相似三角形应用
世界上最高的楼
——台北101大楼
怎样测量这些非常高大物体的高度？
新课导入
世界上最宽的河
——亚马孙河
怎样测量河宽？
利用三角形相似可以解决一些不能直接测量的物体的高度和宽度的问题
了解平行投影
来自远处发的光，相互平行地向前行进，称平行光。自然界中最标准的平行光是太阳光。
在平行光线的照射下,物体所产生的影子叫平行投影.
选择同时间测量
科学
同一时刻物体的高度与影长成正比（比值相等）
选择不同时间测量
同一物体在不同的时刻影长不相等。
在阳光下，物体的高度与影长有有什么关系?
尝试画出影子
甲
乙
丙
如何运用“三角形的相似知识”来说明“平行光线的照射下，同一时刻物高与影长成比例”？
A
B
C
D
E
F
理解
怎样利用相似三角形的有关知识测量博文中学旗杆的高度?
想一想
测高是本课重点学习的内容
测高的方法:
测量不能到达顶部的物体的高度,通常用“在同一时刻物高与影长成正比例”的原理解决 ：
物高1 ：影长1 = 物高2：影长2
博文中学
怎样测量旗杆的高度呢？
利用影长来测高
博文中学
求旗杆高度的方法:
旗杆的高度和影长组成的三角形
人身高和影长组成的三角形
因为旗杆的高度不能直接测量,我们可以利用
再利用相似三角形对应边成比例来求解.
相似于
博文中学
１、旗杆的高度是线段 ；旗杆的高度与它的影长组成什么三角形？（ ）这个三角形有没有哪条边可以直接测量？
温馨提示：
BC
Rt△ABC
6m
2、人的高度与它的影长组成什么三角形？（ ）这个三角形有没有哪条边可以直接测量？
Rt△A’B’C’
3、 根据△ABC与△A′B′ C ′ 相似关系解决问题.
1.2m
1.6m
8m
博文中学
例1.测量树高
小明﹑小李﹑小王三位同学想利用树影测量树高．
　 (1) 小明测得长为1米的竹竿影长为0.9米，同时，小李测得一棵树的影长为5.4米，请计算小明测量这棵树的高．
由相似三角形性质得:
树高 竿高
树影长 竿影长
5.4
借助“太阳光”测高
方法一：
数学兴趣小组测校内一棵树高，有以下方法：
方法二：如图，把镜子放在离树（AB）8M点E处，然后沿着直线BE后退到D，这时恰好在镜子里看到树梢顶点A，再用皮尺量得DE=2.8M，观察者目高CD=1.6M；
C
测量1-树高(旗杆高度)
Ｃ
Ｄ
Ａ
Ｂ
Ｅ
无光借助“平面镜”测高
E
B
C
A
D
F
无光借助“标杆法”测高
由相似三角形的性质得: BE 1
2.7 0.9
(1) 小明测得长为1米的竹竿影长为0.9米，同时，小李测得一棵树的影长为5.4米，请计算小明测量这棵树的高;
(2)同时小王在测另一棵树时，发现树影的一部分在地面上，而另一部分在墙上，他测得地面上的影长为2.7米，留在墙上部分的影长为1.2米.请计算小王测量的这棵树的高.
2.7m
1.2m
解：如图，过点D画DE∥AC交AB于E点，由平行四边形ACDE得AE=CD=1.2，
B
A
D
C
E
∴BE=3，AB=BE+AE=4.2答:这棵树高有4.2米.
例2.1 测量树高
(1) 小明测得长为1米的竹竿影长为0.9米，同时，小李测得一棵树的影长为5.4米，请计算小明测量这棵树的高;
(2)同时小王在测另一棵树时，发现树影的一部分在地面上，而另一部分在墙上，他测得地面上的影长为2.7米，留在墙上部分的影长为1.2米.请计算小王测量的这棵树的高.
2.7m
1.2m
B
A
C
解:画CG⊥AB于G， CG=BD=2.7，BG=CD=1.2
答:这棵树的高为4.2米.
