1．1　集　合
1．1.1　集合的含义与表示
1．我们在初中接触过“正数的集合”、“负数的集合”等，集合的含义又是什么呢？
①解不等式2x－1＞3得x＞2，所有大于2的实数集在一起称为这个不等式的解集．
②平面几何中，圆是到定点的距离等于定长的点的集合．
③自然数的集合0,1,2,3，……
④高一(5)班全体同学组成一个集合．
请想一想，集合这个概念应该怎样描述？
一般地，我们把所研究的对象如点、自然数、高一(5)班的同学统称为 ，把一些 组成的总体叫做 ，通常用 表示．
2．元素与集合的关系用符号 表示．
3．集合中元素的性质(或称三要素)：
．
元素
元素
集合
大写拉丁字母A、B、C，…
∈、∉
确定性、互异性、无序性
(1)给定的集合中的元素必须是确定的．
“我国的小河流”能不能组成一个集合，你能用集合的知识解释吗？
答案：“我国的小河流”不能组成一个集合．因为集合中的元素必须是确定的，而在我国的河流中到底多大才算小河流并无具体的标准．
(2)集合中的元素必须是互不相同的，由1，－1,1,3组成的集合为 ；若a∈{a2,1}则a＝ .
(3)若构成两集合的元素是一样的，则称两集合 ，若集合{1,2}与集合{a,1}相等，则a＝ .
4．常见的数集符号：自然数集： ；正整数集： ；整数集： ；有理数集： ；实数集： .
5．把集合中的元素一一列举出来．
并用 括起来表示集合的方法叫做 ，如大于－1且小于10的偶数构成的集合可表示为 ．
{1，－1,3}
相等
2
N
N＋
Z
Q
R
花括号“{ }”
列举法
{0,2,4,6,8}
0
用列举法表示下列集合：
(1)方程(x2－1)(x2＋2x－8)＝0的解集为
．
(2)方程|x－1|＝3的解集为 ．
(3)绝对值小于3的整数的集合为 ．
{－1,1，－4,2}
{－2,4}
{－2，－1,0,1,2}
6．用集合所含元素的 表示集合的方法，称作描述法．
具体方法是：在花括号内先写上表示这个集合元素的 ，再画一条竖线，在这条竖线后面写出这个集合中元素所具有的 ．它的一般形式是{x∈A|p(x)}或{x|p(x)}．“ ”为代表元素，“ ”为元素x必须具有的共同特征，当且仅当“x”适合条件“p(x)”时，x才是该集合中的元素，此法具有抽象概括、普遍性的特点，当元素个数较多时，一般选用此法．
共同特征
一般符号及取值(或变化)范围
共同特征
x
p(x)
1°试用描述法表示下列集合：
(1)方程x2－3x＋2＝0的解集为 ．
(2)不等式3x＋2>0的解集为 ．
(3)大于1小于5的整数组成的集合为 ．
2°用列举法表示下列集合：
(1)6的正约数组成的集合．________
(2)不等式2x－1＜5的自然数解组成的集合．________
(3)古代我国的四大发明组成的集合．________
(4)A＝{x|0(5)B＝{x|x2－5x＋6＝0}．________
{x|x2－3x＋2＝0}
{x|3x＋2>0}
{x∈Z|1[解析]　(1)6的正约数为1,2,3,6，故所求集合为{1,2,3,6}
(2)不等式2x－1＜5变形为x＜3，因此它的自然数解为0,1,2，故所求集合为{0,1,2}
(3)古代我国的四大发明为：指南针，造纸，火药，印刷术，形成集合为{指南针，造纸，火药，印刷术}．
(4)A＝{1,2,3,4,5}．
(5)B＝{2,3}．
本节重点：集合的概念，集合中元素的三个特性及集合的表示方法．
本节难点：集合中元素的性质的理解．
正确理解概念，准确使用符号，熟练进行集合不同表示方法的转换是学好本节的关键．
1．要辩证理解集合和元素这两个概念：
(1)符号∈和∉是表示元素和集合之间关系的，不能用来表示集合之间的关系．元素与集合之间是个体与整体的关系，不存在大小与相等关系．
(2)集合具有两方面的意义，即：凡是符合条件的对象都是它的元素；只要是它的元素就必须符合条件．
2．深刻认识集合中元素的四种属性
(1)任意性：集合中的元素可以是任意的对象，无论是数、式、点、线、人，还是其它的某种事或物，只要它们具有某种共同属性，集中在一起就能组成一个集合，我们把集合的这一性质称为元素的任意性；在中学，我们主要研究对象是一系列的数的集合或点的集合．
(2)确定性：判断一些对象是否可以组成一个集合，主要方法是，在观察任意一个对象时，应该可以确定这一对象要么属于这一集合，要么它不属于这一集合．
(3)无序性：在表示一个集合时，我们只需将某些指定的对象集在一起，虽然习惯上会将元素按一定顺序来写出，但却不强调它们的顺序，当两个集合中的元素相同，即便放置顺序完全不同时，它们也表示同一集合．
例如：{a，b}和{b，a}表示同一个集合．
(4)互异性：对于任意一个集合而言，在这一集合中的元素都是互不相同的个体．如：给出集合{1，a2}，我们根据集合中元素的互异性，就已经得到了关于这个集合的几点信息，即这一集合中有两个不同的元素，其中的一个是实数1，而另一个一定不是1，所以a≠1，且a≠－1.
