27.2 相似三角形
第一课时
知识回顾
1、相似多边形的判定
2、什么叫相似比
3、最简单的相似多边形是什么图形
新课导入
∠A =∠A1，
∠B =∠B1，
∠C =∠C1，
如果
则△ABC 与△A1B1C1 相似，
记作△ABC ∽ △A1B1C1。
要把表示对应角顶点的字母写在对应的位置上。
相似比
相似的表示方法
符号：∽ 读作：相似于
如何证明两个三角形相似呢？
任意平移l5，再度量AB,BC，DE,EF的长度.
相等吗？
探　究
，还可以得到:
平行线分线段成比例定理：
三条平行线截两条直线，所得的对应线段的比相等.
平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段的比相等.
如图，在△ABC中, DE∥BC，DE分

别交AB、AC于点D、E, △ADE与△ABC有

什么关系?
F
思 考 ？
相似三角形判定的预备定理
即：
在△ABC中，
如果DE∥BC，
那么△ADE∽△ABC
A型
你还能画出其他图形吗？
平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与三角形相似。
延伸
即：
如果DE∥BC，
那么△ADE∽△ABC
你能证明吗？
X型
M
N
相似具有传递性
△ADE∽△ABC
M
N
如果再作 MN∥DE ，共有多少对相似三角形？
△AMN∽△ADE
△AMN∽△ABC
共有三对相似三角形。
已知：如图，AB∥EF ∥CD，
3
图中共有____对相似三角形。
△EOF∽△COD
AB∥EF
△AOB∽ △FOE
AB∥CD
EF∥CD
△AOB ∽△DOC
理解

如图，△ABC 中，DE∥BC，GF∥AB，DE、ＧＦ交于点Ｏ，则图中与△ABC相似的三角形共有多少个?请你写出来.
解： 与△ABC相似的三角形有3个:
△AＤＥ　
△ＧＦＣ　
△ＧＯＥ
运用4
如图在平行四边形ABCD中，E为AD上一点，连结CE并延长交BA的延长线于点F，
请找出相似的三角形并表示出来。
练习一:
EC
BC
DC
A
B
C
D
E
1、已知 ∠A =∠E=60°

求：BD的长。
CB = 4，
——
BE
AB
=
A
C
B
D
E
3。如图,已知DE ∥BC,AE=50cm,EC=30cm
,BC=70cm,∠BAC=450,∠ACB=400.
(1)求∠AED和∠ADE的大小;(2)求DE的长.
（2）
解: (1)
DE ∥ BC
△ADE∽△ABC
∠AED=∠C=400.
△ADE∽△ABC
运用
在△ADE中, ∠ADE=1800-400-450=950.
4。如图，在△ABC中，DG∥EH∥FI∥BC，
（1）请找出图中所有的相似三角形；

（2）如果AD=1，DB=3，那么DG：BC=_____。
△ADG∽△AEH∽△AFI∽△ABC
1：4
运用
6. 如果两个三角形的相似比为1，那么这两个三角形________。
7. 若△ABC与△A′B′C′相似，一组对应边的长为AB=3 cm，A′B′=4 cm，那么△A′B′C′与△ABC的相似比是________。
8. 若△ABC的三条边长的比为3cm、5cm、6cm,与其相似的另一个△A′B′C′的最小边长为12 cm，那么A′B′C′的最大边长是________。
全等
4︰3
24cm
已知：
△ABC∽△A1B1C1.
求证：
证明：在线段 （或它的延长线）上截取 ，过点D作 ，交 于点E根据前面的定理可得 .
D
E
∴
又
D
E
∴
∴
∴
（SSS）
∵
∴
三角形相似判定定理之一
求证：∠BAD=∠CAE。
∴ΔABC∽ΔADE
∴∠BAC=∠DAE
∴∠BAC－∠DAC =∠DAE－∠DAC
即∠BAD=∠CAE
已知：
解：∵

27.2 相似三角形
第二课时
你能证明吗？
三角形相似判定定理之二
△ABC∽△A1B1C1.
即：
如果
∠B =∠B1 .
那么
例1:根据下列条件，判断△ABC与△A’B’C’是否相似，并说明理由．
(1)∠A=1200,AB=7cm,AC=14cm.
∠A’=1200,A’B’=3cm,A’C’=6cm.
(2)AB=4 cm,BC=6cm,AC=8cm,
A’B’=12cm,B’C’=18cm,A’C’=21cm.
△ABC与△A’B’C‘的三组对应边的比不等，它们不相似．
要使两三角形相似，不改变的AC长，A’C’的长应改为多少？

27.2 相似三角形
第三课时
1。平行于三角形一边的直线和其他两边(或延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似。
2。如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。简称：三边对应成比例，两三角形相似。
3。如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。两边对应成比例，且夹角相等，两三角形相似。
回顾：相似三角形的判定
问题引入：
观察两副三角尺，其中同样角度（30°与60°，或45°与45°）的两个三角尺大小可能不同，但它们看起来是相似的。一般地，如果两个三角形有两组对应角相等，它们一定相似吗？

A
B
C
A′
B′
C′
三角形相似判定定理之三
如图,弦AB和CD相交于⊙O内一点P,
求证:PA ▪ PB = PC▪PD
例题讲解
已知：DE∥BC，EF∥AB.
求证：△ADE∽△EFC.
解: ∵ DE∥BC，EF∥AB（已知）
∴∠ADE＝∠B＝∠EFC （两直线平行，同位角相等）
∠AED＝∠C（两直线平行，同位角相等）
∴ △ADE∽△EFC
（两个角分别对应相等的两个三角形相似）
如果两个三角形有一个内角对应相等，那么这两个三角形一定相似吗？
一角对应相等的两个三角形不一定相似。
常用的成比例的线段：
常用的相等的角：
∠A =∠DCB ；∠B =∠ACD
1。有一锐角对应相等的两个直角三角形相似。
2。两组直角边的比对应相等的两个直角三角形相似。
3。直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形和原直角三角形相似。
直角三角形相似的判定
已知：
△ABC∽△A1B1C1.
求证：
你能证明吗？
Rt△ABC 和 Rt△A1B1C1.
如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例， 那么这两个直角三角形相似。
判定三角形相似的定理之四
△ABC∽△A1B1C1.
即：
如果
那么
√
Rt△ABC 和 Rt△A1B1C1.
课堂小结
1. 相似图形三角形的判定方法：
通过定义（三边对应成比例，三角相等）
相似三角形判定的预备定理
三边对应成比例，两三角形相似
两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似
两角对应相等，两三角形相似
两直角三角形的斜边和一条直角边对应成比
例，两直角三角形相似
对应角相等。
对应边成比例。
2. 相似三角形的性质：
（1）所有的等腰三角形都相似。
（2）所有的等腰直角三角形都相似。
（3）所有的等边三角形都相似。
（4）所有的直角三角形都相似。
（5）有一个角是100 °的两个等腰三角形都相似。
（6）有一个角是70 °的两个等腰三角形都相似。
（7）若两个三角形相似比为1，则它们必全等。
（8）相似的两个三角形一定大小不等。
1. 判断下列说法是否正确？并说明理由。
√
×
√
×
√
×
√
×
随堂练习