23.2.2 中心对称图形
（1）这些图形有什么共同的特征？
都是旋转对称图形.
（2）这些图形的不同点在哪？分别绕旋转中心旋转
了多少度？
第一个图形的旋转角度为120°或240 °，第二个图形的旋转角度为72°或144°或216°或288°。后三个图形的旋转角度都为180°，第二，三个是轴对称图形.
后三个图形都是旋转1800后能与自身重合
复习与思考
(1)如图，将线段AB绕它的中点旋转180°,你有什么发现？
A
B
可以发现：线段AB绕它的中点旋转180°后与本身重合
(2)如图将 ABCD绕它的两条对角线的交点O旋转180°，你有什么发现？
A
B
C
D
O
如果旋转后的图形能够与原来的图形重合， 那么这个图形叫做中心对称图形.
A
B
A
B
C
D
0
0
0
这个点就是它的对称中心.
由上面的观察可以得到，线段、平行四边形是中心对称图形.
O
如果一个图形绕一个点旋转180°后，能和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形；这个点叫做它的对称中心；互相重合的点叫做对称点.
观察与发现
B
A
C
D
图中_________是中心对称图形
对称中心是______
点O
点A的对称点是______
点D的对称点是______
点C
点B
中心对称图形形状匀称美观，很多建筑物和工艺品上常采用这种图形作装饰图案，另外，具有中心对称图形形状的物体，能够所在的平面内绕对称中心平稳地旋转，在生产中旋转的零部件的现状常设计成中心对称图形，如水泵叶轮等.
练习
1.回忆我们学过的图形，你能说出一些中心对称图形吗？
2.如图的汽车标志中，哪些是中心对称图形？再举出几个中心对称图形的实例 ？
是
是
是
不是
不是
若两个图形关于某一点成中心对称，那么下列说法：
对称点的连线必过对称中心；
这两个图形一定全等；
对应线段一定平行且相等；
将一个图形绕对称中心旋转180°必定与另一个图形重合。
其中正确的是（ ）.
(A) ①② (B) ①③ (C) ①②④ (D) ①②③④

如图，如果正方形CDEF旋转后能与正方形ABCD重合，那么图形所在的平面上可以作为旋转中心的点共有（ ）.
(A) 4 (B) 3 (C) 2 (D) 1
C
B
运用
判断下列说法是否正确
（1）轴对称图形也是中心对称图形.（ ）
（2）旋转对称图形也是中心对称图形.（ ）
（3）平行四边形、长方形和正方形都是中心对称图形，对角线的交点是它们的对称中心.（ ）
（4）角是轴对称图形也是中心对称图形.（ ）
（5）在成中心对称的两个图形中，对应线段平行
（或在同一直线上）且相等. （ ）
×
√
×
√
×
巩固
旋转前后的图形完全重合
轴对称图形
中心对称图形
1
2
图形绕对称中心旋转
180°
3
翻转前后的图形完全重合
中心对称图形与轴对称图形有什么区别与联系？
总结巩固
小结
链接中考
1.（2013•潍坊）下面的图形是天气预报的图标，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
2.（2013•天津）下列标志中，可以看作是中心对称图形的是（　　）
3.在正方形、直角三角形、梯形这三个图形中，为中心对称图形的是 。
4.（2013•绍兴）矩形ABCD中，AB=4，AD=3，P，Q是对角线BD上不重合的两点，点P关于直线AD，AB的对称点分别是点E、F，点Q关于直线BC、CD的对称点分别是点G、H．若由点E、F、G、H构成的四边形恰好为菱形，则PQ的长为  .
