第28章 锐角三角函数
如图：在Rt △ABC中，∠C＝90°，
角：∠A+ ∠B ＝90°
边：AC2 + BC2 = AB2
勾股定理
在直角三角形中，边与角之间有什么关系呢？
问题1 为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，在山坡上修建一座扬水站，对坡面的绿地进行喷灌．现测得斜坡与水平面所成角的度数是30°，为使出水口的高度为35m，那么需要准备多长的水管？
这个问题可以归结为，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝35m，求AB的长.
思考：你能将实际问题归结为数学问题吗？
情
境
探
究
根据“在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半”，即
在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝35m，求AB的长.
可得 AB=2BC=70m，即需要准备70m长的水管。
在上面的问题中，如果使出水口的高度为50m，那么需要准备多长的水管？
结论：在一个直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么不管三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比值都等于 。
A
B
C
50m
30m
B '
C '

即在直角三角形中，当一个锐角等于45°时，不管这个直角三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比都等于 。
A
B
C
综上可知，在一个Rt△ABC中，∠C＝90°，
一般地，当∠A 取其他一定度数的锐角时，它的对边与斜边的比是否也是一个固定值？
结论
问题
探究
A
B
C
A'
B'
C'
所以Rt△ABC∽Rt△A’B’C’

这就是说，在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A的对边与斜边的比都是一个固定值．
探究
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦（sine），记作sinA， 即
例如，当∠A＝30°时，我们有
当∠A＝45°时，我们有
c
a
b
对边
斜边
正 弦
注意
sinA是一个完整的符号，它表示∠A的正弦，记号里习惯省去角的符号“∠”；
sinA没有单位，它表示一个比值，即直角三角形中∠A的对边与斜边的比；
sinA不表示“sin”乘以“A”。
例1 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，求sinA和sinB的值．
A
B
C
3
4
例 题 示 范
(1)
(2)
试着完成图（2）
练习
2、在平面直角平面坐标系中，已知点A(3，0)
和B(0，-4)，则sin∠OAB等于____.
3、在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是BC边
上的中线，AC=2，BC=4，则sin∠DAC=___.
1、如图，求sinA和sinB的值．
小试牛刀
5.在Rt△ABC中，∠C=90°，a=1，c=4，则sinA的（ ）．

A．
B
20°
8
O
8、如图2：P是平面直角坐标系上

的一点，且点P的坐标为（3,4），

则sin =
P( 3 , 4 )
A
10.在Rt△ABC中，锐角A的对边和斜边同时扩大
100倍，sinA的值（ ）
A.扩大100倍 B.缩小
C.不变 D.不能确定
C
练一练
1.正弦的定义:
3.sinA是∠A的函数.
2. Sin30° =
sin45°=
回味 无穷
sin60°=
4.sinA是线段之间的一个比值 ，sinA没有单位
28.1锐角三角函数（2）
——余弦 正切
1、sinA是在直角三角形中定义的，∠A是锐角.
2、sinA是一个比值（数值）.
3、sinA的大小只与∠A的大小有关，而与直角三角形的边长无关.
如图：在Rt △ABC中，∠C＝90°，
特殊角的正弦函数值
正弦
复习与探究：
1.锐角正弦的定义
2、当锐角A确定时，∠A的对边与斜边的比就随之确定。此时，其他边之间的比是否也随之确定？为什么？
新知探索:
1、你能将“其他边之比”用比例的式子表示出来吗？这样的比有多少？
2、当锐角A确定时，∠A的邻边与斜边的比， ∠A的对边与邻边的比也随之确定吗？为什么？交流并说出理由。
方法一：从特殊到一般，仿照正弦的研究过程；
方法二：根据相似三角形的性质来说明。
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，
★我们把锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的
余弦（cosine），记作cosA， 即
★我们把锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的
正切（tangent），记作tanA， 即
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注意
cosA，tanA是一个完整的符号，它表示∠A的余弦、正切，记号里习惯省去角的符号“∠”；
cosA，tanA没有单位，它表示一个比值，即直角三角形中∠A的邻边与斜边的比、对边与邻边的比；
cosA不表示“cos”乘以“A”， tanA不表示“tan”乘以“A”
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锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数.
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例2 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC=2，AB=3，求∠A，∠B的正弦、余弦、正切值．
延伸：由上面的计算，你能猜想∠A，∠B的正弦、余弦值有什么规律吗？
结论：一个锐角的正弦等于它余角的余弦，或一个锐角的余弦等于它余角的正弦。
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练习
课本P78 练习1，2，3.
补充练习
1、在等腰△ABC中，AB=AC=5，BC=6，求sinB，cosB，tanB.
D
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补充练习
2、如图所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC=12，AB=13，∠BCM=∠BAC，求sin∠BAC和点B到直线MC的距离．
1、如图,在Rt△ABC中,锐角A的邻边和斜边同时扩大100倍,tanA的值（ ）
A.扩大100倍 B.缩小100倍
C.不变 D.不能确定
C
2、下图中∠ACB=90°，CD⊥AB,垂足为D.指出∠A和∠B的对边、邻边.
BC
AC
BD
AD
1.（2011·湖州中考）如图，已知在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=1，AC=2，则tanA的值为( )