D
G
由相似三角形的性质得: AG:CG=1:0.9 ∴AG=2.7÷0.9=3 AB=AG+BG=4.2
例2.2 测量树高
(1) 小明测得长为1米的竹竿影长为0.9米，同时，小李测得一棵树的影长为5.4米，请计算小明测量这棵树的高;
(2)同时小王在测另一棵树时，发现树影的一部分在地面上，而另一部分在墙上，他测得地面上的影长为2.7米，留在墙上部分的影长为1.2米.请计算小王测量的这棵树的高.
2.7m
1.2m
B
A
C
解:延长AC交BD延长线于G，由相似三角形的性质得: CD:DG=1:0.9 ∴DG=0.9CD=1.08 BG=BD+DG=3.78
由CD:AB=DG:BG 得 AB=4.2答:这棵树的高为4.2米.
D
G
例2.3 测量树高
小明测得长为1米的竹竿影长为2米，同时，小李测量一棵树时发现树影的一部分在地面上，另一部分在斜坡的坡面上，测得在地面影长为10米，在斜坡上影长为4米，斜坡的倾斜角为30°，请计算这棵树的高．
10m
B
A
C
解:作CG⊥AB于G点，作CE ⊥BD于E，则
CE= CD=2， DE=2
∴BG=CE=2，BE=BD+DE=10+2
答:这棵树的高为(7+ )米.
D
G
由相似三角形的性质得: AG:GC=1:2 ∴AG=5+ AB=BG+AG=7+
4m
E
30°
例3.1 测量树高
小明测得长为1米的竹竿影长为2米，同时，小李测量一棵树时发现树影的一部分在地面上，另一部分在斜坡的坡面上，测得在地面影长为10米，在斜坡上影长为4米，斜坡的倾斜角为30°，请计算这棵树的高．
10m
B
A
C
D
4m
E
F
30°
例3.2 测量树高
小明测得长为1米的竹竿影长为2米，同时，小李测量一棵树时发现树影的一部分在地面上，另一部分在斜坡的坡面上，测得在地面影长为10米，在斜坡上影长为4米，斜坡的倾斜角为30°，请计算这棵树的高．
10m
B
A
C
D
G
4m
E
30°
例3.3 测量树高
试一试：已知左右并排的两棵大树的高分别是AB=8m和CD=12m，两树的根部的距离BD=5m。一个身高1.6m的人沿着正对着两棵树的一条水平直路从左向右前进，当他与左边较低的树的距离小于多少时，就不能看见右边较高的树的顶端点C？

K
Ⅱ
盲区
观察者看不到的区 域。
仰角
：视线在水平 线以上的夹角。
水平线
视线
视点
观察者眼睛的位置。
(1)
F
B
C
D
H
G
l
A
K
(1)
F
B
C
D
H
G
l
A
Ⅰ
K
由题意可知，AB⊥L，CD⊥L，
∴AB∥CD，△AFH∽ △CFK
∴
=
即
=
解得FH=8
∴当他与左边的树的距离小于8m时，由于这棵树的遮挡，右边树的顶端点C在观察者的盲区之内，就不能看见右边较高的树的顶端点C
E
分析：
假设观察者从左向右走到点E时，他的眼睛的位置点F与两颗树的顶端点A、C恰在一条直线上,如果观察者继续前进，由于这棵树的遮挡，右边树的顶端点C在观察者的盲区之内，观察者看不到它。
例如：如图：A、B两点位于一个池塘的两端，现想用皮尺测量A、B间的距离，但不能直接测量
（分析1）我们在学习全等三角形的知识时，曾利用全等三角形来测量A、B两点间距离，你还记得方案吗？
解：先在地上取一个可以直接到达A点和B点的点C，连接AC、BC，延长AC到D，使CD=AC，延长BC到E，使CE=BC，连结DE并测量出它的长度，DE的长度就是A、B间的距离。
（分析2）如果在点C后面有一条河，那么利用全等测量A、B间的距离还可行吗？如果不可行，你会有怎样的测量方法？测量工具只能用皮尺.
