相似三角形的应用举例
27.2.2
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回顾与思考
判断两个三角形相似的方法有？
1.定义法：对应角相等，对应边的比相等的两个三角形相似.
2.平行定理：平行与三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似.
5.三角形相似的判定定理一（AA）：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.
4.三角形相似的判定定理二（SAS）：如果两个三角形两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似.
3.三角形相似的判定定理一（SSS）：如果两个三角形三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似.
判定三角形相似的预备定理
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利用三角形的相似，如何解决一些不能直接测量的物体的长度的问题呢？我们来看下面这个故事．
4

胡夫金字塔是埃及现存规模最大的金字塔，被喻为“世界古代七大奇观之一”。塔的４个斜面正对东南西北四个方向，塔基呈正方形，每边长约２３０多米。据考证，为建成大金字塔，共动用了１０万人花了２０年时间.原高１４６．５９米，但由于经过几千年的风吹雨打,顶端被风化吹蚀.所以高度有所降低 .
在古希腊，有一位伟大的科学家叫泰勒斯.一天，希腊国王阿马西斯对他说：“听说你什么都知道，那就请你测量一下埃及金字塔的高度吧.”这在当时是个大难题，因为是很难爬到塔顶的，你知道泰勒斯是用什么方法测量出金字塔的高度吗？
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例题讲解
例3 据史料记载，古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾利用相似三角形的原理，在金字塔影子顶部立一根木杆，集中太阳光线构成两个相似三角形，来测量金字塔的高度．
如图，如果木杆EF长2m，它的影长FD为3m，测得OA为201m，求金字塔的高度BO．
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例题讲解
∠AOB＝∠DFE＝90°
解：太阳光是平行光线，由此∠BAO＝∠EDF，又
∴ △ABO∽△DEF．
因此金字塔的高为134m.
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例4 为了估算河的宽度,我们可以在河对岸选定一个目标点P,在近岸取点Q和S,使点P、Q、S共线且直线PS与河垂直，接着在过点S且与PS垂直的直线a上选择适当的点T,确定PT与过点Q且垂直PS的直线b的交点R.如果测得QS=45m,ST=90m,QR=60m,求河的宽度PQ.
P
Q
R
S
T
a
b
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解：∵ ∠PQR＝∠PST＝90°，∠P＝∠P，
PQ×90＝（PQ＋45）×60
解得PQ＝90.
P
Q
R
S
T
a
b
∴ △PQR∽△PST．
因此河宽大约为90m
如果测得QS=45m,ST=90m,QR=60m,求河的宽度PQ.
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H
K
仰角
视线
水平线
A
C
例5：已知左，右并排的两棵大树的高分别是AB=8m和CD=12m，两树的根部的距离BD=5m。一个身高1.6m的人沿着正对着两棵树的一条水平直路从左向右前进，当他与左边较低的树的距离小于多少米时，就不能看见右边较高的树的顶端点C？

K
Ⅱ
盲区
观察者看不到的区 域。
仰角
：视线与水平线的 夹角。
水平线
视线
视点
观察者眼睛的位置。
F
B
C
D
H
G
l
A
K
F
B
C
D
H
G
l
A
Ⅰ
K
分析：如图，说观察者眼睛的位置为点F，画出观察者的水平视线FG，它交AB、CD于点H、K．视线FA、FG的夹角∠AFH是观察点A时的仰角．类似地，哪个角是观察点C时的仰角？由于树的遮挡，区域1 和11都在观察者看不到的区域（盲区）之内．
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AB=8m，CD=12m，BD=5m，人的身高是1.6米
解：假设观察者从左向右走到点E时，他的眼睛的位置点F与两颗树的顶端点A、C恰在一条直线上.当他继续往右走的时候， 他就看不到C点了.
由题意可知，AB⊥L，CD⊥L，
∴AB∥CD，△AFH∽ △CFK
∴
=
即
=
解得FH=8
∴当他与左边的树的距离小于8m时，由于这棵树的遮挡，右边树的顶端点C在观察者的盲区之内，就不能看见右边较高的树的顶端点C.
E
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随堂练习
1.在某一时刻，测得一根高为1.8m的竹竿的影长为3m，同时测得一栋高楼的影长为90m，这栋高楼的高度是多少？
△ABC ∽ △A'B'C'
求得 A'C'=54m
答：这栋高楼的高度是54m.
解：
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随堂练习
2. 如图，测得BD=120m，DC=60m，EC=50m，求河宽AB．
A
D
B
E
C
解：
∵ AB∥CE
∴△ABD∽△ECD
AB=100m.
答：河宽AB为100m.
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3.小华为了测量他所住楼房的高度，他请同学来帮忙，测量了同一时刻他自己的影长和楼房的影长分别是0.5米和15米。已知小华的身高为1.6米，那么他所住楼房的高度为_________米？
随堂练习
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这节课你有什么收获？
1.这节课我们学到了哪些知识？
2.我们是利用什么方法获得这些知识的？
3.通过这节课的学习，你有什么新的想法或发现？你觉得还有什么问题需要继续讨论？
计算不能直接测量的物体的长度和高度
利用三角形相似的知识
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作业布置
27.2
第 10题、第11题
17
感谢您的欣赏！