平分线的性质
角平分线上的点到角两边的距离相等。
(4)得到角平分线的性质：
利用此性质怎样书写推理过程?(几何符号语言）
角平分线的性质
定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等
用符号语言表示为：
∵∠1= ∠2,PD ⊥OA ，PE ⊥OB
∴PD=PE.
题设：一个点在一个角的平分线上
结论：它到角的两边的距离相等
追问2　由角的平分线的性质的证明过程，你能概
括出证明几何命题的一般步骤吗？
（1）明确命题中的已知和求证；
（2）根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和
求证；
（3）经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证
明过程．
经历实验过程，发现并证明角的平分线的性质
追问3　角的平分线的性质的作用是什么？
经历实验过程，发现并证明角的平分线的性质
主要是用于判断和证明两条线段相等，与以前的方
法相比，运用此性质不需要先证两个三角形全等．
解决简单问题，巩固角的平分线的性质
练习1　下列结论一定成立的是 ．
（1）如图，OC 平分∠AOB，点P 在OC 上，D，E 分
别为OA，OB 上的点，则PD =PE．
练习1　下列结论一定成立的是 ．
（2）如图，点P 在OC 上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足
分别为D，E，则PD =PE．
解决简单问题，巩固角的平分线的性质
练习1　下列结论一定成立的是 ．
（3）如图，OC 平分∠AOB，点P 在OC 上，PD⊥OA，
垂足为D．若PD =3，则点P 到OB 的距离为3．
（3）
解决简单问题，巩固角的平分线的性质
如图，E是∠AOB的角平分线OC上的一点， EM⊥OB垂足为M，且EM=3cm，求点E 到OA的距离
分析：点E 到OA的距离是过点E作OA的垂线段，再根据角的平分线的性质，可知点E到OA的距离。
解：过E作EN⊥OA垂足为N
∵ E是∠AOB的角平分线上的一点， EM⊥OB， EN⊥OA，
∴EM=EN
又∵ EM=3cm，
∴EN=3cm
即点E 到OA的距离为3cm。
E
M
已知:如图,在△ABC中,AD是它的角平分线,且BD=CD,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别是E,F.
求证:EB=FC.
◆证明： ∵AD平分∠CAB
DE⊥AB ，DF⊥AC(已知)
∴DE=DF (角平分线的性质)
在Ｒt△BED和Rt△CFD中,
　　 BD=CD （已证）
DE=DF （已知）
∴ Rt△ BED ≌Rt△CFD (HL)
∴ BE=FC （全等三角形对应边相等）
解决简单问题，巩固角的平分线的性质
如图：在△ABC中，∠C=90° AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，BD=DF； 求证：CF=EB
实践应用(2)
分析:要证CF=EB,首先我们想到的是要证它们所在的两个三角形全等,即Rt△CDF ≌ Rt△EDB.
现已有一个条件BD=DF(斜边相等),还需要我们找什么条件
DC=DE (因为角的平分线的性质)
再用HL证明.
试试自己写证明。你一定行！
证明:∵ AD平分∠CＡＢ, D是AD上一点（已知）
如图：在△ABC中，∠C=90° AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，BD=DF； 求证：CF=EB
∵DE⊥AB,DC⊥AC（已知）
在Rt△CDF和Rt△BDE 中
　BD=DF （已知）
　DC=DE（已证）
∴Rt △CDF≌Rt△FDB (HL)
∴CF＝EB（全等三角形对应边相等）
∴DC＝DＥ(角平分线的性质）
B
A
C
P
M
N
解决简单问题，巩固角的平分线的性质
例　如图，△ABC 的角平分线BM，CN 相交于点
P．求证：点P到三边AB，BC，CA 的距离相等．
证明：
过点P作PD，PE，PF分别垂直于AB，BC，
CA，垂足为D、E、F，
B
A
C
P
D
E
F
M
N
∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上，
PD⊥AB， PE⊥BC
∴PD=PE
同理 PE=PF
∴PD=PE=PF
即点P到三边AB，BC，CA的距离相等
1.如图，OC是∠AOB的平分线， ∵
∴PD=PE
PD⊥OA，PE⊥OB
2.如图,在△ABC中，AC⊥BC，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB，AB＝7㎝，AC＝3㎝，求BE= CM.
E
D
C
B
A
4
3.如图，在△ABC中，∠C＝900，AD平分∠BAC交BC于点D，若BC＝8,BD＝5，则点D到AB的距离为_____
A
C
D
B
E
3
4.如图，OC平分∠AOB， PM⊥OB于点M，PN⊥OA于点N， △POM的面积为6，OM=6，则PN=_______。
2
5.如图，△ABC中，∠C=90°，AC=CB，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E。
求证：△DBE的周长等于AB。
A
B
C
D
E
6.在Rt△ABC中，BD平分∠ABC， DE⊥AB于E，则：
⑴图中相等的线段有 ;相等的角有： 。
⑵哪条线段与DE相等？为什么？
⑶若AB＝10，BC＝8，AC＝6，
求BE，AE的长和△AED的周长。
BE=BC,DE=DC
∠ABD= ∠CBD
∠BED= ∠AED= ∠C
6
8
10
（1）本节课学习了哪些主要内容？
（2）本节课是通过什么方式探究角的平分线的性质的？
（3）角的平分线的性质为我们提供了证明什么的方法？
在应用这一性质时要注意哪些问题？
课堂小结
教科书习题12.3第4、5题．
布置作业