义务教育课程标准实验教科书
九年级 上册
28.2 解直角三角形
(1)三边之间的关系:
a2＋b2＝c2（勾股定理）
解直角三角形的依据
(2)锐角之间的关系:
∠ A＋ ∠ B＝ 90º
(3)边角之间的关系:
1、如图，在Rt△ABC中：
复习
(1)∠A=30°，AB=4，解这个直角三
角形；
2. 如图，沿AC方向开山修路．为了加快施工进度，要在小山的另一边同时施工，从AC上的一点B取∠ABD = 140°，BD = 520m，∠D=50°，那么开挖点E离D多远正好能使A，C，E成一直线（精确到0.1m）
∴∠BED=∠ABD－∠D=90°
答：开挖点E离点D 332.8m正好能使A，C，E成一直线.
解：要使A、C、E在同一直线上，则 ∠ABD是 △BDE 的一个外角
在视线与水平线所成的角中，视线在水平线的上
方的角叫做仰角。视线在水平线下方的角叫做
俯角。强调：仰角与俯角都是视线与水平线所成的角。
例4: 热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30°，看这栋高楼底部的俯 角为60°，热气球与高楼的水平距离为120m，这栋高楼有多高（结果精确到0.1m）
分析：我们知道，在视线与水平线所成的角中视线在水平线上方的是仰角，视线在水平线下方的是俯角，因此，在图中，a=30°,β=60°
Rt△ABC中，a =30°，AD＝120，
所以利用解直角三角形的知识求出
BD；类似地可以求出CD，进而求出BC．
仰角
水平线
俯角
解：如图，a = 30°,β= 60°， AD＝120．
答：这栋楼高约为277.1m
范例
例1、某人在A处测得建筑物的仰角
∠BAC为30°，沿AC方向行20m至D
处，测得仰角∠BDC为45° ，求此建
筑物的高度BC。
1. 建筑物BC上有一旗杆AB，由距BC40m的D处观察旗杆顶部A的仰角54°，观察底部B的仰角为45°，求旗杆的高度（精确到0.1m）
解：在等腰三角形BCD中∠ACD=90°
BC=DC=40m
在Rt△ACD中
所以AB=AC－BC=55.2－40=15.2
答：棋杆的高度为15.2m.
练习
指南或指北的方向线与目标方向线构成小于900的角,叫做方位角.
如图：点A在O的北偏东30°
点B在点O的南偏西45°（西南方向）
方位角
例5 如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东34°方向上的B处，这时，海轮所在的B处距离灯塔P有多远（精确到0.01海里）？
解：如图 ，在Rt△APC中，
PC＝PA·cos（90°－65°）
＝80×cos25°
≈80×0.91
=72.8
在Rt△BPC中，∠B＝34°
当海轮到达位于灯塔P的南偏东34°方向时，它距离灯塔P大约130.23海里．
65°
34°
P
B
C
A
范例
例1、海中有一个小岛A，它的周围8海
里内有暗礁，鱼船跟踪鱼群由西向东航
行。在B点测得小岛A在北偏东60°方向
上，航行12海里到达点D，这时测得小
岛A在北偏东30°方向
上，如果鱼船不改变
航线继续向东航行，
有没有触礁的危险？
范例
例2、如图，一架外国侦察机沿ED方向入
侵我国领空，我空军战斗机沿AC方向与其
平行飞行进行跟踪。我机在A处与外机B处
的距离为50m，∠CAB=30°，这时外机突
然转向，以北偏西45°方向飞行，我机继
续沿AC方向以400m/s的速度
飞行，外机在C处故意撞击我
机，问外机由B到C的速度是
多少？
探究
一、如图是某一大坝的横断面：
α
E
(1)坡面AB的垂直高
度与水平宽度AE的
长度之比是α的什
么三角函数？
坡面AB与水平面的夹角叫做坡角
探究
一、如图是某一大坝的横断面：
α
E
(1)坡面AB的垂直高
度与水平宽度AE的
长度之比是α的什
么三角函数？
坡面AB与水平面的夹角叫做坡角
归纳
坡度的定义：
坡面的垂直高度与水平宽度之比
叫做坡度，记作i。
α
A
B
E
h
l
探究
一、如图是某一大坝的横断面：
α
E
(2)坡度i与坡角α之
间有什么关系？
巩固
3、一段坡面的坡角为60°，则坡度
i = 。
巩固
4、小明沿着坡度i = 的山坡向上
走了50m，这时他离地面25m。
范例
例2、如图，拦水坝的横断面为梯形
ABCD，坡面AB的坡度i= 1 ，坡面
CD的坡角为30°，试根据图中数据求：
(1)坡角α和CD的坡度；
(2)若水坝高5米则斜坡AB的长为多少.