3．正确理解列举法
(1)元素间用分隔号“，”隔开；
(2)元素不重复；
(3)对于含较多元素的集合，如果构成该集合的元素有明显规律，可用列举法，但是必须把元素间的规律显示清楚后才能用省略号．
4．合理选用集合的表示方法
列举法与描述法各有优点，列举法可以看清集合的元素，描述法可以看清集合元素的特征，一般含有较多或无数多个元素时不宜采用列举法，因为不能将集合中的元素一一列举出来，而没有列举出来的元素往往难以确定．
5．要正确理解描述法
用描述法表示集合时注意：(1)弄清元素所具有的形式(即代表元素是什么)，是数、还是有序实数对(点)等．(2)元素具有怎样的属性？
用描述法表示集合时，若需要多层次描述属性时，可选用联结词“且”与“或”等联结；若描述部分出现元素记号以外的字母时，要对新字母说明其含义或指出其取值范围．
6．特别注意以下几种集合，这是我们研究集合时的主要研究对象．
(1)一般数集．
(2)特殊数集：如方程的解集；不等式的解集等．
(3)平面点集．
(4)图形集．
7．集合语言
集合语言是现代数学的基本语言，也就是用集合的有关概念和符号来叙述问题的语言．包括文字语言、符号语言、图形语言．
要熟练地将集合的三种语言进行相互转化．
8．解集合问题的关键
解决集合问题的关键是弄清集合由哪些元素所构成．如何弄清呢？关键在于把抽象问题具体化、形象化．也就是把用描述法表示的集合用列举法来表示，或用图示法来表示抽象的集合，或用图形来表示集合．
例如，在判断集合A＝{x|x＝4k±1，k∈Z}与集合B＝{y|y＝2n－1，n∈Z}是否为同一集合时，若从代表元素入手来分析它们之间的关系，则比较抽象，而用列举法来表示两个集合，则它们之间的关系就一目了然．即A＝{…，－1,1,3,5，…}，而B＝{…，－1,1,3,5…}
∴A与B是同一集合．
[例1]　下列各组对象：
①接近于0的数的全体；
②比较小的正整数全体；
③平面上到点O的距离等于1的点的全体；
④正三角形的全体；
⑤ 的近似值的全体．
其中能构成集合的组数是 (　　)
A．2组　　　　 B．3组
C．4组 D．5组
[分析]　集合中的元素必须是确定的．
[解析]　“接近于0的数”、“比较小的正整数”标准不明确，即元素不确定，所以①、②构不成集合．同样，“ 的近似值”没有给出取近似值的标准(如“四舍五入法”、“收尾法”、“去尾法”等)和位数，因此很难判定一个数，比如1.5，是不是它的近似值，所以⑤也不是一个集合．③、④能构成集合．∴选A.
下列各条件中，能够成为集合的是 (　　)
A．与 非常接近的正数
B．世界著名的科学家
C．所有的等腰三角形
D．全班成绩好的同学
[答案]　C
[解析]　对于选项A、B、D没有明确的标准来衡量，故选C.
[分析]　本题重在考查元素的互异性，需要结合实数的性质去思考，尤其是要准确认识根式的意义．
若x∈{1,3，x3}，则有 (　　)
A．x＝0或x＝－1
B．x＝－1或x＝3
C．x＝0或x＝－1或x＝3
D．x＝0或x＝3
[答案]　C
[解析]　∵x∈{1,3，x3}　∴x＝1或3或x3
当x＝x3时x＝0，±1，由于x3≠1,3，
∴x≠1，故x＝0，－1,3，故选C.
[例3]　若集合{－1，|x|}与{x，x2}相等，求实数x的值．
[解析]　∵{－1，|x|}与{x，x2}两集合相等，∴两集合含有相同的元素
即{x，x2}一定含有－1这个元素
由于x2≥0，∴x＝－1.