测量2-河宽
例1:如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标作为点A，再在河的这一边选点B和C，使AB⊥BC，然后，再选点E，使EC⊥BC，用视线确定BC和AE的交点D．
A
D
C
E
B
解：
因为 ∠ADB＝∠EDC,
∠ABC＝∠ECD＝90°，
所以 △ABD∽△ECD，
答： 两岸间的大致距离为100米．
此时如果测得BD＝120米，DC＝60米，EC＝50米，求两岸间的大致距离AB．(方法一)
例1:1如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标作为点A，再在河的这一边选点B和C，使AB⊥BC，然后，再选点E，使EC⊥BC用视线确定BC和AE的交点D．
(方法二) 如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标点P，在近岸选点Q和S，使点P、Q、S共线且直线PS与河垂直，接着在过点S且与PS垂直的直线a上选择适当的点T，确定PT与过点Q且垂直PS的直线b的交点R．如果测得QS＝45m，ST＝90m，QR＝60m，求河的宽度PQ．
解：∵ ∠PQR＝∠PST＝90°，∠P＝∠P，
PQ×90＝（PQ＋45）×60
解得PQ＝90.
P
Q
R
S
T
a
b
∴ △PQR∽△PST．
因此河宽大约为90m
例1:2如图：A、B两点位于一个池塘的两端，现想用皮尺测量A、B间的距离，但不能直接测量
（分析1）我们在学习全等三角形的知识时，曾利用全等三角形来测量A、B两点间距离，你还记得方案吗？
解：先在地上取一个可以直接到达A点和B点的点C，连接AC、BC，延长AC到D，使CD=AC，延长BC到E，使CE=BC，连结DE并测量出它的长度，DE的长度就是A、B间的距离。
（分析2）如果在点C后面有一条河，那么利用全等测量A、B间的距离还可行吗？如果不可行，你会有怎样的测量方法？测量工具只能用皮尺.
解：连结AC、BC，延长AC到D，使 ，延长BC
到E，使 ，连结

DE并测量出它的长度，则A、B间的距离就是DE长度的2倍。
2.为了测量一池塘的宽AB,在岸边找到了一点C,使AC⊥AB，在AC上找到一点D，在BC上找到一点E,使DE⊥AC，测出AD=35m，DC=35m，DE=30m,那么你能算出池塘的宽AB吗?
A
B
C
D
E
因为 ∠ACB＝∠DCE ,
所以 △ABC∽△DEC ，
答： 池塘的宽大致为80米．
∠CAB＝∠CDE=90°,
小小设计家:
如图所示,江的一侧有A,B两个工厂.现要在江边建造一个水厂C,把水送到这两个工厂,要使供水管路线最短.这样可以节省成本.
A
B
E
D
1.请你设计一下水厂应该建造在哪里?
2.若AE=0.5千米,BD=1.5千米,且DE=3千米.求水厂C距离D处有多远?
.
.
F
C
测量３-物体内径
小小实践家:
A
B
D
C
O
如图，已知零件的外径为a，要求它的厚度x，需先求出内孔的直径AB，现用一个交叉卡钳（两条尺长AC和BD相等）去量，若OA:OC=OB:OD=n，且量得CD=b，求厚度x。
思考：
（分析：如图，要想求厚度x，根据条件可知，首先得求出内孔直径AB。而在图中可构造出相似形，通过相似形的性质，从而求出AB的长度。）
随堂练习
1. 铁道口的栏杆短臂长1m,长臂长16m,当短臂端点下降0.5m时,长臂端点升高______m。
8
2.某一时刻树的影长为8米,同一时刻身高为1.5米的人的影长为3米,则树高为______。
4
课堂小结:
一 、相似三角形的应用主要有如下两个方面
1 测高(不能直接使用皮尺或刻度尺量的)
2 测距(不能直接测量的两点间的距离)
二、测高的方法
测量不能到达顶部的物体的高度,通常用“在同一时刻物高与影长成正比”的原理解决.
