22.2二次函数与一元二次方程
1、一次函数y=kx+b与一元一次方程kx+b=0有什么关系?
2、你能否用类比的方法猜想二次函数y=ax2+bx+c与
一元二次方程ax2+bx+c=0的关系?
我们知道:代数式b2-4ac对于方程的根起着关键的作用.
一元二次方程根的情况与b²-4ac的关系
探究一：二次函数y=ax2+bx+c与一元二次方程ax2+bx+c=0有什么关系?
问题 如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成300角的方向击出时，球的飞行路线将是一条抛物线，如果不考虑空气的阻力，球的飞行h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有关系：h=20t-5t2，考虑以下问题：
（1）球的飞行高度能否达到15m？如果能，需要多少飞行时间？
（2）球的飞行高度能否达到20m？如果能，需要多少飞行时间？
（3）球的飞行高度能否达到20.5m？如果能，需要多少飞行时间？
解：（1）解方程
15=20t-5t²
t²-4t+3=0
t =1， t =3.
当球飞行1s和2s时，
它的高度为15m。
h
t
（2）解方程
20=20t-5t²
t²-4t+4=0
t = t =2.
当球飞行2s时，
它的高度为20m。
（4）解方程
0=20t-5t²
t²-4t=0
t =0， t =4.
当球飞行0s和4s时，
它的高度为0m，即0s飞出，4s时落回地面。
（3）解方程
20.5=20t-5t²
t²-4t+4.1=0
∵（-4）²-4*4.1＜0，
∴方程无实数根
（2、20）
例如,已知二次函数y=-X2+4x的值为3,求自变量x的值.
就是求方程3=-X2+4x的解,
例如,解方程X2-4x+3=0
就是已知二次函数y=X2-4x+3的值为0,求自变量x的值.
一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根为x1,x2 ,则抛物线 y=ax2+bx+c与x轴的交点坐标是(x1,0),(x2,0)
观察:下列二次函数的图
象与x轴有公共点吗?如
果有,公共点横坐标是多
少?当x取公共点的横坐
标时,函数的值是多少?
由此,你得出相应的一
元二次方程的解吗?
(1)y=x2+x-2
(2)y=x2-6x+9
(3)y=x2-x+1
二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的横坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系?
y=x²-6x+9
Y=x²+x-2
Y=x²-x+1
x
y
（1）设y=0得x2+x-2=0
x1=1，x2=-2
∴抛物线y=x2+x-2与x轴有两个公共点，公共点的横坐标分别是1和-2，当x取公共的的横坐标的值时，函数的值为0.
（2）设y=0得x2-6x+9=0
x1=x2=3
∴抛物线y=x2-6x+9与x轴有一个公共点，公共点的横坐标是3当x取公共点的横坐标的值时，函数的值为0.
（3）设y=0得x2-x+1=0
∵b2-4ac=（-1）2-4*1*1=-3＜0
∴方程x2-x+1=0没有实数根
∴抛物线y=x2-x+1与x轴没有公共点
Y=x²+x-2
Y=x²-x+1
y=x²-6x+9
x
y
（-2、0）
（1、0）
△＞0
△=0
△＜0
o
x
y
△ = b2 – 4ac
与x轴有两个不
同的交点
（x1，0）
（x2，0）
有两个不同的解x=x1，x=x2
b2-4ac＞0
与x轴有唯一个
交点
有两个相等的解
x1=x2=
b2-4ac=0
与x轴没有
交点
没有实数根
b2-4ac＜0
用图像法求一元二次方程的近似解
例
方法: (1)先作出图象;
(2)写出交点的坐标;
（-1.3、0）、（2.3、0）
(3)得出方程的解.
x =-1.3，x =2.3。
利用二次函数的图象求方程x2-x-3=0的实数根（精确到0.1）.
x
y
用你学过的一元二次方程的解法来解，
准确答案是什么？
试一试
C
A
(4)已知二次函数y=ax+bx+c的图象如图所示,则
一元二次方程ax+bx+c=0的解是 .
X
Y
0
5
2
2
(5)若抛物线y=ax2+bx+c,当 a>0,c<0时,图象与x轴交点情况是( )
A 无交点 B 只有一个交点
C 有两个交点 D不能确定
C
X1=0，x2=5
(6)如果关于x的一元二次方程 x2-2x+m=0有两个相等的实数根,则m=＿＿＿＿,此时抛物线 y=x2-2x+m与x轴有＿＿＿＿个交点.
(7)已知抛物线 y=x2 – 8x +c的顶点在 x轴上,则c=＿＿＿＿.
1
1
16
(8)一元二次方程 3 x2+x-10=0的两个根是x1= -2 ,x2=5/3, 那么二次函数y= 3 x2+x-10与x轴的交点坐标是＿＿＿＿.
（-2、0）（5/3、0）
（9）根据下列表格的对应值:

判断方程ax2+bx+c=0 (a≠0,a,b,c为常数)一个解x的范围是( )
A 3< X < 3.23 B 3.23 < X < 3.24
C 3.24 C
练习：
1、抛物线y=x2-x+m与x轴有两个交点，
则m的取值范围是 。
2、如果关于x的方程x2-2x+m=0有两个相等
的实数根，此时抛物线y=x2-2x+m与x轴有
个交点。
3、抛物线y=x2-kx+k-2与x轴交点个数为（ ）
A、0个 B、1个 C、2个 D、无法确定
亮出你的风采
4、已知二次函数y=-x2+2x+k+2
与x轴的公共点有两个，
（1）求k的取值范围；
（2）当k=1时，求抛物线与
x轴的公共点A和B的坐标及顶点C的坐标；
（3）观察图象，当x取何值时，y=0,y>0,y<0?
（4）在x轴下方的抛物线上是否存在点P，使S⊿ABP是S⊿ABC的一半，若存在，求出P点的坐标，若不存在，请说明理由.
亮出你的风采
y
x
亮出你的风采
5、已知二次函数y=x2-mx-m2
（1）求证：对于任意实数m，该二次函数的图像与x轴总有公共点;
（2）该二次函数的图像与x轴有两个公共点A、B，且A点坐标为（1、0），求B点坐标。
再见