[例4]　将下列集合改为用符号语言描述：
(1)非负奇数集
(2)能被3整除的整数的集合
(3)第一象限和第三象限内的点的集合
(4)一次函数y＝2x＋1与二次函数y＝x2的图象交点的集合．
[分析]　从集合中元素(数或点)所满足的条件、具有的属性入手，联想有关的数学表达形式．
[解析]　(1){x|x＝2k－1，k∈N*}；
(2){n|n＝3k，k∈Z}；
(3){(x，y)|xy＞0}；
[点评]　要重视同一数学对象的不同形态语言的表达方法及互译练习(如，普通语言符号语言)，这对今后学习大有裨益.
[例5]　用适当的方法表示下列集合：
(1)24的正约数组成的集合；
(2)大于3小于10的整数组成的集合；
(3)方程x2＋ax＋b＝0的解集；
(4)平面直角坐标系中第二象限的点集；

[分析]　首先搞清楚集合的元素是什么，然后选用适当的方法表示集合．
[解析]　(1){1,2,3,4,6,8,12,24}；
(2){大于3小于10的整数}＝{x∈Z|3＜x＜10}＝{4,5,6,7,8,9}；
(3){x|x2＋ax＋b＝0}；
(4){(x，y)|x<0且y＞0}；
[点评]　1.在表示集合时，选择表示法的原则为：让所表示的集合明确、直观、简捷．
2．在(5)的方程的解集中只有一个元素(－3,2)，不要认为这是两个元素，表达为{－3,2}．
用描述法表示下列集合．
(1){－1,1}；
(2)大于3的全体偶数构成的集合；
(3)在平面α内，线段AB的垂直平分线上所有的点．
[解析]　(1){x||x|＝1}；
(2){x|x>3且x＝2n，n∈Z}；
(3){P|P在平面α内且PA＝PB}．
[例6]　下面三个集合：①{x|y＝x2＋1}；②{y|y＝x2＋1}；③{(x，y)|y＝x2＋1}．
(1)它们是不是相同的集合？
(2)它们各自的含义是什么？
[分析]　对于用描述法给出的集合，首先要清楚集合中的代表元素是什么，元素满足什么条件．
[解析]　(1)由于三个集合的代表元素代表的对象互不相同．∴它们是互不相同的集合．
(2)集合①{x|y＝x2＋1}的代表元素是x，
∵当x∈R时，y＝x2＋1有意义．
∴{x|y＝x2＋1}＝R；
集合②{y|y＝x2＋1}的代表元素是y，
满足条件y＝x2＋1的y的取值范围是y≥1，
∴{y|y＝x2＋1}＝{y|y≥1}．
集合③{(x，y)|y＝x2＋1}的代表元素是(x，y)，可以认为是满足y＝x2＋1的数对(x，y)的集合；也可以认为是坐标平面内的点(x，y)构成的集合，且这些点的坐标满足y＝x2＋1，
∴{(x，y)|y＝x2＋1}＝{P|P是抛物线y＝x2＋1上的点}．
总结评述：用描述法表示的集合，认识它一要看集合的代表元素是什么，它反映了集合元素的形式；二要看元素满足什么条件．对符号语言所表达含义的理解在数学中要求是很高的，希望同学们能逐步提高对符号语言的认识.
总结评述：用列举法表示集合，就是要根据集合的一般特性(确定性、互异性、无序性)和集合本身的特征，把集合中的元素不重复、不遗漏、不计顺序地一一表示出来．
[例8]　已知集合A是由方程ax2＋2x＋1＝0(a∈R)的实数解作为元素构成的集合．
(1)1是A中的一个元素，求集合A中的其它元素；
(2)若A中有且仅有一个元素，求a的值组成的集合B；
(3)若A中至多有一个元素，试求a的取值范围．
若a≠0，则当且仅当方程的判别式Δ＝4－4a＝0，即a＝1时，方程有两个相等的实根x1＝x2＝－1，此时集合A中有且仅有一个元素，
∴所求集合B＝{0,1}；
(3)集合A中至多有一个元素包括两种情况：
①A中有且只有一个元素，由(2)知此时a＝0或a＝1；
②A中一个元素也没有，即A＝∅，此时a≠0，且Δ＝4－4a＜0，∴a＞1；
综合①、②知所求a的取值范围是{a|a≥1或a＝0}．
已知集合A＝{x∈R|ax2＋x＋2＝0}，若A中至少有一个元素，则a的取值范围是________．
[分析]　题中给出数集A满足的条件．解答此题就从此条件入手．逐步推出结论．
[例10]　集合A＝{x|x＝3n＋1，n∈Z}，B＝{x|x＝3n＋2，n∈Z}，C＝{x|x＝6n＋3，n∈Z}，对任意的a∈A，b∈B，是否一定有a＋b∈C？并证明你的结论．
[错解]　由a∈A，有a＝3n＋1(n∈Z)，
由b∈B，有b＝3n＋2(n∈Z)，
则a＋b＝6n＋3(n∈Z)，故a＋b∈C
[辨析]　集合A是所有被3除余1的整数所组成的集合．集合B是所有被3除余2的整数所组成的集合，集合C是所有被6除余3的整数所组成的集合，易知1∈A,5∈B，而1＋5＝6∉C，则a∈A，b∈B，不一定有a＋b∈C.错解的根源在于将A，B中的n看成同一个数，即a，b不是任意的，而是互相制约的，从而破坏了a与b的独立性．
[正解]　设a＝3m＋1(m∈Z)，b＝3t＋2(t∈Z)，
则a＋b＝3(m＋t)＋3，
当m＋t是偶数时，设m＋t＝2k(k∈Z)，
有a＋b＝6k＋3(k∈Z)，则a＋b∈C；
当m＋t为奇数时，设m＋t＝2k－1(k∈Z)，
有a＋b＝6k(k∈Z)，则a＋b∉C
综上可知不一定有a＋b∈C.