三、测距的方法
测量不能到达两点间的距离,常构造相似三角形求解
小小实践家:
液面
B
C
A
木棒
如何来测量液面的高度呢?
提供工具:
木棒(足够长),刻度尺
D
小小实践家:
液面
B
C
A
木棒
A
B
C
D
E
G
D
小小实践家:
液面
B
C
A
木棒
A
B
C
D
E
G
B
C
A
E
D
MH BH
5 15
3．两根电线杆
“云娜”台风肆虐我市，我市受灾较为严重，灾后，各部门组织人员进行各方面抢修．电力部门对刮斜的电线杆进行加固，加固方法有多种，如图是其中的一种：分别在高3米的Ａ处和５米的Ｃ处用钢索将两杆固定.　（1）现测得两杆相距15米，问一般的人能否不弯腰不低头地通过两钢索交叉点下方?
A
B
C
D
M
H
3
5
15
MH DH
AB BD
MH BH
CD BD
MH DH
3 15
MH BH
5
3．两根电线杆
A
B
C
D
M
H
3
5
15
MH DH
AB BD
MH BH
CD BD
MH DH
3
（２）当两杆相距20米时，一般的人能否通过？
20
15
15
20
20
c BH
b BD
c DH
a BD
A
B
C
D
M
H
3
5
MH DH
AB BD
MH BH
CD BD
=1
（3）设钢索的交点为M﹐画MH⊥BD于H ，若ＡＢ＝a，CD=b，MH=c，写出a，b，c之间的关系式．
a
b
c
MH BH
5
MH DH
3 20
20
(4)如图，将上题条件改为AB∥CD∥MH ，写出(3)中的a﹑b﹑c的关系式.
A
B
C
D
M
H
a
b
c
F
(5)连结AC ，延长HM交AC于F ，写出FH与a﹑b的关系式．
A
B
C
D
M
H
a
b
c
F
A
B
C
D
M
a
b
(5)连结AC ，延长HM交AC于F ，写出FH与a﹑b的关系式．
A
B
C
D
M
H
a
b
c
A
B
C
D
M
a
b
(5)连结AC ，延长HM交AC于F ，写出FH与a﹑b的关系式．
A
B
C
D
M
a
b
F
A
B
C
D
M
a
b
由上题结论可得：
MF=MH= HF

1 1 2
a b HF
构建数学模型：
测量物体高度的方法：
测量物体高度的方法：（以测旗杆为例）
平面镜测量法 影子测量法 手臂测量法 标杆测量法
测量2-物体高度(楼高)
例 古代一位数学家想出了一种测量金字塔高度的方法：为了测量金字塔的高度OB，先竖一根已知长度的木棒ＥＦ，比较棒子的影长ＦＤ与金字塔的影长OA，即可近似算出金字塔的高度OB. 如果EF＝2m, FD=3m, OA＝201m,求金字塔的高度OB.
B
O
E
A(F)
D
A
C
B
D
E
┐
┐
A
C
B
D
E
┐
┐
物1高 ：物2高 = 影1长 ：影2长
测高的方法
测量不能到达顶部的物体的高度，通常用“在同一时刻物高与影长成正比例”的原理解决。
利用标杆测物高：如金字塔塔高
埃及的金字塔
A
C
B
D
E
┐
┐
借太阳的光辉助我们解题,你想到了吗?
古代一位数学家想出了一种测量金字塔高度的方法：如图所示，为了测量金字塔的高度OB，先竖一根已知长度的木棒O′B′，比较棒子的影长A′B′与金字塔的影长AB，即可近似算出金字塔的高度OB．
古代一位数学家想出了一种测量金字塔高度的方法：如图所示，为了测量金字塔的高度OB，先竖一根已知长度的木棒O′B′，比较棒子的影长A′B′与金字塔的影长AB，即可近似算出金字塔的高度OB．
所以△OAB∽△O′A′B′
OB∶O′B′＝AB∶A′B′
即该金字塔高为134米
如果O′B′＝2m，A′B′＝3m
AB＝201m，求金字塔的高度OB.