要使EFGH为菱形，首先要保证EH=FG。
由于EH=ED+DH=DP+DQ=2DP+PQ
同理FG=FB+BG=BP+BQ=2BQ+PQ
所以由EH=FG得：2BQ+PQ=2DP+PQ
所以BQ=DP。这一条保证了EH=FG，而且已知EH//HG，所以EFGH是平行四边形。
现在设BQ=DP=x。则DE=x，DH=DQ=5-x。
所以EH=ED+DH=5。
EP=8x/5，PF=6(5-x)/5。
EFGH是菱形，则EF=EH
由勾股定理EP2+PF2=EF2=EH2
解方程得：x=2.5或者1.1
当x=2.5时PQ=0，不合题意，舍去
所以x=1.1，PQ=5-2x=2.8
分析： 如解答图所示，本题要点如下：
（1）证明矩形的四个顶点A、B、C、D均在菱形EFGH的边上，且点A、C分别为各自边的中点；
（2）证明菱形的边长等于矩形的对角线长；
（3）求出线段AP的长度，证明△AON为等腰三角形；
（4）利用勾股定理求出线段OP的长度；
（5）同理求出OQ的长度，从而得到PQ的长度．
解：由矩形ABCD中，AB=4，AD=3，可得对角线AC=BD=5．
依题意画出图形，如右图所示．
由轴对称性质可知，∠PAF+∠PAE=2∠PAB+2∠PAD=2（∠PAB+∠PAD）=180°，
∴点A在菱形EFGH的边EF上．同理可知，点B、C、D均在菱形EFGH的边上．
∵AP=AE=AF，∴点A为EF中点．同理可知，点C为GH中点．
连接AC，交BD于点O，则有AF=CG，且AF∥CG，
∴四边形ACGF为平行四边形，
∴FG=AC=5，即菱形EFGH的边长等于矩形ABCD的对角线长．
∴EF=FG=5，
∵AP=AE=AF，∴AP= AF=2.5．
∵OA= OC=2.5，
∴AP=AO，即△APO为等腰三角形．
过点A作AN⊥BD交BD于点N，则点N为OP的中点．
由S△ABD= AB•AD= AC•AN，可求得：AN=2.4．
在Rt△AON中，由勾股定理得：ON= 0.7， ∴OP=2ON=1.4；
同理可求得：OQ=1.4，
∴PQ=OP+OQ=1.4+1.4=2.8．故答案为：2.8．
（2013•镇江）【阅读】如图1，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（a，0）（a＞0），B（2，3），C（0，3）．过原点O作直线l，使它经过第一、三象限，直线l与y轴的正半轴所成角设为θ，将四边形OABC的直角∠OCB沿直线l折叠，点C落在点D处，我们把这个操作过程记为FZ[θ，a]．
【理解】若点D与点A重合，则这个操作过程为FZ[  ， ]；【尝试】（1）若点D恰为AB的中点（如图2），求θ；（2）经过FZ[45°，a]操作，点B落在点E处，若点E在四边形0ABC的边AB上，求出a的值；若点E落在四边形0ABC的外部，直接写出a的取值范围；
【探究】经过FZ[θ，a]操作后，作直线CD交x轴于点G，交直线AB于点H，使得△ODG与△GAH是一对相似的等腰三角形，直接写出FZ[θ，a]．
解答：解：【理解】若点D与点A重合，由折叠性质可知，OA=OC=3，θ=12∠AOC=45°，∴FZ[45°，3]．
（1）如答图1所示，连接CD并延长，交x轴于点F．在△BCD与△AFD中，∠BDC＝∠ADFBD＝AD∠CBD＝∠FAD∴△BCD≌△AFD（ASA）．∴CD=FD，即点D为Rt△COF斜边CF的中点，∴OD=12CF=CD．又由折叠可知，OD=OC，∴OD=OC=CD，∴△OCD为等边三角形，
∠COD=60°，∴θ=12∠COD=30°；
（2）经过FZ[45°，a]操作，点B落在点E处，则点D落在x轴上，AB⊥直线l，如答图2所示：若点E在四边形0ABC的边AB上，由折叠可知，OD=OC=3，DE=BC=2．∵AB⊥直线l，θ=45°，∴△ADE为等腰直角三角形，∴AD=DE=2，∴OA=OD+AD=3+2=5，∴a=5；由答图2可知，当0＜a＜5时，
点E落在四边形0ABC的外部．
【探究】FZ[30°，2+ ]，FZ[60°，2+ ]．如答图3、答图4所示．