A
C
B
D
α
β
F
E
巩固
6、如图是一座人行天桥的示意图，天
桥的高是10m，坡角是45°。为了方便
行人，决定降低坡度，使新的坡角为
30°。若新坡脚需留3m的人行道，问
离原坡底A处11m的建筑物是否要拆除
( ， )？
A
B
C
D
中考点击
如图，在四边形ABCD中， AB=2，CD=1， ∠A= 60°， ∠D= ∠B= 90°，求此四边形ABCD的面积。
A
B
C
D
2
60°
1
方法1
如图，在四边形ABCD中， AB=2，CD=1， ∠A= 60°， ∠D= ∠B= 90°，求此四边形ABCD的面积。
A
B
C
D
E
2
60°
1
A
B
C
D
E
2
1
60°
方法2
A
B
C
D
E
2
1
60°
Ｆ
方法3
在平地上一点C，测得山顶A的仰角为30°，向山沿直线前进20米到D处，再测得山顶A的仰角为45°，求山高AB ？
解：根据题意，得AB⊥BC，∴∠ABC＝90°
∵∠ADB＝45°，∴AB＝BD
∴BC＝CD＋BD＝20＋AB
在Rt△ABC中，∠C＝30°
经典例题赏析1
如图，水库的横截面是梯形，坝高23m，斜坡AB的坡高度 ，斜坡CD的坡度i'=1:1,求斜坡AB的长及坡角a和坝底宽AD（精确到0.1m）
解：作BE⊥AD，CF⊥AD，垂足分别为E、F，则BE＝23m
在Rt△ABC中，
∴ α=30°
∴AB=2DE=46(m)
E
F
经典例题赏析2
在Rt△CFD中，
∴FD=CF=23(m)
答：斜坡AB长46m，坡角α等于30°，坝底宽AD约为68.8m
E
F
如图，△ABC中，∠C＝90°，AB＝10， ，D是BC上一点，且∠DAC＝30°，求BD的长和S△ABD
设AC＝4k，AB＝5k，BC＝3k，5k＝10,k=2
AC=8,BC=6,
经典例题赏析3
解：
如图，线段AB、CD表示甲、乙两幢楼的高．从甲楼底部B处测得乙楼顶部C的仰角是45°，从乙楼顶部C处测得甲楼顶部A的俯角是30°.已知甲、 乙两楼间的距离BD＝60m，求甲、乙两楼的高（精确到1m）
解: 作AE⊥CD，垂足是E，AE＝BD＝60，
E
经典例题赏析4
D
应用(1)
巩固
2、如图，在甲建筑物上从A点看到E点
挂一长为30m的宣传条幅，在乙建筑物
的顶部D点测得条幅顶端A的仰角为
45 °，测得条幅底端E点的俯角为30°，
求底部不能直接到达
的甲、乙两建筑物之
间的水平距离BC。
某型号的飞机的机翼现状如图所示，其中AB∥CD，根据图中的数据计算AC、CD、BD的长度。
（结果保留根号）
单位：米
【化斜为直】，【善于转化】
四个解直角三角形的典型变式图形
【总结】
（1）、有关实际应用的问题，解法步骤：
①弄清已知条件及要求解的问题。
②画图将实际问题转化为数学问题。
③寻找解题途径。
⑷解、答
（2）、如果图中无直角三角形，可适当地作垂线等辅助线，“化斜为直”，“善于转化”为解直角三角形问题。
（3）、解直角三角形的有关问题常通过设未知数、列方程（组）来解，也比较容易。常常设图形中具有“双重身份”的线段或者是两个三角形联系密切的特殊线段为未知数。