解：太阳光是平行线， 因此∠BAO= ∠B’A’O’
又因为∠ABO= ∠A‘B’O‘=90°
例1 据史料记者，古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾利用相似三角形的原理，在金字塔影子顶部立一根木杆，借助太阳光线构成两个相似三角形，来测量金字塔的高度．
如图，如果木杆EF长2m，它的影长FD为3m，测得OA为201m，求金字塔的高度BO．
解：太阳光是平行光线，由此∠BAO＝∠EDF，又
∠AOB＝∠DFE＝90°
∴ △ABO∽△DEF．
因此金字塔的高为134m．
A
C
B
D
E
┐
┐
还可以这样测量……
请列出比例式
DE:BC=AE:AC
A
F
E
B
O
┐
┐
还可以有其他方法测量吗？
=
△ABO∽△AEF
OB =
平面镜
在同一时刻物体的高度与它的影长成正比例，在某一时刻,有人测得一高为1.8米的竹竿的影长为3米,某一高楼的影长为60米,那么高楼的高度是多少米?
解:设高楼的高度为X米，则
答:楼高36米.
2、 每个星期一上午学校内的全体师生都要参加升旗仪式，想不想测量咱们旗杆的高度呢？
3.小明测得旗杆的影长为12米，同一时刻把１米的标秆竖立在地上，它的影长为1.5米。于是小明很快就算出了旗杆的高度。你知道他是怎么计算的吗？
12
1.5
1
解:∵太阳光是平行光线
∴
AB=8
4.某同学想利用树影测量树高.他在某一时刻测得小树高为1.5米时，其影长为1.2米，当他测量教学楼旁的一棵大树影长时，因大树靠近教学楼，有一部分影子在墙上.经测量，地面部分影长为6.4米，墙上影长为1.4米，那么这棵大树高多少米?
D
6.4
1.2
？
1.5
1.4
A
B
c
物体的影长不等于地上的部分加上墙上的部分
甲
拓展: 已知教学楼高为12米，在距教学楼9米的北面有一建筑物乙，此时教学楼会影响乙的采光吗？
12
9.6
D
E
Ａ
Ｂ
12
9.6
D
E
C
∴DE=0.75
∵EC=9.6-9=0.6
∴
运用
可以计算出甲投在乙墙壁上的影长吗？
5.小明要测量一座古塔的高度,从距他2米的一小块积水处C看到塔顶的倒影,已知小明的眼部离地面的高度DE是1.5米,塔底中心B到积水处C的距离是40米.求塔高AB?
B
D
C
A
E
答:塔高30米.
解:∵∠DEC=∠ABC=90° ∠DCE=∠ACB
∴△DEC∽△ABC
如图，教学楼旁边有一棵树，数学小组的同学们想利用树影测量树高。课外活动时在阳光下他们测得一根长为1米的竹杆的影长是0.9米，当他们马上测量树的影子长时，发现树的影子不全落在地面上，于是他们测得落在地面上的影子长2.7米，落在墙壁上的影长1.2米,求树的高度.
1.2m
2.7m
1、在同一时刻物体的高度与它的影长成正比例，在某一时刻，有人测得一高为1.8米的竹竿的影长为3米，某一高楼的影长为60米，那么高楼的高度是多少米？
解:设高楼的高度为X米，则
答:楼高36米.
体验：
课堂小结:
一 、相似三角形的应用主要有如下两个方面
1 测高(不能直接使用皮尺或刻度尺量的)
2 测距(不能直接测量的两点间的距离)
、测高的方法
测量不能到达顶部的物体的高度,通常用“在同一时刻物高与影长的比例”的原理解决
、测距的方法
测量不能到达两点间的距离,常构造相似三角形求解
测距的方法
测量不能到达两点间的距离,常构造相似三角形求解。
五种基本几何构型：