A.2 B． C． D．
【解析】选B.根据正切的函数定义，角A的正切应是它的对边与邻边的比，所以B是正确，A是∠B的正切；C和D都错．
B
A
2.（2010·黄冈中考）在△ABC中，∠C＝90°，sinA＝
则tanB＝（ ）
3.（2010·丹东中考）如图，小颖利用有一
个锐角是30°的三角板测量一棵树的高度，
已知她与树之间的水平距离BE为5m，AB为
1.5m（即小颖的眼睛距地面的距离），那
么这棵树高是（ ）
B
4．（2010·怀化中考）在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=
则cosB的值等于（ ）
5.（2010·东阳中考）如图，为了测量河两岸A.B两点的距离，在与AB垂直的方向点C处测得AC＝a，∠ACB＝α，那么AB等于（ ）
A.a·sinα B.a·tanα
C.a·cosα D.
【解析】选B.在Rt△ABC中，tanα=
所以AB=a·tanα
【规律方法】 1.sinA,cosA是在直角三角形中定义的,∠A是锐角(注意数形结合,构造直角三角形)；
2.sinA,cosA是一个完整的符号,表示∠A的正弦、余弦,习惯省去“∠”符号；
3.sinA,cosA的大小只与∠A的大小有关,而与直角三角形的边长无关.
在Rt△ABC中
28.1锐角三角函数（3）
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A
B
C
∠A的对边a
∠A的邻边b
斜边c
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请同学们拿出自己的学习工具——一副三角尺，思考并回答下列问题：
1、这两块三角尺各有几个锐角？它们分别等于多少度？
2、每块三角尺的三边之间有怎样的特殊关系？如果设每块三角尺较短的边长为1，请你说出未知边的长度。
30°
60°
45°
1
2
1
1
45°
新知探索:30°角的三角函数值
sin30°=
cos30°=
tan30°=
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cos45°=
tan45°=
sin45°=
新知探索:45°角的三角函数值
sin60°=
cos60°=
tan60°=
新知探索:60°角的三角函数值
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30°、45°、60°角的正弦值、余弦值和正切值如下表：
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例1 求下列各式的值：
（1）cos260°＋sin260°
（2）
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求下列各式的值：
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（2）如图，已知圆锥的高AO等于圆锥的底面半径OB的 倍，求 a ．
当A，B为锐角
时，若A≠B，则
sinA≠sinB,
cosA≠cosB,
tanA≠tanB.
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B
A
C
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2、求适合下列各式的锐角α
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A
B
C
D
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小结 :
我们学习了30°, 45°, 60°这几类特殊角的三角函数值．
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作业
课本P82 第3题
《同步练习》P51-52（四）（五）
28.1锐角三角函数（4）
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引例 升国旗时，小明站在操场上离国旗20m处行注目礼。当国旗升至顶端时，小明看国旗视线的仰角为42°（如图所示），若小明双眼离地面1.60m，你能帮助小明求出旗杆AB的高度吗？
这里的tan42°是多少呢？
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前面我们学习了特殊角30°45°60°的三角函数值，一些非特殊角(如17°56°89°等)的三角函数值又怎么求呢？
这一节课我们就学习借助计算器来完成这个任务.
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1、用科学计算器求一般锐角的三角函数值：
（1）我们要用到科学计算器中的键：
sin
cos
tan
（2）按键顺序
◆如果锐角恰是整数度数时，以“求sin18°”为例，按键顺序如下：
sin
18
sin18
0.309 016 994
∴ sin18°= 0.309 016 994≈0.31
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1、用科学计算器求一般锐角的三角函数值：
◆如果锐角的度数是度、分形式时，以“求tan30°36′”为例，按键顺序如下：
方法一：
tan
30
36
tan30°36′
0.591 398 351
∴ tan30°36′ = 0.591 398 351≈0.59
方法二：
先转化， 30°36′ =30.6°,后仿照 sin18°的求法。
◆如果锐角的度数是度、分、秒形式时，依照上面的方法一求解。
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（3）完成引例中的求解：
tan
20
42
+1.6
19.608 080 89
∴ AB = 19.608 080 89≈19.61m
即旗杆的高度是19.61m.
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练习:
使用计算器求下列锐角的三角函数值.（精确到0.01）
（1）sin20°，cos70°；
sin35°，cos55°；
sin15°32′，cos74°28′；
（2）tan3°8′，tan80°25′43″；
（3）sin15°+cos61°tan76°.
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SHIFT
2
0
9
17.30150783
4
sin
·
7
=
已知三角函数值求角度，要用到sin，Cos，tan的第二功能键“sin－１ Cos－１，tan－１”键例如：已知sinα＝0.2974,求锐角α．按健顺序为：
如果再按“度分秒健”就换算成度分秒，
°′″
即∠ α＝17o18’5.43”
2、已知锐角的三角函数值，求锐角的度数：
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例 根据下面的条件，求锐角β的大小（精确到1″）
（1）sinβ=0.4511；（2）cosβ=0.7857；
（3） tanβ=1.4036.
按键盘顺序如下:
26048’51”
0
.
sin
1
1
5
=
4
SHIFT
°′″
即∠ β ＝26048’51”
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驶向胜利的彼岸
练习:
1、已知下列锐角三角函数值，用计算器求其相应的锐角：
（1）sinA=0.627 5，sinB=0.054 7；
（2）cosA=0.625 2，cosB=0.165 9；
（3）tanA=4.842 5，tanB=0.881 6.
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2、已知tanA=3.1748，利用计算器求锐角A的度数。(精确到1′)
答案:∠A≈72°52′
练习:
3、已知锐角a的三角函数值，使用计算器求锐角a（精确到1′）
（1）sin a=0.2476；（2）cos a=0.4；（3）tan a=0.1890.
答案: (1)α≈14°20′;
(3)α≈10°42′.
(2)α≈65°20′;
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A
B
O
R