一、选择题
1．给出下面四个关系： ∈R,0.7∉Q,0∈{0},0∈N.其中正确的个数是
(　　)
A．1个　　　 B．3个
C．2个 D．4个
[答案]　B
[解析]　0.7为有理数，故0.7∉Q不正确．
2．下列集合表示方法正确的是
(　　)
A．方程(x－1)(x－2)2(x－4)＝0的解集为{1,2,2,4}
B．不等式x－5＞0的解集为{x－5＞0}
C．所有奇数构成的集合为{x∈Z|x＝2k＋1}
D．所有偶数构成的集合为{x|x＝2k，k∈Z}
[答案]　D
[点评]　应注意C与D的区别，C中x∈Z，并没要求k∈Z，故是错误的，若改为{x|x＝2k＋1，k∈Z}则为正确的．
二、填空题
3．用符号∈或∉填空：
(1)1________{1} (2)a________{a，b，c}
(3)－3________{4，－2} (4)0________N*
(5)π________Q (6) ________R
(7)若A＝{x|x2＝x}，则－1________A；
(8)若B＝{x|x2＋x－6＝0}，则3________B；
(9)若C＝{x∈N|1≤x≤10}，则8________C；
(10)若D＝{x∈Z|－2＜x＜3}，则1.5________D.
[答案]　(1)∈；(2)∈；(3)∉；(4)∉；(5)∉；(6)∈；(7)∉；(8)∉；(9)∈；(10)∉.
[点评]　如果a是集合A的元素，记作a∈A，否则记作a∉A，N*、Q、R分别表示正自然数集、有理数集、实数集．
4．若－3∈{a－3,2a－1，a2－4}，则实数a构成的集合为________．
[答案]　{0,1}
[解析]　当a－3＝－3时，a＝0，此时集合为{－1，－3，－4}；当2a－1＝－3时，a＝－1，此时a2－4＝－3，与集合元素的互异性矛盾．若a2－4＝－3，则a＝±1，a＝－1已讨论．当a＝1时，集合为{－2,1，－3}，综上所述a＝0或1.
三、解答题
5．用列举法表示下列集合
(2)B＝{y|y＝－x2＋8，x∈N，y∈N}
(3)C＝{(x，y)|y＝－x2＋8，x∈N，y∈N}
[解析]　(1)要使x， 都是整数，故|2－x|必是6的约数，当x＝－4，－1,0,1,3,4,5,8时，|2－x|是6的约数．∴A＝{－4，－1,0,1,3,4,5,8}
(2)由y＝－x2＋8，x∈N，y∈N知，y≤8，所以当x＝0,1,2时，y＝8，7,4符合题意．∴B＝{4,7,8}
(3)集合C中的元素是点，这些点必须满足两个条件①它是抛物线y＝－x2＋8上的点，②这些点的横坐标、纵坐标都必须是自然数．
6．下面两个集合的意义是否相同？为什么？
{x|x2－ax－1＝0}，{a|方程x2－ax－1＝0有实数根}．
[解析]　集合{x|x2－ax－1＝0}中的元素x是方程x2－ax－1＝0的实数解；集合{a|方程x2－ax－1＝0有实数根}中的元素a是使方程x2－ax－1＝0有实数根的字母系数a的取值范围，这两个集合中的元素的含义是不同的．
7．下列集合，哪些是有限集？哪些是无限集？
(1)今天正午12时生活在地球上的所有人构成的集合；
(2)线段AB上的点的全体构成的集合；
(3)把线段AB等分为100等份的点的全体构成的集合；
(4)以点M为中点的所有线段构成的集合．
[解析]　(1)有限集．(2)无限集．(3)有限集．(4)无限集．